Критическая масса

Для простейшей оценки можно предположить, что количество произведенных нейтронов в критическом объеме ядерного топлива в точности равно количеству покидающих этот объем нейтронов. Подумайте, какие предположения сделаны в этой оценке, и насколько они могут оказаться неверны.

Какую роль в этом процессе играют упругие рассеяния? Насколько сильно они могут изменить ответ? Какие еще эффекты мы не учли, которые могут значительно изменить ответ?

Сперва сделаем простую оценку. Во-первых, предположим, что концентрация нейтронов в сферическом объеме радиоактивного вещества примерно однородна (что на самом деле не совсем верно) и равна \(n_0\). Также предположим, что каждый нейтрон в среднем участвует в расщеплении один раз за время \(\tau_f\), стимулируя рождение дополнительных \(k\) нейтронов. Тогда за единицу времени в шаре радиусом \(R\) будет произведено столько нейтронов:

где множитель \(k-1\) появился из-за того, что каждый нейтрон при стимуляции расщепления производит \(k\) других, но при этом сам «исчезает».

С другой стороны, если считать, что средняя скорость нейтронов равна \(v\) и что движутся они строго радиально (что, опять же, очень неточное допущение), то в среднем шар радиусом \(R\) в единицу времени будет покидать следующее количество нейтронов:

Приравняв эти два выражения, найдем радиус критической сферы:

Давайте сперва упростим это выражение и перепишем его в терминах тех данных, которые нам предоставили экспериментаторы. Произведение \(\tau_f v\) — это, по сути, среднее расстояние, которое пролетает нейтрон до участия в расщеплении, то есть это ровно длина свободного пробега; обозначим ее \(\lambda_f\). Как эта величина связана с сечением взаимодействия? Сечение \(\sigma\) — это, если упростить, эффективный «размер» нейтрона, пролетающего по прямой линии сквозь однородное «облако» точечных ядер урана. Если какое-то точечное ядро попадается на пути нейтрона (то есть находится внутри условной трубы площади \(\sigma\), окружающей его траекторию) — происходит взаимодействие. Можно легко убедиться, что для сечения \(\sigma_f\) и концентрации ядер \(n\) — длина свободного пробега (среднее расстояние, которое пролетит нейтрон) равна \(\lambda_f = 1/(\sigma_f n)\). Из этих простых соображений получим:

Для урана получим примерно \(R_c\approx 31\) см, а для плутония — \(R_c\approx 19\) см. Но эти расчеты сильно переоценивают критическую массу: если бы инженеры пользовались ими для создания атомной бомбы, то она бы сдетонировала преждевременно.

Что в нашей модели не так? Во-первых, мы неявно предполагали, что длина свободного пробега нейтронов много меньше радиуса куска ядерного топлива. Иными словами, мы предполагали, что произвольный нейтрон в произвольной точке сферы имеет одинаковый шанс провзаимодействовать за единицу времени. Давайте проверим, так ли это. Если посчитать \(\lambda_f\) для урана и плутония, получим, соответственно, \(\approx 16\) см и \(\approx 14\) см. То есть на самом деле нейтроны, рожденные ближе к границе, имеют гораздо меньший шанс провзаимодействовать с ядрами до того, как покинут шар. Таким образом, в более сложной модели нужно разделить шар на две области: внешнюю, откуда нейтроны покидают его, не успевая взаимодействовать, и внутреннюю — где нейтроны имеют шанс провзаимодействовать.

Еще грубое приближение, которым мы пользовались, — это тот факт, что нейтроны никак не рассеиваются и летят примерно радиально до взаимодействия. Если обратить внимание на значения площадей сечения рассеяния, то можно увидеть, что нейтроны в среднем в 3–4 раза чаще рассеиваются, чем участвуют в расщеплении! Это означает, что траектории нейтронов от расщепления и до расщепления находятся не на прямой линии, и длину свободного пробега нельзя брать равной \(\lambda_f\), так как «свободного пробега» как такового нет.

Эту проблему легко исправить. Пусть в среднем нейтрон за время от одного расщепления до другого рассеивается \(\eta\) раз. Так как после рассеяния направление его движения произвольно, чтобы найти полное смещение, которое в среднем пролетает нейтрон, нужно сложить квадраты расстояний от рассеяния к рассеянию: \(d^2 = \lambda_s^2 + \lambda_s^2 + ... + \lambda_s^2\) (где слагаемых всего \(\eta\)). Таким образом, в среднем от расщепления к расщеплению нейтрон смещается на расстояние \(d = \lambda_s \sqrt{\eta}\) (с этим выражением мы также встречались в задаче про блуждание фотона в недрах звезд).Чему равно \(\eta\)? Это тоже достаточно легко понять: за время \(\tau_f = \lambda_f / v\) нейтрон рассеется \(\eta = \tau_f / \tau_s\) раз, где \(\tau_s = \lambda_s / v\) (время между рассеяниями). Поэтому \(\eta = \lambda_f / \lambda_s\).

