Как ломаются спагетти?

В описании задачи и в фотографиях на рис. 1 уже можно углядеть два намека.

Если два разлома не могут произойти независимо, значит они как-то связаны друг с другом. Могут ли удаленные друг от друга части неподвижной спагеттины перед разломом заранее «договориться» в духе «Ломаемся тут и тут на счет раз-два-три!»? Нет, не могут, поскольку нагрузка статична. Поэтому то, что мы видим, — это результат динамического, быстро развивающегося во времени процесса. Разлом первоначально происходит в каком-то одном месте, там, где спагеттина оказывается наиболее хрупкой на изгиб. А вот сразу после этого запускается некоторый механический процесс, который каким-то образом порождает второй разлом. Вот этот процесс вам и надо описать.

Второй намек содержится в фотографиях. Видно, что обломки не просто разошлись друг от друга, они выпрямились, что, конечно, совершенно естественно. Может быть, именно в этом распрямлении кроется отгадка?

Возьмем на вооружение предыдущие подсказки и представим себе описанную в них ситуацию (рис. 2). На изогнутой спагеттине произошел первый разлом. Произошел он не посередине, а где-то сбоку, там, где спагеттина наименее прочна на излом — ведь никто не гарантирует, что механические свойства спагетти будут совершенно одинаковы по всей длине и что первой поддастся именно середина. Две части, которые раньше составляли единую спагеттину и по которым передавалось механическое напряжение, теперь потеряли механический контакт друг с другом. Они оказались в очень неустойчивом состоянии — они изогнуты, но никто эту изогнутость не поддерживает с одного конца. Распрямляясь, оба конца начинают выходить из этого неустойчивого состояния.

Рис. 2. Сразу после первого разлома две неравные части спагеттины начинают выпрямляться, каждая в свою сторону

Подумайте, как именно будет протекать это распрямление на первых порах, какие этапы будут быстрые, а какие — медленные. Это поможет вам догадаться, как будет меняться с течением времени форма более длинного куска спагеттины и откуда берется второй разлом.

Чтобы понять, как будет распрямляться изогнутый кусок спагеттины, надо «вжиться в его роль», надо почувствовать те внутренние напряжения, которые на стержень действуют при изгибе. В таком состоянии в его толще возникают деформации: во внешней части это растяжение, во внутренней — сжатие материала. Эти напряжения тем сильнее, чем больше кривизна стержня. Они действуют так, что стремятся уменьшить кривизну, выпрямить стержень. И самое важное — что эти выпрямляющие напряжения действуют не в каком-то одном месте стержня, а распределены по всей его длине. Распрямиться хочет каждый кусочек изогнутого стержня.

Пока спагеттина цельная, эти напряжения передаются по всему стержню, держатся друг за друга и, в конечном счете, упираются в пальцы, в концевые опоры. После первого разлома у каждой половинки появляется свободный конец, к которому никаких компенсирующих усилий не прикладывается. Но внутри стержня выпрямляющие напряжения по-прежнему действуют. Раз им никто уже не противоборствует, они, собственно, и начинают выпрямлять стержень, разворачивая его части друг относительно друга.

Если бы деформация была локализована только в одном месте, она бы разворачивала один конкретный участок стержня (рис. 3, слева). Чем короче торчащий кусок стержня, тем быстрее шло бы распрямление (причем зависимость эта кубическая). Но в реальной ситуации деформация распределена в стержне повсюду. Все эти выпрямляющие усилия действуют одновременно, но разворачивают они участки стержня разной длины, а значит, и справляются они с этой задачей за разное время (рис. 3, справа). Быстрее всего выпрямляется (и продолжает колебаться туда-сюда) самый кончик, а следом идут более длинные участки, и так далее — в общем, спагеттина не просто распрямляется, она деформируется.

Рис. 3. Слева: упрощенный пример, в котором выпрямляющие напряжения присутствуют только в основании, и разворачивают они стержень фиксированной длины. Справа: реальная ситуация, при которой напряжения присутствуют сразу везде и действуют на участки стержня разной длины

Совокупный эффект от всего этого движения выглядит примерно так. В самые первые мгновения после исходного разлома, стартуя со свободного конца, по спагеттине бежит волна характерной изгибной деформации, волна распрямления. Дальние части спагеттины еще не успели особо повернуться, у них кривизна какой была, такой почти и осталась, да и весь распрямившийся кусочек тоже не особо пока сдвинулся. Наложение этих движений — волна распрямления без существенного сдвига и неизменная кривизна вдалеке — приводят к тому, что на спагеттине появляется, движется и всё сильнее очерчивается бугорок повышенной кривизны (рис. 4). В какой-то момент кривизна бугорка превышает предел прочности материала и в этом месте образуется вторая трещина.

