Последние мгновения перед отрывом капли

Эту задачу можно решить, даже не слишком вдумываясь в динамику процесса. Выше было сказано, что в последние мгновения перед разрывом самой важной является сила поверхностного натяжения, которая как бы выдавливает жидкость из перешейка. Сопоставляя размерности нужных характеристик жидкости, можно получить искомый результат.

Чуть более честный подход — это представить себе этот процесс в динамике: что на что давит, что куда ускоряется. По условию задачи, никаких искажений формы не происходит, то есть все размеры перемычки, все скорости, все ускорения меняются синхронным образом. Поэтому, какими бы сложными ни казались течение воды и форма перешейка, размеры перемычки и время до разрыва удается связать друг с другом.

Дополнительные намеки и примеры вычислений на эту тему можно найти в наших задачах Отскочившая капля и Фильм-катастрофа и теория подобия.

По условию задачи, поведение перемычки самоподобно: оно сохраняет форму и обладает степенной зависимостью d ~ t ⁿ с неизвестным пока показателем n. Это значит, что не только толщина, но и все остальные расстояния меняются таким же образом. Утверждение о самоподобии касается не только формы, но и всех течений жидкости внутри перемычки. Все скорости должны зависеть от времени как u ~ t ^n − 1, а все ускорения — как a ~ t ^n − 2. Подчеркнем, что здесь сравниваются скорости или ускорения в одинаковых местах перемычки после масштабирования (рис. 2). И еще одно небольшое замечание: поскольку нам требуется следить только за степенными зависимостями величин, мы будем опускать геометрические численные коэффициенты, возникающие, например, при вычислении площадей или объемов.

Теперь обратимся к капиллярным эффектам. Поверхностное натяжение жидкости приводит к тому, что давление воды под искривленной поверхностью отличается от атмосферного. Зависимость эта такова: ΔP = σ/r, где σ — коэффициент поверхностного натяжения, а r — радиус кривизны перемычки, который в нашем случае равен d/2. Видно, что чем тоньше перемычка, тем большее капиллярное давление создается внутри нее, так что по мере приближения к разрыву давление возрастает: ΔP ~ t ⁻ⁿ.

На самом деле, правильная формула для капиллярного давления содержит два радиуса кривизны, поскольку двумерная свободная поверхность может изгибаться в обоих направлениях. Это замечание становится особенно важным для поверхностей гиперболической формы, когда в одном направлении поверхность выпуклая, а в другом — вогнутая. Выпуклость увеличивает давление внутри жидкости, вогнутость — уменьшает, и в возникающем противоборстве двух эффектов побеждает тот, у которого радиус кривизны меньше. В нашей задаче эта опасная ситуация тоже имеет место, но тут побеждает именно дополнительное давление за счет радиуса перемычки. Поскольку соотношение между всеми размерами остается постоянным, то зависимость давления от времени будет такая же, как и в выписанной формуле.

Дополнительное давление локализовано в области с типичными размерами порядка d (рис. 3). Значит, возникающая при этом сила F = ΔP·S ~ σd выталкивает объем жидкости с массой m ~ ρd ³. Ускорение этого объемчика жидкости получается таким: a = F/m ~ σ/ρd ². Для последнего шага используем всё то же условие самоподобия. Полученное выражение для ускорения должно работать во все моменты времени, пока работает самоподобие. Левая часть этой формулы (ускорение) зависит от времени как t ^n − 2; правая содержит обратный квадрат толщины перемычки и потому зависит от времени как t ⁻²ⁿ. Эти две зависимости должны быть одинаковыми, иначе течения исказятся и форма перемычки изменится. Отсюда получаем ответ: n = 2/3.

