Энергетика «Штучки»
Задача
В задаче «Малыш» и «Толстяк» мы разбирались, как, исходя только из фотографии взрывной волны, можно оценить энергию взрыва атомной бомбы. А сейчас мы мысленно переместимся в начало 1940-х годов — в «доатомную» эпоху — и попробуем понять, какие задачи должны были решить физики того времени, чтобы создать самое страшное оружие в истории человечества.
В экзотермических химических реакциях (например, при горении) в результате разрушения химических связей между молекулами или атомами высвобождается энергия. Физически эта энергия берется из электростатического поля электронов, связывающих атомы или молекулы друг с другом. Она трансформируется в кинетическую энергию и, как результат, — в тепло.
Ядро атома содержит в себе огромную потенциальную электростатическую энергию, и, если его расщепить, — эту энергию можно извлечь аналогично горению!
1) Энергия горения 1 кг угля составляет примерно 3·1011 эрг/г. Оцените по порядку величины энергию, которую можно извлечь из грамма урана (атомный номер 92). Можно принять, что размер ядра примерно в 104 раз меньше размера атома.
Массы изотопов удобно писать в следующем виде:
\[m=A+\Delta/\varepsilon,\]где масса \(m\) измеряется в условных единицах (эффективный атомный номер), \(A\) — массовое число элемента (суммарное число протонов и нейтронов в ядре), \(\varepsilon\) — константа, равная 931,494 МэВ, а \(\Delta\) — некоторый добавок в единицах МэВ, который разный для каждого элемента и изотопа.
2) Пусть для некоторой реакции начальные и конечные элементы имеют следующие массы:
\[m_{\rm in}=A_{\rm in}+\Delta_{\rm in}/\varepsilon, \\ m_{\rm out}=A_{\rm out}+\Delta_{\rm out}/\varepsilon.\]Найдите высвободившуюся в результате этой реакции энергию \(Q\).
Для энергетических или военных целей гораздо интереснее не спонтанный распад элементов, а так называемый вынужденный распад, при котором ядра распадаются в результате столкновения, например, с нейтронами.
Чему равна высвободившаяся энергия \(Q\) для реакции распада ядра урана \({}^{235}_{\phantom{0}92}\mathrm{U}\), спровоцированного нейтроном:
\[{}^{1}_{0}n+{}^{235}_{\phantom{0}92}\mathrm{U}\rightarrow {}^{141}_{\phantom{0}56}\mathrm{Ba}+{}^{92}_{36}\mathrm{Kr}+3\left({}^{1}_{0}n\right),\]где \(\Delta({}^{1}_{0}n)=8{,}071\) МэВ, а остальные табличные данные можно найти онлайн.
Как полученный результат соотносится с ответом на первый вопрос?
Теперь, когда мы примерно понимаем, с какой энергией приходится иметь дело, давайте подумаем, как эту энергию можно извлечь. Для расщепления ядер необходимы нейтроны. И эти же нейтроны могут производиться в результате расщепления. Так что решение лежало на поверхности: цепная реакция — распад одного ядра из-за столкновения с нейтроном приводит к образованию новых нейтронов, которые инициируют распады новых ядер, и так далее.
Вероятность столкновения нейтрона и ядра с последующим расщеплением (буква «f» — от англ. fission) описывается эффективным сечением захвата \(\sigma_f\): чем оно больше — тем вероятнее столкновение. На рис. 1 показаны сечения захвата нейтронов изотопами урана и плутонием-239. Из рисунка ясно видно, что у \({}^{238}_{\phantom{0}92}\mathrm{U}\) есть нижний порог — этот изотоп не взаимодействует с нейтронами, энергия которых ниже 1 МэВ.
Рис 2. Распределение энергии нейтронов, образующихся в результате распада урана. Изображение с сайта catalog.princeton.edu
Природный уран содержит примерно \(F=0{,}7\%\) \({}^{235}_{\phantom{0}92}\mathrm{U}\), а остальные 99,3% приходятся на изотоп \({}^{238}_{\phantom{0}92}\mathrm{U}\). На рис. 3 показаны сечения инициированного нейтроном распада \(\sigma_f\) и захвата \(\sigma_c\), а также среднее число нейтронов, выделяющихся при распаде (\(\nu\)), для двух изотопов урана — 235 и 238. Число в средней колонке соответствует энергичным нейтронам (с энергиями в несколько МэВ), число во второй колонке — «холодным» нейтронам (с энергиями много меньше 1 МэВ).