Рис. 4. Самопроизвольная деформация более длинной половинки спагеттины после первого разлома. Самый кончик быстро распрямляется, дальние участки еще не успевают существенно сдвинуться, и в результате появляется бугорок с большой кривизной, на месте которого и возникает второй разлом. Все деформации на этом рисунке преувеличены для наглядности

В принципе, разницу по времени между первым и вторым разломом можно сосчитать, но это уже будет серьезное исследование. В качестве совсем грубой оценки можно прикинуть, что длина центрального кусочка составляет несколько сантиметров, а скорость деформационных волн с такой длиной волны примерно на порядок меньше скорости звука в веществе (то есть порядка сотни метров в секунду). Поделив одно на другое, получаем время заметно меньше миллисекунды, в согласии с экспериментальным наблюдением.

Что касается движения и вращения центрального кусочка, то тут соображения такие. При первом разломе два свободных края расходятся наружу примерно с одинаковой скоростью (см. рис. 2). Это движение — результат распрямления с силой обоих концов. При возникновении второго разлома два края находятся в неравноправных условиях. Центральный распрямляющийся участок уже не испытывает таких напряжений, которые подбрасывали бы второй конец вверх. Зато этот кусочек, распрямляясь, отталкивает наружу противоположный край. Поэтому края второго разлома расходятся намного быстрее, чем первого, несмотря на то, что он начался чуть-чуть позже. Центральный кусочек движется первым разломом наружу, а вторым — вовнутрь. На рис. 1 первый разлом — справа, а второй — слева, поэтому вращается центральный кусочек по часовой стрелке. Это подтверждают и снимки последующих этапов этого эксперимента (рис. 5).

Рис. 5. Последующие этапы эксперимента, показанного на рис. 1. Изображение из статьи M. Vollmer, K.-P. Möllmann, 2012. Feynmans Rätsel der brechenden Spaghetti

По воспоминаниям Дэниела Хиллиса (W. Daniel Hillis), приведенным в одной из книг о жизни Ричарда Фейнмана (см. также видео), знаменитый физик несколько часов искал объяснение загадке ломающихся спагетти, ставил эксперимент за экспериментом, но так и не пришел к удовлетворившей его теории этого явления. В общем-то, это действительно сделать очень трудно, не решая численными методами уравнения и не «подсматривая» за этим процессом в сверхскоростное видео.

Долгое время серьезно за эту задачу не брались. Лишь недавно, в 2005 году, в журнале Physical Review Letters вышла статья, в которой приводились и результаты теоретического расчета, и экспериментальные данные, полученные с помощью видеокамеры, делавшей 4 тысячи кадров в секунду. Подробности статьи можно найти в упрощенном рассказе авторов этой работы (там же есть и видеоролики), в нашей новости 2005 года, в научно-популярном материале Секреты спагетти и во многих других похожих материалах, написанных как по мотивам той публикации, так и позже. Забавно также, что эта работа была отмечена в 2006 году Шнобелевской премией.

И хотя в этой статье результаты моделирования вполне сходятся с экспериментом, предложенное там качественное объяснение всё же не удовлетворяет полностью физическое любопытство. Основная мысль там такая: после первого разлома по остаткам спагеттины начинают гулять изгибные волны, и, накладываясь друг на друга, они могут в каком-то месте привести к слишком большой кривизне, а значит, и ко второму разлому. Кажется, что такая формулировка частично перекладывает объяснение на фразу «ну вот так вот сложились колебания».

В нашем решении мы заменили эту недосказанность механизмом распрямления, конкретным и интуитивно понятным откликом спагеттины на появление свободного конца. Это объяснение не оригинально; оно, с некоторыми изменениями, позаимствовано из совершенно шикарного видеоролика (см. ниже), который создал и выложил на Ютубе инженер и энтузиаст-популяризатор Дестин Сандлин (Destin Sandlin). Правда, для того чтобы разобраться в этих тонкостях, ему пришлось снимать весь процесс на сверхскоростную видеокамеру Phantom v1610, выдававшую 250 тысяч (!) снимков в секунду. Так что мы приходим к любопытному наблюдению: ломающиеся спагетти — это повседневный пример явления, разворачивающегося на микросекундном масштабе времен.