Неупругий коллапс
Сыпучие материалы — казалось бы, такая повседневная, даже примитивная вещь — представляют большой интерес для физики. Оказывается, поведение таких материалов исключительно богато, а список нетривиальных (а иногда даже на первый взгляд противоестественных) эффектов на удивление длинен. Например, в зависимости от условий сыпучий материал может вести себя и как твердое тело, и как жидкость, и как газ. Так, неподвижная горка песка держит форму и сопротивляется внешнему давлению, — но только до тех пор, пока воздействие не слишком велико. Под действием же сильного воздействия песок начинает сначала сыпаться, а потом «течь». Такое же «разжижение» происходит, если песок насыпан в мелко дрожащий контейнер. При этом на поверхности могут появляться необычные образования, а в толще контейнера может идти конвекция. А если большой закрытый контейнер с песком трясут очень сильно, то песчинки начинают хаотично летать по всему объему, словно молекулы газа. Однако этот газ необычный: для того чтобы оставаться в таком состоянии, ему требуется постоянный «подогрев» через тряску, и если ее прекратить, то «песчаный газ» почти сразу затвердеет.
Еще хитрее ведут себя промежуточные состояния сыпучего материала. Например, песок в песочных часах частично ведет себя как твердое тело, а частично — как жидкость. Тот факт, что скорость истечения песка примерно постоянна (то есть не зависит от уровня оставшегося песка) — совершенно замечательное свойство именно сыпучих материалов, и оно резко контрастирует с поведением настоящей жидкости (рис. 1). В общем, поиск новых эффектов и их теоретическое описание до сих пор остается раздольем для физиков.
Один из интересных эффектов, происходящих в «песчаном газе», это неупругий коллапс — то есть полная остановка движения спустя какое-то (конечное) время.
Для того чтобы понять, что в этом такого необычного, предположим, что в начальный момент в неподвижном закрытом контейнере (в невесомости) находится очень много песчинок с самыми разными скоростями. Столкновения песчинок друг с другом неупругие, и потому песчинки теряют свою кинетическую энергию при каждом столкновении. Введем параметр, характеризующий неупругость, — коэффициент упругости отскока k. Мы считаем, что если две песчинки столкнулись лоб в лоб с одинаковыми по модулю и противоположно направленными скоростями v, то после столкновения они разлетаются прочь со скоростями kv, меньшими v. То же самое происходит при столкновении частицы со стенкой.
Интуитивно понятно, что после n столкновений типичные скорости песчинок должны стать порядка knv. Эти скорости, конечно, становятся всё меньше и меньше, но они никогда не зануляются. Поэтому интуитивно кажется, что движение никогда не остановится полностью. Так вот, неупругий коллапс происходит тогда, когда за конечное время частицы умудряются столкнуться бесконечное количество раз. Доказать на основании строгих теоретических расчетов, что неупругий коллапс действительно может происходить в песчаном газе, и выяснить, когда именно он происходит, — одна из сложных актуальных задач этого раздела физики.
Задача
Ниже предлагаются четыре простые одномерные задачи, которые должны дать ощущение того, когда и почему происходит неупругий коллапс. В этих задачах в столкновениях участвуют одна или две частицы и неподвижная стенка. Считается, что все частицы точечные, что они движутся только по прямой, причем по нормали к стенкам, что у всех них одинаковая масса, что столкновения частиц друг с другом неупругие с коэффициентом k, а столкновения со стенкой упругие или неупругие, в зависимости от задачи. В первой задаче всё происходит в поле тяжести с ускорением свободного падения g, в остальных задачах силы тяжести нет.
Рис. 2. Четыре задачи с неупругими столкновениями. В каких случаях происходит неупругий коллапс?
Задача 1. Шарик отпустили с некоторой высоты над горизонтальной плитой. Столкновения с плитой неупругие с коэффициентом k.
