Аккреция — падение вещества на гравитационный центр — распространенное явление в космосе, которое уже обсуждалось в наших задачах. Ранее был найден максимальный темп падения вещества в центр с учетом давления излучения (см. Критическая аккреция), а также было показано, что во многих случаях вещество должно падать в виде очень тонкого аккреционного диска (см. Дисковая аккреция).
Об аккреции известно давно, но первые теории дисковой аккреции стали появляться только в начале 70-х годов ХХ века. Однако самый важный и, возможно, главный вопрос оставался открытым вплоть до середины 90-х. Вопрос такой: а по какой причине, собственно, происходит аккреция?
Чтобы понять в чем проблема и почему этот вопрос возникает, давайте посмотрим на простейшую модель — тонкий кеплеровский диск. Его масса ничтожно мала по сравнению с массой центрального объекта, поэтому каждый кусочек вещества будет вращаться по соответствующей кеплеровской орбите (отсюда название диска). Центробежная сила (или центростремительное ускорение) компенсируется притяжением центрального объекта (рис. 1).
Для кусочка вещества массой m это равенство сил записывается в виде:
\[ F_G=ma \Leftrightarrow \frac{GMm}{r^2}=m\frac{v^2}{r}. \]Таким образом, кеплеровская скорость вещества в диске на расстоянии r от центра равна
\[ v=\sqrt{\frac{GM}{r}}. \]Это попросту первая космическая скорость. Дальние части диска движутся медленнее ближних: на рис. 1 видно, что r1 < r2 < r3, но v1 > v2 > v3.
Рассмотрим другую величину — момент импульса относительно центра, который записывается как L = mvr, так как скорость v перпендикулярна радиус-вектору. Для простоты будем рассматривать производную величину — момент импульса на единицу массы: l = L/m = vr. В случае кеплеровского диска получим, что она равна \( l= \sqrt{GMr}\), то есть момент импульса у более далеких частей диска больше чем у ближних (рис. 2, слева).
Рис. 2. Слева: моменты импульса и скорости на разных расстояниях в кеплеровском диске. Справа: два кусочка вещества на разных орбитах поменялись местами (к примеру, из-за турбулентности) с сохранением моментов импульса; вернутся ли они обратно на старые орбиты или продолжат отдаляться?
Диски вокруг черных дыр в двойных системах, которые обсуждались в задаче Дисковая аккреция, простираются от нескольких единиц до 105 радиусов Шварцшильда. При этом момент импульса внешних слоев диска, откуда вещество, собственно, начинает свое движение, в несколько сотен раз больше, чем у ближайших к черной дыре слоев. Поэтому для того, чтобы вещество «упало» с далекой орбиты на ближнюю (то есть чтобы происходила аккреция), веществу необходимо как-то «потерять» момент импульса. Иногда также говорят, что для аккреции необходим перенос момента импульса наружу — из ближних слоев диска во внешние.
Сам по себе кеплеровский диск переносить момент не способен: все вещество вращается по круговым орбитам, и поэтому аккреция в таком диске невозможна. Чтобы «запустить» аккрецию, к модели кеплеровского диска нужно добавить что-нибудь еще — какую-нибудь силу трения (вязкость) между слоями или неустойчивость.
Может ли вязкость являться источником радиального движения и причиной аккреции? По сути вязкость — это взаимодействие частиц из разных слоев, имеющих разные моменты импульса и энергии. Такие взаимодействия происходят на масштабе длины свободного пробега, λ, который для ионизированного газа можно записать так:
\[ \lambda = \dfrac{k^2 T^2}{\pi e^4 n}, \]
где T — температура газа, e — заряд частиц, а n — число частиц на единицу объема.
Тогда коэффициент вязкости можно выразить как произведение тепловой скорости (характерной скорости движения частиц массой m, равной \(v_T=\sqrt{kT/m}\) ) и длины свободного пробега \( \nu = v_T \lambda, \) а радиальная скорость втекания вещества из-за такой вязкости, которая будет накладываться поверх кеплеровской скорости вращения, будет равняться \(u_r = \nu/r\) (эта оценка примерная).
Рассмотрим черную дыру с массой в 10 солнечных масс и аккреционный диск вокруг нее. На расстоянии r = 1010 см от нее (это примерно 3000 шварцшильдовских радиусов) даны следующие параметры диска: T ≈ 104 К, n ≈ 1016 см−3; водород, из которого состоит большая часть диска, полностью ионизирован, а толщина диска примерно в 1000 раз меньше r.
1. Оцените радиальную скорость вещества на этом расстоянии (в см/год) и, пользуясь этим, найдите темп аккреции \(\dot{M}\) — массу втекающего во внутреннюю область диска вещества в единицу времени в массах Солнца в год. Сравните результат с критическим темпом аккреции для черной дыры в 10 солнечных масс, составляющим примерно 10−7 солнечных масс в год. Какой будет при этом светимость такого диска (см. задачу Критическая аккреция)? Может ли вязкость быть причиной переноса момента импульса?
