Отскочившая капля

Конечно, имея в распоряжении размер r и скорость u, легко найти время: t = r/u. Это время, за которое капля в свободном полете сместится на расстояние одного радиуса. Но является ли это время настоящим временем отскока (его мы обозначим через τ)? Глядя на иллюстрацию и представляя мысленно весь процесс, легко понять, что нет. Ведь капле требуется некоторое время для того, чтобы расплющиться, а потом собраться, и это время может быть заметно больше величины t.

Выходит, для решения задачи придется представить себе динамику процесса расплющивания и сжатия. Процесс этот, конечно, непростой. Но в этой задаче не требуется получать какой-то точный результат; достаточно вывести правильные зависимости от всех входящих величин, а численными коэффициентами порядка двойки можно пренебречь. Кроме этого надо воспользоваться тем фактом, что расплющивание очень существенное, минимальная толщина блинчика существенно меньше диаметра исходной капли, а также тем, что сам блинчик все время остается круглым.

У воды, как и у всякой жидкости, есть поверхностное натяжение — ее энергия растет пропорционально площади поверхности: E = σ·S. Параметр σ называется коэффициентом поверхностного натяжения, и для воды в обычных условиях он равен примерно 0,07 Н/м.

Поверхностное натяжение стремится уменьшить площадь поверхности (а значит, и энергию) капли. Именно поэтому капли в свободном состоянии практически круглые — так минимизируется площадь поверхности при неизменном объеме. Расплющивание капли очень невыгодно с точки зрения энергии, ведь при этом возрастает площадь поверхности (кстати, сосчитайте эту площадь для капли исходного радиуса r, расплющенной в круглый блинчик толщины d << r). Таким образом, мы получаем дополнительную потенциальную энергию в зависимости от степени расплющенности.

Далее, расплющенность и сжатие сопровождаются движением воды — только уже не вертикальным, а преимущественно горизонтальным. Отсюда можно получить кинетическую энергию в зависимости от степени расплющенности.

И последний шаг. Полученные выражения для кинетической и потенциальной энергии будут очень похожи на одну известную механическую систему. Эта система совершенно непохожа на растекающуюся каплю, однако если уравнения получаются такого же типа, то значит, и поведение систем будет аналогичным (мы уже встречали такой пример в задаче Движение стержня). Отсюда уже можно получить искомую оценку.

Рис. 3. Слева: упавшая и расплющившаяся капля, справа: зависимость радиуса блинчика от времени в процессе отскока капли от сверхгидрофобной поверхности

Рассмотрим ситуацию, когда капля уже столкнулась и расплющилась до размера R > r, а ее толщина стала d << r (рис. 3, слева). Поскольку по условиям задачи деформация сильная, можно считать, что почти весь процесс расплющивания и собирания капли происходит в таком режиме. Вода практически несжимаема, поэтому объем капли сохраняется: V = 4πr³/3 = πR²d. В качестве меры расплющивания можно взять как R, так и d; они связаны друг с другом с помощью этой формулы. Мы возьмем R. Таким образом, процесс отскока капли описывается так: величина R сначала вырастает от r до какого-то максимального значения, а потом возвращается обратно (рис. 3, справа).

Рис. 4. Расплывание капли, упавшей на сверхгидрофобную поверхность

Найдем теперь потенциальную (за счет поверхностного натяжения) и кинетическую энергию капли. Площадь ее поверхности возросла до S ≈ 2πR², а значит, потенциальная энергия в этом состоянии равна U = σ·2πR². Что касается кинетической энергии, то она возникает из энергии течения воды в расплющенной капле (рис. 4). Поскольку толщина капли мала, то можно пренебречь вертикальным перемещением воды и учесть только горизонтальное движение, которое и обеспечивает увеличение радиуса водного блинчика. Конечно, разные части капли растекаются с разной скоростью: те, которые на самом краю, — со скоростью увеличения радиуса (назовем ее v_R), те, которые ближе к центру, — с меньшей скоростью. Можно прикинуть, что в среднем скорость движения воды в капле примерно v_R/2, а значит, кинетическая энергия составляет примерно четверть от кинетической энергии, которую имела бы капля, если бы она вся целиком двигалась со скоростью v_R. Итак, кинетическая энергия получилась K = mv_R²/8. С помощью интегралов можно сделать и более аккуратное усреднение, но для оценочных задач такие тонкости не принципиальны.

Закон сохранения энергии для капли (в пренебрежении потенциальной энергией в поле тяжести) можно записать таким образом:

Отметим, что величины v_R и R зависят от времени во время процесса, однако суммарная кинематическая и потенциальная энергия капли складываются в константу.

