Блуждание фотона

Заметим, что на рис. 2 полный путь, выраженный вектором D — это сумма маленьких шажков l_i. Каждый такой шажок, который фотон делает на i-м шаге до столкновения, случаен. Если рассмотреть много-много фотонов, которые таким образом движутся, то в среднем направление этого i-го шага может быть произвольным, так как фотон может рассеяться в любом направлении. Поэтому если усреднить эти i-е «шаги» всех фотонов, то получится ноль.

Точно так же, если просто усреднить для всех разных фотонов полный путь D, который является суммой отдельных шажков, то тоже получится ноль (как сумма нулей).

Поэтому нужно вспомнить, что если направление каждого шага произвольно, то длина каждого шага в среднем равна длине свободного пробега l. Учитывая, что квадрат длины вектора — это скалярное произведение этого вектора с самим собой, то можно догадаться, что нужно сделать с D до того, как усреднять.

1) Будем пользоваться формулой l = 1/(nσ) для длины свободного пробега, где σ — сечение томсоновского рассеяния, а n — концентрация электронов, которая равна в точности концентрации протонов, так как мы считаем, что Солнце — полностью ионизованный водород. Соответственно полное число электронов (протонов) N_e = M_☉/m_H, а их концентрация равна n_e = N/V_☉, где V_☉ — объем Солнца.

Таким образом, для Солнца со средней концентрацией электронов n_e имеем, что длина свободного пробега фотона равна l = 1/(n_eσ_T) ≈ 1,8 см.

В реальности длина свободного пробега примерно в 20 раз меньше из-за наличия других эффектов, о которых мы поговорим в послесловии.

2) Для решения этого пункта представим вектор D в виде суммы векторов — шагов случайного блуждания: D = l₁ + l₂ + ... + l_N.

Возведем это равенство в квадрат, то есть умножим вектор на себя скалярно. Слева будет просто-напросто длина вектора в квадрате, а справа, как нетрудно убедиться, помимо квадратов длин шагов l_i² вылезут перекрестные скалярные произведения l₁·l₂, l₁·l₃ и т. д.

Теперь это равенство нужно усреднить. Физически это означает, что мы будем пускать много-много фотонов из центра Солнца и смотреть, чему в среднем равны значения l_i² и скалярные произведения пар векторов. В среднем каждое l_i² равно l², а скалярные произведения в среднем обнуляются, так как направления этих векторов абсолютно произвольны. Получим тогда, что D² = l² + l² + ... + l² = N·l², где N — это количество шагов.

То есть \( D=\sqrt{N} l \).

3) Средняя длина свободного пробега внутри Солнца у нас получилась равной l ≈ 1,8 см. Положив D = R_☉, найдем, что за N = R_☉²/l² шагов фотон долетит от центра Солнца до края. Чтобы перевести это во время, учтем, что на каждый шаг фотон тратит времени l/c, и получим: (R_☉²/l²)·(l/c) ≈ 2800 лет.

На самом деле, как было указано выше, реальная средняя длина свободного пробега в 20 раз меньше, поэтому реальное время вылета примерно 57 000 лет.

Получается, что фотон, произведенный в недрах Солнца доходит до нас только через 50 000 лет после своего рождения. Иными словами, если кто-то вдруг магическим образом выключит термоядерный «реактор» в центре Солнца, то мы несколько десятков тысяч лет не будем об этом подозревать.

Давайте подведем небольшой итог сказанному выше. Рассеяние фотонов, родившихся в результате термоядерных реакций в недрах Солнца, замедляет их вылет наружу. Соответственно, движение фотонов внутри Солнца описывается как диффузия — случайное блуждание — с некоторым шагом, называемым длиной свободного пробега, который равен l = 1/(nσ) = 1/(ρκ), где κ — коэффициент непрозрачности, а σ — сечение рассеяния.

Рис. 3. Рассеяние фотона на свободном электроне (томсоновское рассеяние)

В случае, когда рассеяние только томсоновское, то есть электроны в основном рассеиваются на свободных электронах (рис. 3), коэффициент непрозрачности (и сечение рассеяния) никак не зависит от температуры или плотности. Такое приближение хорошо работает при очень высоких температурах (рис. 6).

При более низких температурах, когда часть протонов все еще находится в составе атомах (частичная ионизация), возможны другие более эффективные рассеяния и поглощения фотонов. Например, фотоны определенных энергий могут поглощаться связанными электронами в атоме, которые из-за этого переходят на более «высокие» энергетические уровни (рис. 4). В таком случае говорят, что фотон возбудил атом. Такое поглощение называют bound-bound (то есть «связный-связный» — атом из связного состояния переходит в связное, ничего не ионизируется).

Рис. 4. Поглощение фотона связанным электроном и возбуждение атома. Рисунок с сайта fysikcbogen.systime.dk

Кроме этого, если энергия фотона будет достаточно высокой, электрон может не просто перейти на более «высокий» уровень, но и оторваться от атома — атом ионизируется. Такой процесс иногда называют фотоионизацией или bound-free процессом («связный-свободный»).

Если есть bound-bound и bound-free, то, наверное, есть и free-free? Да, но этот процесс чуть более сложный. В физике давно известен процесс, когда заряженная легкая частица, например, электрон, ускоряется в поле иона (протона). Ускорение заряженной частицы обязательно сопровождается излучением фотона; такое излучение называют тормозным или чаще всего по-немецки — bremsstrahlung (рис. 5, слева).

Рис. 5. Прямое (слева) и обратное (справа) тормозное излучение (bremsstrahlung)

Микрофизические процессы всегда обратимы, поэтому возможен и обратный процесс, а именно, поглощение фотона одновременно несвязными электроном и ионом (рис. 5, справа). Такой процесс называют free-free поглощением.

Таким образом, при низких температурах, если учесть все эти поглощения, то коэффициент непрозрачности имеет следующую функциональную зависимость от плотности и температуры (закон Крамерса, правая «спадающая» часть графика на рис. 6)

\[ \kappa\sim \frac{\rho}{T^{7/2}}. \]

При еще более низких температурах, к примеру, у поверхности звезд, когда помимо атомов могут существовать также молекулы и ионы H⁻ (водород с дополнительным электроном), основная часть поглощения происходит именно за их счет. При этом, коэффициент непрозрачности возрастает с температурой по закону κ ~ T⁴ (левая, «возрастающая» часть графика на рис. 6). Оказывается, что такой режим поглощения фотонов очень важен в атмосферах красных гигантов и протозвезд (звезд, которые еще находятся в состоянии сжатия, и в центре которых еще нет интенсивных термоядерных реакций).

Рис. 6. Измеренные в лаборатории значения коэффициента непрозрачности водорода в зависимости от температуры. Различные кривые соответствуют различным плотностям. Видно, что в правой части графика они выходят на постоянное значение, это режим томсоновского рассеяния (κ ~ const). При более низких температурах работает режим Крамерса \(\kappa\sim \frac{\rho}{T^{7/2}}\). При температурах меньше ~ 8×10³ K рассеяние в основном происходит из-за наличия ионов H⁻ и молекул по закону \( \kappa\sim \rho^{1/2}T^4 \). Рисунок из книги S. Chandrasekhar, An Introduction to the Study of Stellar Structure

Вооружившись этим знанием, в одной из следующих задач увидим, почему все звезды главной последовательности с массами от 0,1 до 100 масс Солнца ложатся на одну линию на диаграмме Герцшпрунга — Рассела и выведем форму этой линии.

При подготовке задачи использовалась книга D. Maoz, Astrophysics in a Nutshell.