Рис 3. Сечение взаимодействия (\(\sigma_f\) — захват и распад, \(\sigma_c\) — неупругое рассеяние) изотопов урана 235 и 238 (соответственно, индексы 5 и 8) с быстрыми (средняя колонка) и медленными (правая колонка) нейтронами, а также среднее число вторичных нейтронов (\(
u\)) образующихся в результате деления ядер. Изображение с сайта catalog.princeton.edu
3) Возможна ли цепная реакция с природным ураном? Насколько нужно обогатить уран (повысить концентрацию \({}^{235}_{\phantom{0}92}\mathrm{U}\)), чтобы цепная реакция была возможна? Можно ли достичь цепной реакции, не обогащая уран?
Подсказка 1
Полное число нуклонов (\(A\)) в результате ядерной реакции сохраняется.
Подсказка 2
Цепная реакция возможна, если число произведенных нейтронов в результате деления одного ядра в среднем больше 1.
Решение
По порядку величины энергию, высвобождаемую в результате горения, можно оценить как электростатическую энергию электрона в поле ядра: \(U \sim e^2 / r_{a}\), где \(e\) — заряд электрона, а \(r_a\) — размер атома (размер «орбиты» электрона). По сути, это энергия горения на один атом; помножив на число атомов в грамме \(n\), получим энергию горения на грамм вещества: \(q = n e^2 / r_a\).
В реакции ядерного расщепления физика очень похожа, но заряд больше в \(Z\) раз (в случае урана \(Z= 92\)), и расстояние — не \(r_a\), а \(r_n\) (размер ядра, в 104 раз меньше). Получается, что энергия расщепления урана в пересчете на одну частицу примерно в \((Z/2)^2 (r_a / r_n) (n_{\rm уран}/n_{\rm уголь})\sim 10^6\) раз больше, чем у угля (\(Z/2\), так как эффективно «улетает» примерно половина заряда ядра, а число \(n\), по сути, обратно пропорционально молярной массе). Получается примерно \(3\cdot 10^{17}\) эрг/г. Можно оценить, что эффективность ядерного топлива (относительно его массы покоя) составляет примерно 0,03%, что на много порядков больше, чем эффективность химических реакций. В задаче «Малыш» и «Толстяк» мы оценили мощность взрыва во время первого испытания ядерной бомбы (операция «Тринити») как 1021 эрг (или 1014 Дж), что соответствует детонации примерно 3–4 кг ядерного топлива (что эквивалентно 20 миллионам килограмм тротила!).
Теперь рассмотрим всё это подробнее. В процессе расщепления атомного ядра — самопроизвольного или вынужденного — число нуклонов всегда сохраняется, то есть \(A_{\rm in} = A_{\rm out}\). Тогда высвободившаяся энергия \(Q\) будет равна:
\[Q = (m_{\rm in}- m_{\rm out}) \varepsilon = \Delta_{\rm in}- \Delta_{\rm out}.\]То же самое можно посчитать, зная суммарные массы начальных и конечных изотопов, но считать в терминах \(\Delta\) удобнее, так как здесь учитывается неизменность количества нуклонов.
Соответствующие значения \(\Delta\) можно найти, скажем, по этой ссылке (там \(\Delta\) обозначается «Mass Excess»). Возьмем такие значения: \(\Delta\left({}^{235}_{\phantom{0}92}\mathrm{U}\right) = 40{,}92\) МэВ, \(\Delta\left({}^{141}_{\phantom{0}56}\mathrm{Ba}\right)=-79{,}73\) МэВ, \(\Delta\left({}^{92}_{36}\mathrm{Kr}\right)=-68{,}79\). Тогда получим, что
\[Q \sim 173~\text{МэВ}.\]Это «полезная» энергия, освободившаяся в виде кинетической энергии результирующих изотопов за одну реакцию. В одном грамме содержится \(N_{\rm A} / 235\) частиц (\(N_{\rm A}\) — число Авогадро). Получим, что эффективное энерговыделение на единицу массы примерно равно \(q \sim 8\cdot 10^{17}\) эрг/г, что вполне сопоставимо с приблизительной оценкой, которую мы сделали раннее.