Такое простое рассмотрение имеет смысл, когда аккреция — ламинарная, то есть нет слишком выраженной турбулентности. Ламинарное течение характеризуется малыми числами Рейнольдса, \(\mathrm{Re} = v r / \nu\), где v — характерная скорость течения (в качестве которой можно взять кеплеровскую).
2. Оцените число Рейнольдса на таком расстоянии. Будет ли в диске турбулентность?
Допустим, что турбулентность в диске присутствует и «смешивает» вещество на разном удалении от центра. Но способно ли это «запустить» аккрецию?
3. Представьте, что два маленьких объема вещества диска, располагавшихся на разном удалении от центра, поменялись местами (рис. 2, справа), сохранив при этом моменты импульса. Какая будет новая скорость у каждого из этих объемов? Что произойдет дальше: вернутся ли они на свои первоначальные орбиты или продолжат отдаляться друг от друга?
Если сохраняется момент импульса, то на новой орбите будет новая скорость у каждого из смешанных объемов вещества. Надо найти эти новые скорости \(v_1'\) и \(v_2'\) и сравнить их с исходными скоростями \(v_2\) и \(v_1\), соответственно.
Если правильно подставить числа, то последовательно получаются следующие значения: длина свободного пробега λ ≈ 10−3 см, коэффициент вязкости ν ≈ 102 см2/с, а радиальная скорость ur ≈ 3 см/год. То есть кусочек вещества доберется до черной дыры с расстояния r от нее примерно за r/ur ≈ 109 лет, что довольно долго в сравнении с возрастом таких систем (миллионы лет).
Оценим темп аккреции. За единицу времени сечение синего цвета на рис. 3, площадь которого равна 2πrh, пересекает масса 2πrh·ρ·ur — это и есть темп аккреции. Подставив известные значения и учтя, что h = r/103, получим \(\dot{M} \sim 2\times 10^{-23}~M_{\odot}\) в год.
В задаче о критической аккреции было найдено, что критический темп аккреции для черной дыры с массой 10 Солнечных масс составляет примерно \(2\times 10^{-7}~M_{\odot}\) в год, что на 16 порядков больше. Значит, светимость в нашем случае должна быть на 16 порядков меньше критической (эддингтоновской), что абсолютно нереалистично (характерные светимости варьируются от 1% до 100% от эддингтоновской).
Отсюда можно сделать вывод, что обычная вязкость не способна обеспечивать тот темп аккреции, который необходим.
Должна ли быть в диске турбулентность? Оценим число Рейнольдса. Взяв за v кеплеровскую скорость \(\sqrt{GM/r}\), получим \(\mathrm{Re}\sim 3\times 10^{15}\), что означает, что в диске сильная турбулентность.
Может быть именно турбулентность является ответом? Посмотрим, что произойдет, если из-за турбулентности два кусочка вещества, находящиеся на разных радиусах, смешаются и поменяются местами, сохранив при этом свои моменты импульса (см. рис. 2, справа).
Кусочек с моментом импульса l1 окажется на расстоянии r2 от центра, где «фоновый» момент импульса — l2, а скорость \(v_2 = l_2/r_2\). Новая скорость этого кусочка вещества окажется равной \(v_1' = l_1 / r_2 = v_1 r_1 / r_2\). Имея ввиду, что скорости в кеплеровском диске относятся как корень из отношения радиусов, \(v_1 / v_2 = \sqrt{r_2 / r_1}\), имеем \(v_1' = v_2 \sqrt{r_1 / r_2} < v_2\).
То есть новая скорость кусочка вещества окажется меньше фоновой скорости, и вещество начнет отставать и падать обратно на низкую орбиту. То же самое — только с обратным знаком — произойдет с веществом, оказавшимся на более низкой орбите: оно начнет «всплывать» обратно на свою прежнюю орбиту. Такое поведение называется стабильностью Рэлея: кеплеровский диск стабилен к смешиванию, и турбулентность, какой бы сильной она ни была, не способна запустить аккрецию.
Подведем итог. Если рассматривать кеплеровский диск, то ни вязкость между слоями, ни очень сильная турбулентность в диске, ни, как позже оказалось (см. обзор Steven A. Balbus, John F. Hawley, 1998. Instability, turbulence, and enhanced transport in accretion disks), конвекция внутри диска и прочие тепловые эффекты не способны заставить вещество аккрецировать на центральный объект с достаточным для объяснения наблюдений темпом.
Поэтому вопрос о причинах аккреции оставался открытым вплоть до 90-х годов ХХ века.
Были проведены даже лабораторные эксперименты. В них жидкость вращалась между двумя цилиндрами, имитируя кеплеровский диск (H. Ji et al., 2006. Hydrodynamic turbulence cannot transport angular momentum effectively in astrophysical disks). Результаты действительно согласуются с ожиданием: турбулентность в жидкости не способна вызвать аккрецию. На видео можно посмотреть на эту установку в действии.
Итак, получается, что для объяснения эффекта переноса момента импульса нужен был некий новый механизм, обеспечивающий очень сильную неустойчивость в диске. История его открытия весьма драматична.
