Мусорная катастрофа

Для построения модели нужно оценить вероятность столкновения спутников с осколками за единицу времени. Вспомните определения сечения взаимодействия и длины свободного пробега (см. задачу Критическая масса). Характерная скорость осколков и спутников известна.

Для оценки времени нахождения осколков на орбите примите, что они идеально круглые, а обтекание воздуха — идеально ламинарное. Тогда сила трения воздуха описывается формулой \(\frac{1}{2}D \rho AV^2\), где \(\rho\) — плотность воздуха, \(A\) — площадь поперечного сечения объекта, \(V\) — его скорость, а \(D\) — безразмерный коэффициент порядка единицы.

Сперва разберемся, как и за счет чего изменяются величины \(N\) и \(n\) за единицу времени (которую мы в условии положили равной году). Количество спутников увеличивается при запуске новых (обозначим число запусков за год за \(K\)) и уменьшается при столкновениях с осколками. Столкновений тем больше, чем больше и спутников, и околоземного мусора (коэффициент пропорциональности обозначим \(x\)). Таким образом:

Количество осколков увеличивается по двум причинам. Во-первых, из-за неудачных запусков (из-за каждого запуска появляется в среднем \(k\) осколков, вероятность неудачного запуска обозначим \(\alpha\)). Во-вторых, из-за столкновений со спутниками, уже находящимися на орбите (количество осколков, возникающих из-за каждого столкновения, обозначим \(q\)). Если бы осколки после возникновения вечно находились на орбите, то их число могло бы только расти. Но в реальности даже на такой большой высоте трение атмосферы ненулевое, и в среднем за некоторое время \(T\) осколки-таки падают обратно на Землю. Значит, изменение числа космического мусора в единицу времени можно записать так:

Вообще говоря, об этих двух уравнениях стоит думать, как о системе связанных дифференциальных уравнений, однако мы их поведение будем анализировать лишь качественно. Теперь оценим все присутствующие в них буквенные коэффициенты.

Как говорилось в условии, количество пусков за год в последние десятилетия оставалось примерно постоянным: \(K=100\) (полную статистику можно посмотреть, например, здесь). Для нахождения коэффициента \(x\) вспомним, что средняя скорость спутников и осколков друг относительно друга на околоземной орбите составляет порядка \(v=10\) км/с. Если принять среднюю площадь сечения спутников за \(\sigma\), то один спутник в среднем совершает \(n \sigma v / V\) столкновений за единицу времени. Здесь мы грубо оценили концентрацию осколков как \(n / V\) (\(V = 4\pi R^2 h\) — это объем околоземной орбиты). Таким образом, для коэффициента \(x\) получаем выражение \(x = \frac{\sigma v}{4\pi R^2 h}\).

Приняв \(\sigma \sim 1\) м², \(R=6400\) км, a \(h=2000\) км, получим численное значение: \(x \sim 3\cdot 10^{-10}\) в год.

Коэффициенты первого уравнения у нас уже есть! Давайте теперь взглянем на второе. Вероятность неудачного запуска, как отмечалось в условии, такова: \(\alpha \sim 0{,}02\). Число осколков, пополняющих при каждой неудаче космический мусор, равно \(k\sim 5000\).

Оценим теперь значение \(q\) — количество опасных осколков, возникающих при столкновении. Нас интересует именно количество потенциально опасных осколков — как уже отмечалось, это осколки массой несколько грамм и более. Так как число фрагментов массой \(\ge m_0\) обратно пропорционально величине \(m_0\), то в среднем от распада спутника массой \(M\) будет возникать \(M/m_0\) осколков массой \(\ge m_0\). Для средней массы спутника в несколько десятков килограмм и средней «опасной» массы мусора в несколько грамм получим \(q\sim 10^4\) осколков.

Единственный коэффициент, который осталось оценить — это \(T\), характерное время нахождения осколков на орбите. Для оценки примем среднее сечение осколков в несколько квадратных сантиметров, а плотность воздуха примем равной \(\rho\sim 10^{-14}\unicode{x2013}10^{-15}\) г/см³ (что соответствует плотности на высоте 200–300 км). Сила, действующая на частицу мусора тогда равна: \(F=\frac{1}{2}D\rho AV^2\). Скорость орбитального движения связана с радиусом орбиты следующим соотношением:

из чего можно сделать вывод, что изменение орбиты на величину \(\Delta R\) влечет за собой изменение скорости на величину \(\Delta V\), причем эти величины связаны равенством:

Иными словами, чтобы уменьшить высоту орбиты на 200–300 км, необходимо сбросить скорость на \(\Delta V / V \sim 10^{-2}\) (по порядку величины это величина изменения высоты — 200–300 км, — поделенная на радиус Земли). Физически это означает, что объекту нужно будет потерять примерно 1% орбитальной скорости, после чего он очень быстро войдет в плотные слои атмосферы и вернется на Землю (или, скорее всего, там же и сгорит или испарится от трения). Именно из-за этого плотность \(\rho\) можно считать примерно постоянной, так как большую часть времени осколок будет двигаться примерно на одной и той же высоте.

Приблизительное выражение для закона Ньютона тогда можно записать в виде:

где \(m\) — масса осколка. Из такой грубой оценки найдем, что время, проведенное на орбите объектом с массой \(m\) и сечением \(A\), равно:

где \(h\) — примерная высота орбиты. Приняв, \(h\sim 300\) км, \(m\sim 10\) г, \(A\sim 1\) см², \(V\sim 8\) км/с, найдем: \(T\sim 10\unicode{x2013} 100\) лет.