Скорости нейтронов направлены произвольно, а не только радиально наружу, как мы предполагали. Это значит, что смещение\(d\) нейтрона между двумя захватами состоит из трех независимых компонент: \(d^2 = \delta r^2 + \delta p^2 + \delta q^2\), где \(\delta r\) — радиальное смещение, а \(\delta p\) и \(\delta q\) — смещения в двух перпендикулярных направлениях. Так как \(\delta r\), \(\delta p\), \(\delta q\) независимы и равны (ведь с точки зрения нейтрона нет выделенного направления), получим: \(\delta r = d / \sqrt{3}\).

Суммируем полученные формулы: за время \(\tau\) между двумя событиями захвата нейтроны в среднем в радиальном направлении пролетают расстояние \(\delta r = d/\sqrt{3} = \lambda_f / \sqrt{3\eta}\). Таким образом можно построить более сложную модель. Теперь у нас шар состоит из двух частей; нейтроны во внешней области толщиной \(\delta r\) не успевают захватываться, прежде чем вылететь из шара, тогда как нейтроны из внутренней области радиусом \(R- \delta r\) успевают поучаствовать в процессе. Число произведенных нейтронов будет тогда определяться лишь внутренней областью:

тогда как поток из сферы будет определяться просто количеством частиц во внешней области толщиной \(\delta r\):

где 1/2 взялась из-за того, что примерно половина нейтронов будет вылетать наружу, а другая половина будет лететь обратно внутрь. Приравняв выражения и решив уравнение относительно \(R\) (получится кубическое уравнение, у которого лишь один действительный корень), найдем:

Подставив соответствующие числа для урана и плутония, найдем, что их критические радиусы равны \(\approx 13\) см и \(\approx 12 \)см, соответственно. Эти значения ближе к реальности, но все еще далеки от инженерной точности. Проблема в том, что мы предположили, что концентрация нейтронов в шаре примерно постоянна. На самом деле это совершенно не так: ближе к границе концентрация нейтронов в 2–3 раза меньше. Из-за этого наша оценка, опять же, преувеличивает критический радиус.

Чтобы точно определить величину этого завышения концентрации нейтронов, нужно решать уравнение диффузии. Проделав это, можно получить, что во внешнем слое концентрация нейтронов будет в среднем в \(\alpha\) раз меньше, чем во внутреннем (величина \(\alpha\) зависит от сечений рассеяния и расщепления и концентрации ядер). Для урана \(\alpha \approx 3\), для плутония \(\alpha \approx 2{,}5\). Тогда выражение для критического радиуса будет выглядеть следующим образом:

И для урана, и для плутония это выражение дает \(R_c\approx 9{,}3\) см, что примерно в 2–3 раза меньше нашей первоначальной грубой оценки. Более точное численное решение показывает, что реальное значение для урана \(R_c\approx 8{,}5\) см, а для плутония — \(R_c\approx 6{,}2\) см.

Американский проект по созданию атомной бомбы был первым (пусть и закончившимся весьма печальными последствиями) научным проектом такого большого масштаба, что для решения практической задачи в крайне сжатые сроки потребовалось объединить усилия ученых из совершенно разных областей — от вычислительной математики до квантовой физики. Результатом после нескольких лет напряженной работы стали два конкурирующих дизайна ядерной бомбы — имплозивный с ураново-плутониевым топливом («Толстяк») и пушечный с чисто урановым топливом («Малыш»).

«Малыш», который изначально должен был иметь плутоний в качестве топлива (тогда эту бомбу еще называли «тощим человеком», англ. «thin man»), имел достаточно простой принцип: два субкритических цилиндра из урана, один из которых имел полость по размеру второго, сводились друг к другу взрывом, образуя цилиндр критического размера (рис. 1). Проблема с плутониевым топливом в этом дизайне была в том, что для правильного срабатывания требовался чистый от примесей плутоний. Примеси в плутонии тормозили нейтроны, искусственно увеличивая их сечение, и была опасность, что цилиндры сработают внештатно до запланированного взрыва. От плутониевого топлива пришлось отказаться в пользу высокообогащенного урана. В остальном, однако, этот дизайн был настолько прост, что его было решено пустить в дело без испытаний.

