Кружевные салфетки

В каждом случае нарисуйте салфетку при большем значении n и классифицируйте разновидности частей кругов, которые возникают. При больших значениях n в салфетке легче будет заметить расположение одинаковых частей и посчитать их количество в зависимости от n.

а) Рассмотрим салфетку при \(n = 5\) (рис. 2), и на ее основе сделаем обобщение и посчитаем число частей для салфетки, построенной на решетке \(n\times n\). Окружности, пересекаясь, делят плоскость на части нескольких видов. Закрасим части каждого вида одним цветом и посчитаем их количество:

Рис. 2.

Для всех частей зеленого, синего и голубого цветов есть взаимно однозначное соответствие с узлами решетки, поэтому суммарно число частей с такими цветами равно \(n^2\). Белые горизонтальные части, похожие на линзы, расположены рядами. В каждом ряду ровно \(n\) линз, а горизонтальных рядов на один меньше, поэтому горизонтально расположенных линз \(n(n-1)\). Вертикально расположенных линз столько же, сколько и горизонтальных, поэтому белых частей \(2n(n-1)\). Всего же с учетом внешней части получим \(n^2+2n(n-1)+1\) частей. После упрощения получим, что \(n^2\) окружностей делят плоскость \(3n^2-2n+1\) частей.

б) Поступим аналогично. Раскрасим салфетку при \(n = 5\) так, чтобы равные части были покрашены одним цветом (рис. 3), а считать их будем в общем виде для салфетки, построенной на решетке \(n\times n\).

Рис. 3.

Пересекаясь, окружности делят плоскость на такие части: зеленыe части расположены в углах салфетки, их 4; синие части по периметру салфетки образуют квадратную рамку, в которой на одной стороне \(n-1\) синих фигурок, поэтому всего синих частей \(4(n-1)\); голубых частей на стороне этой квадратной рамки на одну меньше, поэтому всего голубых частей \(4(n-2)\); желтые части расположены в форме квадрата, их \((n-1)^2\); красные части можно посчитать так же, как белые линзы в пункте а), горизонтальными и вертикальными рядами, их \(2(n-1)(n-2)\); белые части удобно посчитать четверками, потому что четыре белые части окружают желтый криволинейный квадрат, образуя четырехлепестковую ромашку, поэтому в салфетке \((n-1)^2\) белых частей; еще 1 часть — часть плоскости вне салфетки.

Суммируем все эти выражения и после упрощения получим, что в пункте б) \(n^2\) окружностей делят плоскость на \(7n^2-8n+2\) частей.

Всегда интересно знать, как появилась задача. Будучи школьником, мне приходилось решать задачи из «Задачника по геометрии» Н. Рыбкина. При изучении площадей в одной из задач предлагалось найти площадь фигуры необычой формы:

Определите площадь фигуры, заштрихованной на рис. 4 (слева).

Рис. 4.

Позже, когда я стал учителем, придумал для своих учеников задачу на вычисление площадей такой же тематики, но посложней. Она была опубликована в журнале «Квант» (в №2 за 2010 год).

Круги радиуса 1 (и значит, площади \(\pi\)) наложены друг на друга так, что их границы образуют кружевную салфетку (рис. 4, справа). Найдите площадь фигуры, явлющейся объединением этих кругов.

Можно обратить внимание, что в этой задачи пересекающиеся окружности образуют много различных частей — как в нашей задаче. Мне их захотелось посчитать, причем в зависимости от числа проведенных окружностей.

А теперь небольшое исследование. Обе рассмотренных нами вопроса являются представителями большого семейства родственных задач. В самом деле, если на плоскости задана квадратная решетка \(n\times n\) точек, то равные окружности с центрами в этих точках можно с разными радиусами: начиная с малых, когда окружности не пересекаются, например, \(r=\frac15\). В этом случае \(n^2\) окружностей делят плоскость на \(n^2+1\) часть (рис. 5, слева).

Увеличим радиусы окружностей до \(r=\frac12\) — они начнут касаться соседних окружностей (рис. 5, справа). В этом случае между касающимися окружностями образуются новые желтые участки (похожие на астроиды), и их \((n-1)^2\), поэтому общее число частей увеличится на эту величину и станет равно \(n^2+1+(n-1)^2\). После упрощения получим, что в этом случае \(n^2\) окружностей делят плоскость на \(2(n^2-n+1)\) частей.

Рис. 5.

Если слегка увеличить радиусы окружностей, то, пересекаясь, соседние окружности, буду допонительно образовывать белые части, по форме похожие на оптические линзы (рис. 6, слева). Посчитаем сначала горизонтально расположенные, их \(n\) рядов по \((n-1)\) линзе в каждом ряду, то есть горизонтальных линз \(n(n-1)\) штук. Столько же и вертикально распоженных линз, а всего к уже имеющимся частям добавляется \(2n(n-1)\) линз. Поэтому в этом случае имеется \(2(n^2-n+1)+2n(n-1)\) частей. Упростив, получим, что в этом случае \(n^2\) окружностей делят плоскость на \(2(2n^2-2n+1)\) частей.