Давайте попробуем понять, что это за масштаб энергии. Для вывода массивных ракет на околоземную орбиту обычно требуется от 10 до 100 МДж/кг, или, если перейти в систему СГС, 1011–1012 эрг/г. То есть с энергетической точки зрения урановое топливо способно вывести на орбиту груз на порядки тяжелее собственного веса. Для сравнения, горение водорода или метана еле дотягивает до значений 100 МДж/кг — метановая ракета не сможет даже поднять свой собственный вес (собственно, поэтому и существует более плотное ракетное топливо). Именно из-за такой огромной энергетической плотности ядерная энергия и является самым перспективным источником энергии, особенно в проектах, связанных с космосом, где каждый лишний грамм на счету. В частности, марсоход Curiosity питается тепловой энергией распада радиоактивного изотопа плутония в составе \(\mathrm{Pu}\mathrm{O}_2\) (на борту в момент запуска было примерно 4,8 кг этого вещества).
Но вернемся к цепной реакции. В процессе расщепления \({}^{235}_{\phantom{0}92}\mathrm{U}\) который мы рассмотрели выше, выделяется три лишних нейтрона, которые потенциально могут столкнуться с другими ядрами урана и продолжить цепочку.
Проблем несколько.
Во-первых, нейтроны не всегда вызывают расщепление: иногда они просто захватываются ядром урана, который позже излучает электрон в процессе бета-распада, произведя относительно стабильный нептуний. При этом, по сути, нейтрон «исчезает» из системы и не может далее расщеплять ядра. Соответствующие сечения захватов показаны на рис. 3 и обозначены \(\sigma_{c5}\) и \(\sigma_{c8}\) для урана-235 и урана-238, соответственно.
Во-вторых, помимо канала распада, описанного выше, существует множество других каналов (к примеру, распад ядра урана-235 на \({}^{90}_{38}\mathrm{Sr}\) и \({}^{144}_{\phantom{0}54}\mathrm{Xe}\)), в результате которых может «излучиться» меньшее количество нейтронов (см. рис 5.8.2 здесь). Усредненные сечения всех этих процессов в сумме показаны на рис. 3 и обозначены \(\sigma_{f5}\) и \(\sigma_{f8}\). Соответствующее количество произведенных нейтронов (в среднем) обозначено \(\nu_5\) и \(\nu_8\).
В-третьих, нейтроны, произведенные в процессе распада — энергичные (так называемые быстрые нейтроны): их характерные энергии достигают МэВ. При таких энергиях сечение взаимодействия ядра урана-235 с нейтроном очень маленькое (в сравнении с медленными нейтронами).
Чтобы реакция поддерживала сама себя, нужно, чтобы в среднем количество произведенных нейтронов было больше 1 (обычно оно обозначается \(k\)). Давайте оценим число \(k\) для природного урана с содержанием 235 изотопа \(f\) (в необогащенном уране \(f=0{,}007\)). У каждого нейтрона, по сути, есть 4 опции: быть захваченным ураном-238 или ураном-235 (и не произвести ни одного вторичного нейтрона), либо расщепить ядро урана-238 или урана-235, произведя, в среднем, соответствующее количество (\(\nu\)) вторичных нейтронов. Вероятность первых двух процессов пропорциональна \((1-f)\sigma_{c8}\) и \(f\sigma_{c5}\) (коэффициенты возникают из-за состава природного урана). При этом производится 0 вторичных нейтронов. Во втором же случае вероятности пропорциональны \((1-f)\sigma_{f8}\) и \(f\sigma_{f5}\) и производится, соответственно, \(\nu_8\) и \(\nu_5\) нейтронов. Чтобы найти \(k\), осталось отнормировать вероятности на полную вероятность взаимодействия нейтрона: \(\sigma = (1-f)(\sigma_{f8} + \sigma_{c8})+ f(\sigma_{f5}+\sigma_{c5})\). В итоге получаем:
\[k = \frac{(1-f)\sigma_{c8}\cdot 0+f\sigma_{c5}\cdot 0+(1-f)\sigma_{f8}\cdot \nu_8+ f\sigma_{f5}\cdot\nu_5}{\sigma}.\]Осталось подставить числа. Как упоминалось выше, нейтроны, произведенные в реакции распада — быстрые, поэтому брать мы будем числа из среднего столбца рис. 3. Для необогащенного урана получим \(k \approx 0{,}27\), то есть цепная реакция невозможна.