Первые работы о дисковой аккреции появились в начале 70-х годов прошлого века: J. E. Pringle, M. J. Rees, 1972. Accretion Disc Models for Compact X-Ray Sources; N. I. Shakura, R. A. Sunyaev, 1973. Black holes in binary systems. Observational appearance; D. Lynden-Bell, J. E. Pringle, 1974. The Evolution of Viscous Discs and the Origin of the Nebular Variables. Классической в этом ряду считается именно статья Николая Шакуры и Рашида Сюняева 1973-го года (до сих пор самая цитируемая статья в теоретической астрофизике — в среднем цитируется примерно в десяти статьях за неделю). В этой статье авторы предположили, что ключом к разгадке механизма аккреции является турбулентность с магнитным полем, однако ничего более конкретного не написали.
Ирония состоит в том, что еще в конце 50-х и начале 60-х годов нужный механизм был открыт и описан в работах советского физика Евгения Велихова (статья 1959 года Stability of an Ideally Conducting Liquid Flowing Between Cylinders Rotating in a Magnetic Field) и американского астрофизика Субраманьяна Чандрасекара (статья 1960 года The Stability of Non-dissipative Couette Flow in Hydromagnetics). Про аккрецию в этих работах не было ни слова: задачи, рассмотренные там, были просто теоретическим описанием лабораторных экспериментов. Работы были фактически преданы забвению, и все теории аккреции, которые строились уже в 70-х годах, предполагали некий неизвестный механизм, который можно как-то параметризовать численно, не задаваясь вопросом о его природе (главным примером является так называемый α-диск Шакуры — Сюняева, где эмпирическое число α параметризует некую аномальную вязкость).
Тот факт, что именно этот позабытый механизм ответственен за аккрецию, несмотря на многочисленные намеки, поняли лишь в начале 90-х годов американские астрофизики Стивен Балбус и Джон Хоули (S. A. Balbus, J. F. Hawley, 1991. A powerful local shear instability in weakly magnetized disks. I — Linear analysis. II — Nonlinear evolution). Эту модель позже назвали неустойчивостью Балбуса — Хоули (иногда ее называют и неустойчивостью Велихова — Чандрасекара), но сейчас используют рабочее название — магниторотационная неустойчивость. И вот что это такое.
Как нетрудно догадаться из названия загадочного механизма, «ключом» к аккреции было добавление в рассмотрение магнитного поля, которое обязательно присутствует в сильно ионизированных аккреционных дисках. Даже несмотря на то, что у самой черной дыры магнитного поля нет, даже очень слабое магнитное поле внутри самого диска делает его неустойчивым.
Поведение магнитного поля в плазме аккреционного диска аналогично поведению пружинки, скрепляющей два маленьких объема вещества на различных удалениях от центра. Пусть в начальный момент синий кусочек находится ближе к центру, чем красный (рис. 4, а). Так как скорость синего кусочка (на низкой орбите) больше, чем у красного, через какое-то время один будет опережать другой (рис. 4, b).
Рис. 4. Иллюстрация магниторотационной неустойчивости с помощью пружинки. Рисунок с сайта ay201b.wordpress.com
Пружинка при этом растянется и начнет прилагать силу к кусочкам, причем на синий эта сила будет действовать противоположно движению (тормозить его), а красный, наоборот, ускорять. Таким образом у синего кусочка момент импульса, vr, уменьшится, а у красного — увеличится. Это, по сути, и есть перенос момента импульса наружу. Благодаря такому переносу синий кусочек опустится на еще более низкую орбиту (чтобы его момент импульса совпадал с фоновым), а красный поднимется на более высокую (рис. 4, c).
Этот процесс неустойчив, так как чем дальше кусочки друг от друга, тем больше натяжение пружинки, тем больше сила и тем дальше они будут отлетать друг от друга, что и будет означать неустойчивость. Такая аналогия, конечно, работает только на начальной стадии развития неустойчивости: когда отклонения становятся достаточно большими, уже нельзя думать о сильно турбулентном магнитном поле как о пружинке.
Позже множество компьютерных симуляций аккреционных дисков подтвердили модель Балбуса и Хоули, и на сегодня механизм магниторотационной неустойчивости уже считается стандартным объяснением появления аккреции в дисках.
Симуляция аккреционного диска в разрезе. Цвет обозначает величину энергии магнитного поля (белый — сильное поле, зеленый — слабое). Как видно, в центральной области развивается магниторотационная неустойчивость, усиливающая поле и влекущая за собой перенос момента импульса наружу и аккрецию вещества вовнутрь.
Проводятся даже лабораторные эксперименты с плазмой (подобные тем, что проводились с жидкостью), в которых пытаются воссоздать эту неустойчивость в лаборатории. Об этом можно почитать в популярной статье Хантао Джи и Стивена Балбуса Angular momentum transport in astrophysics and in the lab.
Рис. 1. Орбиты вещества в кеплеровском диске. Центростремительное ускорение уравновешивается гравитационным притяжением. При этом дальние части диска вращаются медленнее ближних