Рис. 1. Принцип работы «пушечной» схемы детонации ядерной бомбы, реализованный в «Малыше». Изначально ядерная начинка разделена на два субкритические части, находящиеся в разных концах длинного канала («Малыш», например, имел около 3 м в длину при диаметре внешнего кожуха около 70 см). Части имеют цилиндрическую форму, одна из них имеет полость по размеру второй. Чтобы началась цепная реакция, нужно быстро «вставить» вторую часть ядерного заряда в первую. Для этого используется подрыв достаточно большого количества обычной взрывчатки, которая запускает полый цилиндр по каналу. Рисунок с сайта en.wikipedia.org

Пока «Малыш» плыл на тихоокеанский остров Тиниан на борту тяжелого крейсера «Индианаполис» (он находится в 2500 км к юго-востоку от берегов Японии; во время Второй мировой войны на Тиниане располагалась авиабаза, с которой стартовали самолеты, сбросившие атомные бомбы на Хиросиму и Нагасаки), в штате Нью-Мексико проводилось первое испытание «Толстяка», дизайн которого был куда сложнее.

«Толстяк» работал по имплозивному принципу: плутониевая сфера субкритического объема массой 6 кг была со всех сторон окружена сдавливалась со всех сторон давлением взрывной волны, достигая критической плотности. В самом центре плутониевого шара находился специально спроектированный инициатор нейтронов под кодовым названием «еж» (англ. urchin, рис. 2). Задачей «ежа» был запуск цепной реакции в правильный момент, когда взрывная волна доходила до самого центра плутония, таким образом обеспечивая детонацию большей части топлива за очень короткий промежуток времени. «Еж» был сделан из полония, излучающего альфа-частицы, окруженного рифленой бериллиевой оболочкой. Когда взрывная волна долетала до самого центра, бериллиевая оболочка сжималась, перемешиваясь с полонием, и от взаимодействия с альфа-частицами полония начинала излучать свободные нейтроны, которые должны были сработать как инициаторы цепной реакции в плутонии.

Рис. 2. Внутреннее устройство «Толстяка». В самом центре находится «еж» (показан зеленым) — инициатор цепной реакции. Его окружает субкритический шар плутониевого топлива (красное), заключенный в урановый тампер (серый). Вокруг тампера находятся пластиковая оболочка для экранировки нейтронов извне (синяя) и алюминиевый корпус (светло-серый) для подавления турбулентности во взрывной волне. Вокруг всей этой «луковицы» расположено 2,4 тонны обычной взрывчатки, формирующей взрывную волну, которая должна сжать субкритический плутониевый шар до сверхкритического состояния и запустить в нем цепную реакцию. Рисунок с сайта en.wikipedia.org

Главным отличием плутониевого заряда в этом дизайне от упрощенной модели, которую мы рассматривали в задаче, является наличие внешнего уранового слоя — «тампера» (рис. 2). У этого слоя было два назначения. Во-первых, он не давал плутониевому ядру преждевременно разлететься в процессе цепной реакции. Из-за этого реальные расчёты критической сферы в обязательном порядке учитывали наличие уранового тампера (см. например, книгу The Physics of the Manhattan Project). Во-вторых, часть нейтронов захватывалась в этом слое и рассеивалась обратно, таким образом повышая эффективность топлива. Примерно 30% мощности взрыва генерировалось именно в этой урановой оболочке.

Рис. 3. Рентгеновские фотографии, сделанные во время испытаний «линзы» из взрывчатки. Изображение с сайта en.wikipedia.org

Гораздо более интересным было решение проблемы создания самой взрывной волны. По сферической оболочке вокруг взрывчатки было расположено 32 детонатора (показаны на рис. 2 желтым). Проблема в том, что взрывная волна, которая бы распространялась по взрывчатке, состоявшей из смеси тротила, баратола и других химических соединений, была выпуклой. Если бы взрыв распространялся по однородной взрывчатке, то мы бы имели 32 выпуклые взрывные волны в различных фазах. Однако, если сделать взрывчатку неоднородной, а именно варьировать ее состав таким образом, чтобы скорость распространения взрывной волны была неоднородной (как показано на рис. 2), то можно подобно линзе сфокусировать взрывную волну, сделав один сферически сходящийся фронт!

Имплозивный дизайн позже использовался и американскими (схема Теллера — Улама) и советскими (Сахаров, Курчатов и др.) физиками для создания водородной бомбы. Здесь уже вместо обычной имплозии применялся принцип радиационной имплозии, где вместо взрывной волны использовалось излучение, генерируемое обычным ядерным зарядом. То есть классическая ядерная боеголовка использовалась в качестве детонатора для инициации термоядерной реакции водородного топлива.