К счастью, наша формула позволяет оценить, насколько нужно обогатить уран, то есть повысить концентрацию \({}^{235}_{\phantom{0}92}\mathrm{U}\), чтобы цепная реакция была возможна. Решив неравенство \(k>1\) относительно \(f\), получим \(f \gtrsim 0{,}53\). Иными словами, изотопов урана-235 должно быть примерно столько же (как минимум), сколько изотопов урана-238. А значит, чтобы получить один килограмм обогащенного урана, требуется примерно 100 кг природного!
Рис. 4. Зависимость среднего числа вторичных нейтронов в пересчете на один входной нейтрон от доли урана-235 в урановом топливе
Обогащение урана (также как и синтез плутония) — чуть ли не самая важная и дорогая задача, которую пришлось решать при создании первой ядерной бомбы. Альтернативой этому является торможение нейтронов с помощью тяжелой воды (\(\mathrm{D}_2\mathrm{O}\)) или графитовых стержней. «Холодные» нейтроны с гораздо большей вероятностью взаимодействуют с ядрами урана (если посчитать \(k\) для природного урана с холодными нейтронами, получится 1,3). Эта технология используется в так называемых «медленных» ядерных реакторах (реактор на тепловых нейтронах РБМК-1000, используемый в Чернобыле, работал именно по этому принципу) и позволяет использовать в качестве топлива природный уран. В реакторах значение \(k\) для стабильной работы держится близким к 1 и контролируется нейтронными модераторами (скажем, графитовыми стержнями), которые «сбрасывают» энергию нейтронов, тем самым увеличивая их сечение взаимодействия.
Послесловие
В начале XX века физика как никогда близко подошла к объяснению природы мельчайших, как тогда предполагалось, неделимых частиц, из которых состоит наш мир, — атомов (в переводе с греческого это дословно означает «неделимый»). Но по итогам многочисленных экспериментов, параллельно которым разрабатывались теория строения атомного ядра Нильса Бора и квантовая механика, стало понятно, что атомы — это не финальный рубеж в микрофизике: для объяснения множества наблюдаемых эффектов требовалось «разложить» их на более мелкие составляющие.
Уже в 1930-е годы было известно, что атом состоит из положительно заряженной частицы (ядра), окруженной отрицательно заряженными электронами. Это делает атомы электронейтральными, но позволяет объяснить многое: например, химические связи между элементами, поляризуемость материалов и т. д. Химические свойства различных атомов обозначались порядковым (атомным) номером, который, по сути, соответствовал заряду ядра в некоторых условных единицах. Эту условную единицу назвали протоном.
Тогда же химики обнаружили, что ядра элементов со схожими химическими свойствами (равными атомными номерами) иногда имеют различные массы. В картину мира, где атомы состояли лишь из протонов и электронов, эти эксперименты не укладывались. В 1932 году английский физик Джеймс Чедвик открыл еще одну составную часть ядра — нейтрон, который имел нулевой заряд и массу, сравнимую с массой протона. Элементы, имеющие одинаковый заряд ядра, но различное количество нейтронов, назвали изотопами.