Задача 2. Шарик скачет туда-сюда между двумя неподвижными стенками. Столкновения со стенками неупругие с коэффициентом k.
Задача 3. Один шарик покоится на некотором удалении от неподвижной стенки, а другой налетает на него. Столкновения со стенкой абсолютно упругие.
Задача 4. То же самое, что в задаче 3, только столкновения со стенкой тоже считаются неупругими с коэффициентом k.
Выясните, в каких из перечисленных случаев происходит неупругий коллапс.
Подсказка
К задаче 1: найдите скорость частицы после n-го отскока и найдите отсюда время от n до n+1-го отскока. Сложите все времена от первого до n-го отскока и убедитесь, что сумма остается конечной даже при сколько угодно большом n. Попытайтесь затем проделать то же самое для задачи 2.
К задаче 3: выведите вначале общую формулу для результатов неупругого столкновения двух частиц одинаковой массы с начальными скоростями v1 и v2. Затем начните обсчитывать последовательные столкновения.
К задаче 4: в принципе, метод расчета тот же, что и в задаче 3. Но для того, чтобы выяснить, что произойдет после бесконечно большого числа столкновений, удобнее всего выразить систему уравнений через матрицу и исследовать ее собственные числа.
Решение
Задача 1
После n-го отскока скорость частицы составляет vn = knv0. Время до следующего отскока равно
Видно, что чем больше n, тем меньше становится это время. Если сложить времена от первого отскока и до бесконечности, то получится конечное время (здесь используется сумма геометрической прогрессии):
За это время произойдет бесконечное количество подскоков, скорость упадет до нуля, и движение шарика остановится — неупругий коллапс в этой задаче есть.
Задача 2
Как и раньше, скорость после n-го отскока составляет vn = knv0. Однако расстояние между стенками (L) фиксировано, поэтому время от n до n+1-го отскока составляет
В отличие от предыдущей задачи, это время растет с ростом n. Поэтому за любое конечное время произойдет только конечное количество столкновений, а значит, скорость никогда не упадет до нуля. Можно даже найти, что спустя время t скорость будет примерно
Следовательно, неупругого коллапса в этой задаче нет.
В этих двух задачах скорость после n-го отскока уменьшалась одинаково. Однако в первом случае пройденное расстояние тоже уменьшалось, и при том быстрее, чем скорость, а во втором случае расстояние оставалось постоянным. Отсюда можно сделать вывод: для неупругого коллапса требуется не только уменьшение скорости, но и быстрое сближение частицы с местом неупругих столкновений.
Задача 3
Выведем сначала скорости после произвольного столкновения двух частиц одинаковой массы. Пусть до столкновения две частицы двигались со скоростями v1 и v2. Тогда после неупругого столкновения с коэффициентом k скорости этих частиц станут
(1)
Для вывода можно использовать метод, описанный в одной из прошлых задач. Подчеркнем, что скорости здесь могут быть положительными и отрицательными; положительная скорость означает, что частица движется направо, отрицательная — налево.
Применим теперь эту формулу к столкновения в задаче. До и после первого столкновения скорости частиц равны
Затем вторая частица упруго отражается от стенки и меняет знак своей скорости. Тогда скорости до и после второго столкновения шариков равны
Получается, что после второго столкновения первая частица улетает прочь от стенки, а вторая остается неподвижной (общий эффект от получившегося тройного столкновения — это просто неупругое отражение первой частицы). Столкновений между ними больше не будет, следовательно никакого неупругого коллапса тут нет.
Задача 4
Эта задача отличается от предыдущей лишь тем, что скорость второй частицы не просто меняет знак после столкновения со стенкой, но и уменьшается. Оказывается, это приводит к интересному результату: неупругий коллапс в этой задаче есть, но только при достаточно маленьком k.