Рис. 6.

Следующим шагом будет такое увеличение радиусов окружностей, при котором исчезнут желтые «астроиды», это произойдет, когда станут касаться окружности, соседние по диагонали (рис. 6, справа). Здесь радиус окружностей равен \(r=\frac{\sqrt2}2\). Получен пункт а) нашей задачи, в котором, как было выяснено выше, \(n^2\) окружностей делят плоскость на \(3n^2-2n+1\) часть. Кстати, используя полученные результаты, в предыдущем случае можно посчитать количество частей плоскости иначе, если заметить, что желтые «астроиды» исчезли, поэтому количество частей равно \(2(2n^2-2n+1)- (n-1)^2\), и после упрощения как раз получим \(3n^2-2n+1\) часть.

Продолжим увеличивать радиусы оружностей. Если это сделать на совсем малую величину, то желтые «астроиды» вернутся, теперь они будут выпуклыми и вместе с ними появятся четырехлепестковые ромашки (рис. 7, слева). При этом общее число частей плоскости увеличится на \(5(n-1)^2\) и станет равно \(8n^2-12n+6\).

Рис. 7.

Увеличив радиусы окружностей до \(r=1\), получим пункт б) нашей задачи (рис. 6, справа). Число частей плоскости в этом случае уже посчитано, но формулу подсчета можно получить иначе. Заметим, что при переходе от рис. 6 слева к рис. 7 справа теряются (исчезают) розовые части, похожие на квадрат, а их \((n-2)^2\) штук. Поэтому в этом случае частей \((8n^2-12n+6)-(n-2)^2\), что в точности совпадает с результатом в пункте б) задачи. Отметим, что этот вариант задачи предложил Тальмон Сильвер.

Можно пойти еще дальше, продолжая увеличивать радиусы окружностей. На рис. 8 слева изображены окружности, радиус которых чуть больше 1. На рис. 8 справа изображены окружности, радиус которых равен \(r=\frac{\sqrt5}2\), — при такой величине радиусов касаются окружности, центры которых находятся на расстоянии \(\sqrt5\). Рассуждая аналогично можно посчитать число частей плоскости, на которые \(n^2\) окружностей делят плоскость. Эти выражения равны \(2(6n^2-10n+3)\) и \(2(5n^2-7n+1)\) соответственно.

Рис. 8.

Понятно, что процесс увеличения радиусов можно продолжать и продолжать, при этом возникают все новые и новые салфетки, а подсчет частей плоскости становится все трудней. К примеру, на рис. 9 изображена пугающая и не раскрашенная салфетка, которая получается, когда радиусы окружностей чуть больше 2. Кто возьмется посчитать число частей плоскости в этом случае? Я не рискнул!

Рис. 9.

Подводя итог этим рассуждениям, скажем, что имеем бесконечную серию ее вариантов, до конца не исследованную, но интересную, в которой возникают красивые салфетки.

Можно пойти в другом направлении. Пункты а) и б) решенной задачи задают две последовательности. Рассмотрим последовательность, которую определяет пункт а): 2, 9, 22, 41, 66, ... с общим членом \(a_n=3n^2-2n+1\). Первые ее пять членов представлены в виде кружевных салфеток на рис. 10.

Рис. 10.

Числа этой последовательности удивительным образом возникают в натуральном ряду, записанном в форме шестиугольной спирали (рис. 11). Они упорно выстраиваются по одной из диагонали, начиная от центра. На рисунке эти числа выделены желтым цветом. Как это объяснить?

Рис. 11.

Дело в том, что последовательные разности этой последовательности (разность между соседними членами) выглядят так: 7, 13, 19, 25, 31, ... Эти числа образуют арифметическую прогрессию, с разностью \(d=6\), потому что \(a_{n+1}-a_n=3(n+1)^2-2(n+1)+1-(3n^2-2n+1)=6n+1.\) Но в шестиугольной спирали «расстояние» между числами натурального ряда, расположенными на выделенной «желтой полудиагонали», с каждым новым витком увеличивается на 6, как и у членов арифметической прогрессии.

Если рассмотреть только те части салфетки, на которые она делится окружностями, при помощи которых она построена, то есть исключить внешнюю часть плоскости снаружи салфетки, то частей будет на 1 меньше. То есть сама салфетка будет разделена окружностями на частей: 1, 8, 21, 40, 65, 96, 133, 176, 225,..., \(3n^2-2n\)...

Со времен древних греков люди изображали числа набором точек. Так, наглядно в форме точечного квадрата изображались квадратные числа, в форме точечного треугольника — треугольные числа.

Если пойти по следам древних греков и попытаться графически, то есть точками, изобразить число частей нашей салфетки, то можно получить четырехлучевую звезду, состоящую из точечного квадрата и четырех точечных треугольников. На рис. 12 части салфетки и соответствующие им кружки звезды закрашены одним цветом.

Рис. 12.