Рис. 5. Периодическая таблица элементов, предложенная американским химиком Лоренсом Фостером в 1939 году. Стандартизированной версии таблицы элементов в те времена еще не существовало. Изображение из статьи L. S. Foster, 1939. Why not modernise the textbooks also? I. The periodic table
Такая модель с тремя элементарными частицами — электроном, протоном и нейтроном — заодно отлично позволяла описать и еще один физический эффект, известный еще с конца XIX века и подробно изученный, — радиоактивность. Стало понятно, что многие ядра нестабильны и способны спонтанно менять свои атомные номера (дробясь или трансформируя нейтроны в протоны и обратно), излучая при этом электроны/позитроны (бета-распад) или ядра \(\mathrm{He}^4_2\) (альфа-распад).
Последний ключевой шаг к идее создания ядерного оружия был совершен в 1938 году. Немецкие химики Отто Ган и его студент Фриц Штрассман вместе с Лизой Мейтнер в своей берлинской лаборатории в ходе экспериментов по «бомбардировке» ядер урана нейтронами, начатых еще в начале 30-х годов, обнаружили барий (заряд — 56) в качестве «побочного» продукта реакции. Это плодотворное сотрудничество пришлось на время прервать, поскольку в 1938 году Лиза Мейтнер лишилась австрийского гражданства из-за еврейских корней и вынуждена была покинуть фашистскую Германию, обосновавшись в Швеции. Благодаря ее теоретическим расчетам (выполненным вместе с ее племянником Отто Фришем) было явно доказано, что в ходе эксперимента удалось расщепить ядро урана с выбросом огромного количества энергии.
Нильс Бор, который находился в постоянном контакте с Ганом и Мейтнер, из Копенгагенского института в январе 1939 года отправился в США. Там он поделился новым открытием с физиками из Принстонского (Джоном Уилером, с которым он разработал модель деления ядра) и Колумбийского (Энрико Ферми и Лео Силардом, которые показали возможность цепной реакции) университетов. Физики в США очень быстро осознали возможный потенциал этого открытия в свете надвигающейся войны. В августе 1939 года по инициативе Силарда Альберт Эйнштейн, находившийся тогда в принстонском Институте перспективных исследований, пишет письмо президенту Франклину Рузвельту, где предупреждает его о новом источнике энергии, который может быть использован в качестве оружия. В октябре того же года Рузвельт создал военный Урановый комитет, который позже станет тем, что вошло в историю как Манхэттенский проект.
Отметим, что тех условий цепной реакции, которые мы рассмотрели в этой задаче, недостаточно для создания ядерной бомбы. В нашем рассмотрении мы предполагали, что энергичные нейтроны, произведенные при распаде урана, никогда не покидают систему. Можно считать, что мы рассматривали бесконечно большой объем урана. Однако в реальности если объем уранового топлива недостаточно большой, то огромная часть нейтронов просто «вытекает» из системы с его поверхности, не взаимодействуя ни с чем, и цепная реакция не происходит. Минимальную массу топлива, при которой реакция возможна, называют критической, и ее точный расчет был жизненно необходим для разработки бомбы. Этому будет посвящена следующая задача.
Айк, но как же тогда летает пепелац Starship Илона Маска на кислородно-метановых двигателях? Маск собирается запускать на паре метан-кислород (двигатели Raptor)
свою главную ракету массой 5000 тонн. Безос тоже долелывает большую метановую ракету с двигателями BE-4.
Рис 1. Сечение захвата (по вертикальной оси) нейтронов (энергия нейтронов указана по горизонтальной оси) ядрами трех элементов. График из курса лекций «The Los Alamos Primer», который читался новоприбывшим сотрудникам засекреченной лаборатории в Лос-Аламосе в 1943–1944 годах. 25, 28 и 49 — это условные обозначения, которые использовались в Манхэттенском проекте для элементов \({}^{235}_{\phantom{0}92}\mathrm{U}\), \({}^{238}_{\phantom{0}92}\mathrm{U}\) и \({}^{239}_{\phantom{0}94}\mathrm{Pu}\). Плутоний на тот момент был открыт относительно недавно, поэтому официального названия у него тогда еще даже не существовало, и в секретных документах писали просто \(94^{239}\). Изображение с сайта catalog.princeton.edu