Это легко увидеть практически без вычислений. Пусть начальная скорость первого шарика v0, а коэффициент k очень маленький, то есть столкновение очень неупругое. Тогда после первого столкновения между шариками они будут двигаться вперед со скоростью примерно v0/2, но только второй шарик чуть-чуть быстрее первого. Поэтому следующее столкновение между шариками произойдет во много раз ближе к стенке, чем первое. После одного цикла (столкновение между шариками, полет, удар о стенку, полет) скорость первого шарика уменьшится примерно вдвое, но расстояние до стенки уменьшится во много раз, и так будет повторяться и дальше. Значит, время, затраченное на один цикл, будет тоже уменьшаться во сколько-то раз на каждом цикле. Эти времена образуют приблизительную геометрическую прогрессию, по аналогии с первой задачей, и ее сумма будет конечной.
В другом предельном случае, когда k очень близок к единице, первое столкновение практически остановит первый шарик, а второе столкновение между шариками оттолкнет его назад от стенки. Поэтому здесь никакого коллапса не будет.
Это рассуждение позволяет доказать, что существует некое критическое значение k, меньше которого происходит неупругий коллапс, но не позволяет найти его численное значение. Покажем, как получить этот результат с помощью применения матриц к системе уравнений (1). Эту систему можно записать так:
Процесс неупругого столкновения со стенкой тоже можно описать матрично:
Тогда последовательное столкновение двух частиц, а затем столкновение со стенкой описывается матрицей A, которая есть произведение этих двух матриц:
У этой матрицы есть собственные числа, которые находятся из решения характеристического уравнения
Мы накладываем требование, чтобы оба решения были вещественными (и при этом они получатся от 0 до 1). Это выполняется только тогда, когда дискриминант этого квадратного уравнения положителен. А положителен он, когда (1 – k)2 > 4k. Поскольку коэффициент k может быть только от 0 до 1, решая это уравнение, мы находим
С физической точки зрения поиск собственных чисел (и связанных с ним собственных векторов) означает, что мы ищем самоподобный тип движения, то есть некоторое движение, которое после цикла столкновений воспроизводит само себя, но только с меньшими скоростями. Это именно то, что нам нужно для поиска неупругого коллапса. Правда, остается еще доказать, что с каждым циклом расстояние до стенки уменьшается быстрее, чем скорости, а также что скорость первой частицы никогда не становится отрицательной. Это всё можно сделать прямыми вычислениями, которые заинтересованному читателю предлагается проделать самостоятельно.
Наконец, последнее замечание про эту задачу. Обратите внимание на конечное состояние системы: обе частицы не просто остановились — они словно прилипли к стенке. И это произошло несмотря на то, что в этой задаче отсутствуют какие бы то ни было силы притяжения! Возникновение такого сцепление без наличия сил притяжения — красивая особенность неупругого коллапса. Поизучать неупругий коллапс в одномерной цепочке шариков можно с помощью вот этого Java-апплета.
Послесловие
Рис. 3. Типичные нитевидные структуры, которые самопроизвольно возникают при остывании неупругого газа. Изображение из статьи Goldhirsch, Zanetti, 1993. Clustering instability in dissipative gases // PRL 70, 1619
Решение последней задачи показывает, что неупругий коллапс наступает далеко не всегда. Если коэффициент k не маленький, а, наоборот, близок к единице, то две частицы, столкнувшись пару раз, просто отлетят от стенки. Даже если ограничить их движение второй стенкой с другой стороны, принципиально это ничего не изменит. Частицы будут летать от стенки к стенке, сталкиваясь, теряя скорость, но никогда не остановятся полностью.
Однако если взять больше частиц (при том же самом k), то неупругий коллапс снова наступает — это подтверждают и приблизительные аналитические расчеты, и численное моделирование. Причем чем ближе k к единице (то есть чем более упругими являются столкновения), тем больше надо взять частиц. Для большого количества частиц (и почти упругих столкновений) получается два режима «остывания» песчаного газа. Если частиц достаточно много, то происходит неупругий коллапс, и движение замирает спустя конечное время. Если же частиц недостаточно, то происходит постепенное остывание газа: его температура падает со временем примерно как T(t) ~ 1/t2 (это можно легко увидеть из решения задачи 2).
