Дом без окон, без дверей
Гаянэ Панина
«Квантик» №4, 2025
— Квантик и Ноутик, у нас новый конструктор с заданиями-головоломками! Тут много одинаковых пластмассовых квадратных деталей, которые можно легко соединять по рёбрам. Например, так... или так... или даже несколько рёбер вместе:
Требуется построить ДОМ БЕЗ ОКОН, БЕЗ ДВЕРЕЙ, соблюдая условие: не должно оставаться свободных рёбер, то есть к каждому ребру должны примыкать две или больше квадратные детали. Сможете?
— Легко, вот примеры:
* * *
Такие дома можно соединять друг с другом, вставлять внутрь дополнительные перегородки... да много чего можно построить. Но прорезать дверь в кубе, убрав квадратную деталь, нельзя: нарушится условие.
Кстати, есть вариант конструктора для Очень Маленьких Детей: в нём много одинаковых пластмассовых палочек, которые легко соединяются своими концами. Из этих деталей Очень Маленькие Дети строят свой ДОМ БЕЗ ОКОН, БЕЗ ДВЕРЕЙ, то есть плоскую фигуру (скажем, на поверхности стола), соблюдая условие: не должно оставаться свободных концов палочек — то есть к каждому концу должны примыкать две палочки или больше (как на рисунках справа).
У всех этих ДОМОВ есть внутренняя часть: там можно запереть гнома, и он не сможет выбраться, не разломав конструкции. Даже Очень Маленьким Детям легко удастся запереть гнома, если запретить ему перелезать через палочки.
Это была присказка, а сказка (то есть главная головоломка) впереди: попробуйте построить из конструктора Квантика и Ноутика ЗАКОЛДОВАННЫЙ ДОМ БЕЗ ОКОН, БЕЗ ДВЕРЕЙ, который не позволит никого запереть, то есть без внутренней части. Старое условие остаётся в силе: не должно оставаться свободных рёбер (в варианте для Очень Маленьких Детей у дома не должно оставаться свободных концов).
Вот здесь, дорогой читатель, остановитесь и попробуйте поработать с палочками на плоскости. Это ведь должно быть проще, чем с конструктором из квадратиков, да? Ну как, не получается?
А Ноутик с Квантиком, которые возились с квадратными деталями, справились, причём каждый по-своему! Давайте посмотрим.
Конструкция Квантика
Сложим из квадратов несколько заготовок.
1. Основа нашего дома: обычная коробка 5 × 3 × 2 с двумя квадратными дырами сверху и снизу.
2. Пол второго этажа, он же — потолок первого: прямоугольник 5 × 3 с двумя квадратными дырами.
3. Два колодца, каждый состоит из четырёх вертикально стоящих квадратных деталей.
У этих заготовок много свободных рёбер, ещё бы! Но погодите, они начнут исчезать по мере того, как мы будем собирать дом.
Вот теперь остановитесь и сами подумайте — что дальше?
Дом мы строим двухэтажный, с двумя входами-колодцами. Один колодец ведёт сверху на первый этаж, а второй — снизу на второй этаж.
Вначале возьмём пол второго этажа. К левой дыре приставим первый колодец, расположив его сверху, а к правой — второй колодец, расположив его снизу. Эту конструкцию поместим в коробку-основу, и заколдованный дом готов! Из верхней комнаты гном может выбраться через нижний колодец, и наоборот.
Если убрать две стены дома, мы увидим такую картину:
Конструкция Ноутика
— А я вспомнил про бутылку Клейна1, — сказал Ноутик. — Обычно её делают из прямоугольного листа резины: сначала надо склеить цилиндр, соединив верхнюю и нижнюю стороны. У цилиндра на краях есть окружности, вот я их отметил красным цветом. Цилиндр надо вытянуть, изогнуть как на рисунке, одним концом цилиндра проткнуть стенку, и затем соединить красные окружности.
У нас резины нет, но ничего, бутылку Клейна можно сделать из конструктора, взяв побольше квадратиков. Получится дом без окон, без дверей. Теперь главное — убрать синюю перегородку, которая невольно возникает в месте пересечения. Заколдованный дом готов!
Вот теперь остановитесь и ещё раз попробуйте поработать с палочками на плоскости. Как, опять не получается? И даже Квантик с Ноутиком не справились?
* * *
Попробуем разобраться, почему можно построить заколдованный дом из квадратных деталей, но не из палочек. И заодно поймём кое-что важное про дома из квадратных деталей.
