Пространство треугольников (окончание)

Алексей Панов, Дмитрий Ал. Панов, Пётр Панов
«Квантик» №3, 2021

Начало в «Квантике» № 1 и № 2, 2021.

Точка, где небо касается Земли, — исследователь на границе Мира. «Гравюра Фламмариона», Википедия

А теперь двинемся к границам и полюсам Треугольного Мира. При этом постоянно будем следить за треугольниками, мимо которых проходим.

Равнобедренные треугольники

Рис. 11. Равнобедренный треугольник

Особое место в Треугольном Мире занимают равнобедренные треугольники, нанизанные на его экваторы как позвонки (рис. 12).

Определение. Равнобедренный треугольник — это треугольник с двумя равными сторонами (рис. 11).

Теорема. В равнобедренном треугольнике против равных сторон лежат равные углы. Если в треугольнике два угла равны, то против них лежат равные стороны и треугольник равнобедренный.

В направлении границы

Что происходит с нарисованными на карте треугольниками по мере приближения к границе (движение вдоль первой стрелки на рисунке 12)?

Рис. 12. На карте проложен маршрут: сначала мы движемся к границе Мира, а потом вдоль неё к Красному полюсу

Ответ очевиден: они сплющиваются и на самой границе превращаются в отрезок с отмеченной на нём точкой — в сплюснутый треугольник (рис. 13).

Рис. 13. Сплюснутый треугольник, a = b + c

Для сплюснутого треугольника неравенство треугольника превращается в равенство. В нём большая сторона равна сумме двух других: a = b + c.

Углы равны, равны ли стороны?

С теоремой о равнобедренном треугольнике на границе Треугольного Мира нас ждёт сюрприз. Наверное, вы догадались, что у сплюснутого треугольника на рисунке 13 один угол (зелёный) равен 180°, а остальные два — по 0°. Но против этих двух равных нулевых углов лежат две неравные стороны b ≠ c.

Выходит, вторая часть теоремы неверна? К счастью, математики давно разработали нужную теорию — анализ бесконечно малых. На нашем маршруте мы шли мимо треугольников, у которых можно отметить свои синий и красный углы. При подходе к границе и синие, и красные углы постепенно «превращаются» в нулевые, но делают это не одинаково. Вычислив в каждом треугольнике отношение синего угла к красному, мы увидим: пока эти углы ещё не стали нулями, но уже практически «бесконечно малы», их отношение не отличить от b/c. С этой точки зрения, условно будем считать, что в сплюснутом треугольнике синий и красный углы относятся друг к другу как b/c.

Так бесконечно малые спасают теорему о равнобедренном треугольнике: нулевые углы (рис. 13) не равны друг другу с точки зрения их отношения! Они будут равными лишь для равнобедренного сплюснутого треугольника, где \( a = \frac{1}{2} \), \( b = \frac{1}{4} \), \( c = \frac{1}{4} \).

Но продолжим наш маршрут.

К полюсу вдоль границы

По мере приближения к Красному полюсу (вдоль второй стрелки) длины сторон a и b выравниваются, сторона c уменьшается, а две вершины сплюснутого треугольника (зелёная и синяя) сближаются (рис. 12). В итоге полюс предстаёт перед нами равнобедренным треугольником со сторонами \( a = \frac{1}{2} \), \( b = \frac{1}{2} \), c = 0.

Рис. 14. Треугольник, представляющий Красный полюс

Угол между a и b равен 0°. А два других угла?

Тайна красного полюса

Мы зашли в Красный полюс вдоль границы Треугольного Мира. Все треугольники, мимо которых мы проходили, были сплюснутыми и все имели углы 0°, 180° и 0°. Менялись только длины их сторон. С этой точки зрения углы полюсного сплюснутого треугольника (рис. 14) тоже должны быть 180°, 0° и 0°.

Рис. 15. Треугольники вблизи Красного полюса, вершины окрашены в цвет того полюса, на который они указывают

Но если входить в Красный полюс вдоль экватора, то у полюсного треугольника стороны будут те же самые \( \frac{1}{2} \), \( \frac{1}{2} \), 0, а вот углы будут 90°, 90° и 0°. Тот же треугольник с углами 90°, 90° и 0° мы получим, входя в полюс вдоль меридиана, соответствующего 90°.

И вообще, входя вдоль меридиана, отвечающего углу α°, мы увидим на полюсе треугольник со сторонами \( \frac{1}{2} \), \( \frac{1}{2} \), 0 и углами α°, 180° − α°, 0°. Значит, мы не можем приписать двум нашим углам какие-то определённые значения, а получаем на Красном полюсе целое семейство сплюснутых треугольников (рис. 15). И то же самое — на остальных полюсах.

На полюсе: стороны равны, углы нет

Итак, Красный полюс вмещает целое семейство треугольников с равными сторонами \( a = b = \frac{1}{2} \), углы против которых не равны между собой. И неверна первая часть теоремы о равнобедренном треугольнике.

В этот раз мы спасём теорему, применив другой математический трюк: превратим её в определение.

Определение. Треугольник — равнобедренный, если в нём есть две равные стороны и два равных угла, причём равные углы лежат против равных сторон, а равные стороны — против равных углов.

Замечание. Среди сплюснутых треугольников есть два типа равнобедренных — с двумя углами 0° и с двумя углами 90°. Равнобедренные треугольники второго типа расположены в полюсах Треугольного Мира.

Наше путешествие завершено, но история Треугольного Мира на этом не заканчивается.

Послесловие: треугольный мир II

Журнал измерений

Треугольный Мир возник благодаря нескольким измерениям внутри правильного треугольника.

Предлагаем вам провести новую серию измерений. Нарисуйте любой треугольник. Измерьте транспортиром его углы α, β, γ и вычислите их сумму α + β + γ. Сделайте пять экспериментов, рисуя каждый раз новый треугольник, и заполните журнал измерений. Вы получите удивительный результат! Попробуйте на его основе построить новый Треугольный Мир II.

Художник Мария Усеинова