Описанные выше закономерности стали систематически изучаться только в начале 90-х годов (McNamara, Young, 1992. Inelastic collapse and clumping in a one-dimensional granular medium). Затем физики перешли к двумерным и многомерным задачам, где неупругий коллапс тоже возможен, но более сложен. Интересная особенность коллапса в этом случае — спонтанное образование нитеобразных структур в первоначально однородном газе (рис. 3).
За прошедшие годы в этой области было обнаружено много интересного, см., например, обзор 2006 года и недавнюю монографию Kinetic Theory of Granular Gases. Но исследования продолжаются и по сей день; более того, существует даже специальный журнал Granular Matter, посвященный исследованию сыпучих веществ. И в качестве «десерта»: год назад было обнаружено еще одно интересное свойство сыпучих материалов — способность воздействовать на излучение лазерного света (Folli et al., 2012. Shaken Granular Lasers // PRL 108, 248002). Эта работа открывает дорогу к оптомеханическим приложениям сыпучих материалов.
По мне так условие вещественности собственных чисел не нужное, впрочем тут оно слишком мягкое.
Если исследовать явный вид скорости первой частицы, то видно, что при достаточно большом числе столкновений частица отвернется от стенки, даже при k<0.17
Надо конечное исследовать какое расстояние при это будет пройдено, но руки не дошли.
Чтобы не быть голословным, вот набросок:
https://docs.google.com/file/d/0B3K4hmEDZZwTQWNVdGlLa2pqLVk/
-
Смотрите, вы уже практически всё сделали. Берем ваше выражение для v1 после n-го цикла, учитываем, что a и b отрицательны, но при этом |b| > |a|, и переписываем его в таком виде:
v_1^n = (|b|\lambda_2^n - |a|\lambda_1^n )/(|b|-|a|).
Поскольку lambda_2 > lambda_1 и оба положительны, то с ростом n относительный вклад второго слагаемого будет становиться всё меньше и меньше. Поэтому v_1 будет оставаться положительным при любом n. Если вы видите на графике что-то иное (а я честно говоря не вижу), то значит график вас обманывает.
А вот если lambda будут комплексными (но с одинаковой вещественной частью!), то они начнут осциллировать, и v_1 уже не будет знакопостоянной.
-
Некоторую связь, в принципе, можно найти: и там, и там возникает скопление в тех местах, где активно работает диссипация.
Есть простая (но наверно не слишком корректная) модель образования крупномасштабной структуры Вселенной по Зельдовичу. Берем Вселенную, заполненную холодной и почти бесстолкновительной пылью, задаем ей некое начальное (более-менее однородное) распределение и некое начальное более-менее гладкое поле скоростей, и смотрим, как оно начинает эволюционировать. Рано или поздно там начнут образовываться каустики, малоразмерные области с резким возрастанием концентрации (это связано с явлением опрокидывания при решении дифуров в частных производных).
Если бы пыль была совсем бесстолкновительной, то эти каустики затем рассасывались бы. Но из-за наличия диссипации мы можем считать, что когда концентрация превышает некий порог, то потоки пыли начинают тормозиться друг об друга и останавливаются. И тогда эти области уже дальше не рассасываются самопроизвольно. Вот такая динамика в принципе похожа на структуры, возникающие при неупругом коллапсе. Но я думаю, что для Вселенной это слишком упрощенная модель, которая не учитывает ни темную материю, ни гравитацию, ни расширение Вселенной.
Рис. 1. Скорость истечения песка в песочных часах практически не зависит от уровня оставшегося песка. Это лишь одна из многочисленных особенностей поведения сыпучих материалов. Рис. с сайта en.wikipedia.org