Представим, что Очень Маленькие Дети построили из своего палочного конструктора заколдованный дом по правилам. Математики называют такой дом графом. Палочки — это рёбра, их концы — вершины. В нашем графе можно выделить цикл — замкнутую цепочку из рёбер. Это делается так: возьмём любое ребро, потом перейдём в соседнее с ним, потом пойдём в соседнее с соседним... Рано или поздно мы вернёмся в вершину, которая уже встречалась, и наш путь замкнётся.2
Оставим на столе ровно один цикл. Он может выглядеть просто, как на рисунке справа вверху. А может и сложно, как на рисунке ниже (в этом случае сразу и не ясно, что внутри можно запереть гнома).
Поставим гнома в какую-то точку стола, только не на ребро графа, и дадим ему лазерную указку. Пусть указка светит в каком-то направлении вдоль стола, так, что луч не проходит через вершины цикла. Посмотрим, какое число рёбер цикла (палочек) пересекает луч. Собственно говоря, нас интересует не число пересечений, а чётность числа пересечений.
• Пусть гном постепенно поворачивает указку, так что луч начинает двигаться. Если луч сдвинулся чуть-чуть, то число пересечений не изменилось. Однако рано или поздно луч указки пройдёт через вершину. После прохода вершины число пересечений может измениться — могут добавиться или пропасть два новых пересечения. Однако чётность числа пересечений остаётся прежней! Пусть теперь гном движется по столу, не пересекая нашу конструкцию. Опять чётность числа пересечений не меняется!
• Представим, что гном (со своей указкой) перешагнёт через ровно одно ребро. Число пересечений изменится на один, и значит, чётность поменяется!
Вывод: на столе есть область А, откуда лазерный луч пересекает наш цикл в чётном числе точек, и область В с нечётным числом пересечений. Из А в В невозможно пройти в плоскости стола, не пересекая рёбер цикла.
Поэтому, как ни странно, заколдованный дом из квадратных деталей можно построить, а из палочек — нет.
Задача
Пусть имеется дом из квадратных деталей, такой, что к каждому ребру каждой детали примыкает чётное число квадратов. Докажите, что в таком доме можно запереть гнома.
Подсказка
Запустите в этот дом гнома с лазерной указкой, как мы делали выше, и следите за чётностью числа пересечений луча с квадратными деталями.
Запустите в этот дом гнома с лазерной указкой, как мы делали выше, и следите за чётностью числа пересечений луча с квадратными деталями.
Решение
Итак, пусть гном сидит где-то в пространстве и светит лазерной указкой так, что лазерный луч не проходит через рёбра квадратных деталек, из которых выстроен дом. Посмотрим на чётность числа деталек, пересекающих луч. Как бы гном ни поворачивал указку, эта чётность будет одной и той же (в те моменты, когда луч не проходит через рёбра деталек). Она не меняется, даже если гном пускается бродить, не проходя сквозь стены дома. Если же гном (очевидно, обладающий сверхспособностью) пройдёт ровно одну детальку насквозь, то чётность поменяется.
Вывод: в пространстве есть область А, откуда лазерный луч пересекает дом в чётном числе точек, и область В с нечётным числом пересечений. Из А в В невозможно попасть, не умея проходить сквозь стены.
Итак, пусть гном сидит где-то в пространстве и светит лазерной указкой так, что лазерный луч не проходит через рёбра квадратных деталек, из которых выстроен дом. Посмотрим на чётность числа деталек, пересекающих луч. Как бы гном ни поворачивал указку, эта чётность будет одной и той же (в те моменты, когда луч не проходит через рёбра деталек). Она не меняется, даже если гном пускается бродить, не проходя сквозь стены дома. Если же гном (очевидно, обладающий сверхспособностью) пройдёт ровно одну детальку насквозь, то чётность поменяется.
Вывод: в пространстве есть область А, откуда лазерный луч пересекает дом в чётном числе точек, и область В с нечётным числом пересечений. Из А в В невозможно попасть, не умея проходить сквозь стены.
1 См., например, брошюру С. Смирнова «Прогулки по замкнутым поверхностям».
2 О графах читайте, например: В. Уфнаровский. Их сиятельство граф. «Квантик» №8, 2021; И. Акулич. Почтовое занятие. «Квантик» №6, 2020.
Художник Анна Рацкевич