Теперь следует важное наблюдение: кинетическая энергия квадратично зависит от v_R (скорости изменения R), а потенциальная — квадратично зависит от R. Это значит, что с математической точки зрения наша капля эквивалентна колебанию грузика на пружинке! Действительно, представим себе грузик с эффективной массой m_eff, который колеблется туда-сюда под действием упругой пружины с жесткостью k_eff. Тогда полная энергия этой системы равна

где x — смещение грузика, а v — его скорость. Если записать m_eff = m/4, k_eff = 4πσ, а под координатой понимать радиус блинчика, то это выражение точь-в-точь перейдет в полученное ранее. Но нам со школы известно, как колеблется грузик на пружинке — он осциллирует туда-сюда по синусу с периодом

При этом известно, что период таких колебаний (они называются гармоническими) не зависит от амплитуды. В нашей задаче расплющивание и отскок капли — это полпериода такого колебания (см. рис. 3, справа). Отсюда получаем окончательную оценку:

В последней формуле мы выразили массу капли через ее начальный радиус и плотность воды. Численный коэффициент в последнем выражении очень близок к единице, им можно пренебречь и оставить в качестве ответа только выделенную красным часть формулы. Получается, что время отскока выражается только через плотность и поверхностное натяжение воды, через размер капли, но не зависит от скорости падения u. Если подставить характерные размеры капли, скажем r = 2 мм, то время отскока получится порядка 10 мс.

В этой задаче есть несколько поучительных моментов. Во-первых, сам по себе метод решения через проведение математических аналогий немножко необычен, но он довольно часто используется в современной физике. Так уж получилось в нашем мире, что физических систем огромное множество, а уравнений, описывающих их движение, намного меньше. Поэтому часто бывает так, что системы, визуально непохожие друг на друга, ведут себя однотипным образом. Поиск таких математических аналогий — сильный метод решения некоторых сложных задач.

Во-вторых, полученное выражение для τ очень близко к другому характерному времени — периоду небольших колебаний свободно висящей капли. Такие колебания тоже гармонические, и их период тоже не зависит от амплитуды, но только справедливо это лишь для слабых деформаций капли. То, что аналогичный закон возник и при сильной деформации, — вещь не универсальная, это большая удача для нашей задачи.

В-третьих, зададим себе вопрос: почему у нас не получилось оценить время контакта через наивную формулу r/u, если тут уже есть готовое время? Ответ в том, что в этой задаче существует безразмерный параметр:

Этот параметр называется числом Вебера. Оно возникает во всех задачах, где имеется движение или столкновение капель жидкости, и характеризует собой отношение лобового давления жидкости к давлению внутри капли из-за поверхностного натяжения. Так вот, мы, конечно, могли бы сразу записать искомый ответ таким образом:

где f — какая-то функция от числа Вебера. Проблема только в том, что без решения задачи мы бы все равно не узнали, какую функцию тут выбрать. Решение показало, что для сформулированных условий задачи эта функция — квадратный корень. Кстати, наше условие, что деформация капли при столкновении сильная, тоже можно сформулировать с помощью числа Вебера: оно просто должно быть существенно больше единицы.

«Именные» безразмерные числа, характеризующие противоборство разных физических явлений, постоянно встречаются в гидродинамике, задачах тепломассопереноса, и прочих технических вопросах. Они являются основой теории подобия — универсального метода анализа таких задач. Мы уже встречались с другими безразмерными числами в задаче Фильм-катастрофа и теория подобия.

Чтобы всё это не казалось отвлеченной теорией, приведем некоторые экспериментальные результаты. Время отскока капли от сверхгидрофобной поверхности в зависимости от ее скорости и радиуса было измерено в статье 2002 года для капель радиусом от 0,1 до 4 мм и для скоростей падения от 0,2 до 2,3 м/с. Результаты показаны на рис. 5. Четко прослеживается независимость времени от скорости и зависимость ∼ r^3/2 от радиуса.

Рис. 5. Экспериментально полученная зависимость времени отскока капли от сверхгидрофобной поверхности от ее скорости (слева) и радиуса (справа). Изображение из статьи D. Richard, C. Clanet, D. Quéré, 2002. Surface phenomena: Contact time of a bouncing drop

А в другой статье, опубликованной в журнале Nature всего полгода назад, изучался иной вопрос: можно ли всё-таки уменьшить каким-нибудь способом время столкновения капли? Как мы выяснили в этой задаче, увеличение скорости падения не помогает. Оказалось, этого можно добиться, слегка «испортив» саму поверхность, нанеся на нее специальные микроскопические бороздки. Когда расплющенная капля попадает на бороздку, она резко теряет свою симметричную форму и сжимается уже не обратно в одну полноценную каплю, а разбивается на капельки помельче (рис. 6).

Рис. 6. Симметричное стягивание капли на гладкой поверхности (вверху) и несимметричное — на специально приготовленной поверхности с микроскопическими бороздками (внизу). Рисунок из статьи J. C. Bird et al., 2013. Reducing the contact time of a bouncing drop

Выяснилось, что этот процесс протекает быстрее, и притом зависит от параметров бороздок. Подчеркнем, что бороздки тоже сверхгидрофобны, они никуда не «тянут» каплю. Они просто изменяют ее профиль по вертикали, а уже дальше капля сама в процессе движения превращает маленькие вертикальные искажения в большие горизонтальные. Подробности можно также посмотреть в видеоролике, сопровождающем эту статью.