Конечно же, как всегда, все эти числа — лишь оценки по порядку величины. На самом деле космический мусор распределен по совершенно разным орбитам от сотни до нескольких тысяч километров над поверхностью Земли, а наше простое приближение этого не учитывает. Однако какие-то основные вещи из полученных мы-таки можем извлечь. С учетом всех коэффициентов уравнения теперь запишутся в следующем виде (время, напомним, измеряется в годах):

Давайте качественно проанализируем эти уравнения. Поначалу, как уже отмечалось, \(N \approx 5000\) и \(n\approx 10^5\). Поэтому в первые годы возникновением мусора из-за столкновений можно пренебречь, и \(n\) будет расти только за счет неудачных пусков на \(10^4\) за год (и совсем медленно убывать из-за возвращения в атмосферу). Количество спутников также будет увеличиваться со средним темпом в 100 спутников в год. В некоторый момент времени, однако, темп увеличения количества мусора из-за столкновений станет больше, чем из-за неудачных запусков: \(3\cdot 10^{-6} N n\sim 10^4\). Учитывая, что до этого момента примерно \(N\sim 100 t\) и \(n\sim 10^4 t\), найдем, что качественный перелом произойдет через \(t\sim 50\unicode{x2013}100\) лет! После этого количество мусора будет увеличиваться уже с нарастающим темпом (из-за зависимости \(Nn\)) — именно это и приведет к синдрому Кесслера.

Несмотря на весьма простую форму, полученные нами в решении (их называют уравнениями Лотки — Вольтерры) могут очень многое сказать о поведении довольно сложных систем. Рассмотрим наш пример более подробно: построим график с осями \(N\) и \(n\), и в каждой точке \((N_0;n_0)\) нарисуем вектор, координаты которого равны изменению величин \(N_0\) и \(n_0\), предсказанному нашей моделью. Если вектор вертикален, это означает, что величина \(N\) в этой точке не меняется: \(\Delta N/\Delta t = 0\). Если вектор горизонтален, то \(\Delta n/\Delta t = 0\). Такой график называют фазовым портретом системы уравнений. Для нашей системы «спутники + космический мусор» этот портрет изображен на рис. 2.

Рис 2. Фазовый портрет системы уравнений, описывающей количество спутников и частиц мусора

Начав с некоторой точки и следуя вдоль векторов, можно найти «решение» системы уравнений. На рис. 2 каждая цветная точка соответствует некоторому моменту времени \(t\) вдоль решения \(N(t)\) и \(n(t)\) с начальными условиями \(N=5000\) и \(n=10^5\).

Сначала, как мы и показали в решении, виден примерно линейный рост обоих параметров. Однако примерно через 50 лет (к 2100 году) рост \(N\) останавливается! Помните, мы по-прежнему запускаем по 100 спутников в год, но темп столкновений к тому моменту настолько большой, что примерно столько же в год мы и теряем. После этого из-за уменьшения количества спутников будет также уменьшаться количество мусора, пока мы не придем к стационарной точке, показанной на рис. 2 звездочкой. Эту точку легко найти — именно в ней \(\Delta N/\Delta t =\Delta n / \Delta t = 0\).

Вообще говоря, в некоторый момент после примерно 2100 года приближения, которыми мы пользовались для написания уравнений, перестанут работать: например, могут стать важными столкновения мусорных частиц друг с другом и т. д. Однако уже из начального отрезка можно видеть, что есть некоторый критический предел на количество мусора на орбите (обозначенный на графике красной областью), после которого запуски становятся опасными, а количество мусора растет экспоненциально.

Рис 3. Сценарий, при котором в 2022 году было решено резко удвоить количество спутников на орбите (а после этого продолжать запуски с обычным темпом). В рамках нашей модели мы столкнемся с синдромом Кесслера в течение всего лишь десятилетия

Другой важный результат можно увидеть на рис. 3, где изображено решение тех же уравнений, но с другим начальным условием: если вдруг внезапно понадобится, скажем, завтра же решим увеличить число спутников на орбите вдвое, то в течение всего лишь десятилетия мы неминуемо столкнемся с синдромом Кесслера. Это означает, что мы находимся очень близко к критически возможной плотности мусора на околоземной орбите (по крайней мере, так предсказывает наша модель).

Рис 4. Столкновения даже с самыми малыми кусочками космического мусора могут быть катастрофическими. На фото — результат эксперимента по столкновению алюминиевого шарика с металлическим корпусом космического корабля на скорости 7 км/с. Фото с сайта scientificamerican.com

Наряду с проблемой глобального потепления и энергетическим дефицитом, проблема «орбитального мусора» будет одной из важнейших в ближайшем столетии, которую нам придется как-то решать. Особенно остро эта проблема встанет в ближайшие годы из-за быстро растущего темпа запусков частных компаний (в первую очередь, это проекты Starlink компании SpaceX или проект Kuiper компании Amazon).

Пока что единственные меры применяемые предосторожности — это наблюдение и каталогизирование за крупными объектами (размером больше нескольких сантиметров). Однако с ростом популяции спутников на орбите безусловно потребуются более проактивные меры, так как опасность представляют даже самые мелкие осколки (рис. 4). Помимо этого существуют международные регуляции, согласно которым в течение некоторого времени после окончания активной жизни спутников их следует либо «сбросить» обратно на Землю (на практике это означает вывод на низкую орбиту, где спутник сам упадет не позже чем через 25 лет), либо, если это слишком дорого, вывести их на специально выделенные орбиты-кладбища. Также разрабатываются программы по непосредственной «уборке» мусора специально сделанными для этого спутниками (к примеру, RemoveDEBRIS), но все это находится лишь на уровне прототипов, идей и единичных экспериментов, и как это все применять на практике с тем количеством мусора, который уже накопился на околоземной орбите — пока непонятно.