Тетраэдр и треугольники
Задача
В «кружковской» математике известны так называемые фигурные числа, выражающие количество точек (или кружочков — кому что нравится складывать), которые можно расположить в виде той или иной геометрической фигуры. Например, треугольные числа соответствуют равносторонним треугольникам, а квадратные — как нетрудно догадаться — квадратам. Можно «выйти в пространство» и складывать шарики в форме правильных пирамид или кубов. Все эти способы порождают свои последовательности фигурных чисел определенного типа.
В этой задаче мы изучим необычные фигурные числа, которые получаются следующим образом. Возьмем единичный правильный тетраэдр и попробуем его оклеить \(N\) равными равносторонними треугольниками подходящего размера. Оклеивать, естественно, нужно без зазоров и наложений. Если такая оклейка возможна, то число \(N\) будем называть «тетраэдровым». Сколько чисел среди 1764, 1807, 1849, 1893, 1936, 1981, 2025 «тетраэдровые»? Что это за числа?
Подсказка 1
Допустим, что количество равносторонних треугольников является полным квадратом. Можно ли таким набором треугольников оклеить тетраэдр? Как это сделать?
Подсказка 2
Рассмотрим последовательность 3, 7, 13, ..., \(m^2+m+1\). Докажите, что любым таким числом треугольников можно оклеить тетраэдр.
Решение
Послесловие
-
Ничего не понимаю.
Гляжу на иллюстрацию:
У тетраэдра четыре одинаковых грани. Значит количество треугольников, которыми его можно замостить, всяко должно быть кратно четырем.
Какие же тут 3, какие 7??
Каждую грань - да, обязательно сумма последовательности нечетных:
1, 1+3, 1+3+5, и т.д.
(И это тоже не 3, 7...)
Но тогда при чем тут тетраэдр?
У него минимальное к-во треугов - минимальный правильный ответ на вопрос - 4. Это по одному треугольнику, размером в грань, на грань.
Как тремя обойтись? Или семью...
Вот же, на картинке: по 9 треугов на каждой грани, всего 36.
Может быть их надо как-то через ребра перегибать??
Подскажите пожалуйста, что я неправильно понял? -
Юрий, да, конечно, можно и нужно перегибать треугольники, то есть, возможно одна часть треугольника лежит в одной грани тетраэдра, другая - в другой.
Посмотрите похожую задачу про оклейку тетраэдра шестиугольниками, здесь же на "Элементах": https://elementy.ru/nauchno-populyarnaya_biblioteka/435847/Okleyka_tetraedra_shestiugolnikami -
так как нарисовано, с одинаковыми гранями, очевидно что ответ 4n², где n - число рядов на каждой грани. И некоторые "годы" из условия соответствуют.
Но в "олимпиадном" смысле интереснее вариант, когда каждая грань из одинаковых треугольников, но на одной грани они крупные, а на другой - мелкие.
То есть "тетраэдрическим" числом является любое a²+b²+c²+d².
И вот тут компьютерный перебор дает две теоремы (?)
1) Любое положительное целое число можно представить как сумму 4-х целых квадратов. Но!
2) Число 2^(2n+1) нельзя представить как сумму 4-х НЕНУЛЕВЫХ целых квадратов. Так как 0 это не вариант "оклеивания", то не любое число "тетраэдрическое"!
Спасибо автору за идею, ждем ещё математических задач такого рода -
Рис. 1.