Рис. 3. Повышенное капиллярное давление в самом узком месте перемычки выталкивает воду в стороны

Итак, при приближении к моменту разрыва толщина перемычки уменьшается как d ~ t ^2/3, а значит, скорости возрастают как u ~ t ^−1/3. Чем ближе к разрыву, тем быстрее вытекает из остатков перемычки вода, но это быстрое течение относится ко всё меньшему объему воды. Это также означает, что перед разрывом движение настолько ускоряется, что уже не важно, как движется вода на значительном удалении от точки разрыва и какая у нее там форма свободной поверхности. Динамика разрыва становится универсальным явлением, одинаковым в самых разных условиях.

Несмотря на то что образование капель человеку известно с незапамятных времен, первые серьезные исследования начались только в XIX веке. Лишь тогда было понято, например, что струя самопроизвольно разбивается на капли под действием сил поверхностного натяжения. Однако проследить за водной перемычкой при отрыве капли тогда было невозможно, поскольку этот процесс происходит слишком быстро.

В течение всего XX века постепенно накапливалась экспериментальная база знаний об этом процессе. Однако серьезная теория описания отрыва капель и разрыва перемычки начала развиваться только в 1980-е годы. Важную роль здесь сыграла статья 1983 года Surface Tension Driven Flows, опубликованная в математическом журнале. Она впервые убедительно показала, что самоподобные решения уравнений, уже хорошо известные к тому времени по разным разделам физики, следует ожидать и для этого процесса. Эта статья дала новый толчок к экспериментальным исследованиям. Так, в статье 1990 года, в частности, было подчеркнуто, что та форма перемычки и тот закон самоподобия, которые использовались в математической статье 1983 года (и на которые опиралась наша задача!), являются слишком упрощенными. Реальные капли, особенно для вязких жидкостей, отрываются иначе (см. рис. 4–6).

Рис. 4. Слева: упрощенный взгляд на форму капли в момент отрыва; наша задача опирается на такое видение. Справа: реальная форма капли в момент отрыва. Рисунок из статьи D. H. Peregrine, G. Shoker, A. Symon, 1990. The bifurcation of liquid bridges

Рис. 5. Этапы отрыва реальной водной капли; время между кадрами составляет 0,1 с. Изображение из статьи X. D. Shi, M. P. Brenner, S. R. Nagel, 1994. A Cascade of Structure in a Drop Falling from a Faucet

Рис. 6. Отрыв капли вязкой водно-глицериновой смеси с характерной двойной перемычкой: в нижней части узкого цилиндрического перешейка возникает еще более узкий второй перешеек. Изображение из статьи X. D. Shi, M. P. Brenner, S. R. Nagel, 1994. A Cascade of Structure in a Drop Falling from a Faucet

В свете этих результатов может показаться, что первоначальные теоретические рассуждения о самоподобии движения теряют смысл. Но это не так. И более аккуратная теория, и эксперименты подтверждают самоподобие. Но только она, во-первых, работает для не слишком вязких жидкостей, а во-вторых, становится чуть сложнее, чем первоначальное наивное представление. Измерения показали, что закон d ~ t ^2/3 работает и для реальных жидкостей и в отдельных случаях прослеживается вплоть до нанометровых масштабов (рис. 7).

Рис. 7. Толщина ртутной перемычки между двумя электродами в зависимости от времени до разрыва. В эксперименте измерялось электрическое сопротивление ртутного мостика, из которого затем извлекался диаметр перешейка. Полученный здесь показатель степенной зависимости 0,661 поразительно близок к нашему значению 2/3. График из статьи J. C. Burton, J. E. Rutledge and P. Taborek, 2004. Fluid Pinch-Off Dynamics at Nanometer Length Scales

Универсальность разрыва жидкой перемычки стала уже таким привычным фактом, что в последнее время вызывают удивление случаи явного нарушения универсальности, особенно когда их нельзя списать на вязкость или иные силы. Один пример такого эффекта обсуждался в нашей новости Обнаружен эффект памяти в поведении пузырьков воздуха под водой. В общем, физики продолжают открывать новые грани этого любопытного процесса.