Дырявый квадрат

При помощи каких разрезов (или одного разреза) косо расположенную квадратную дырку со стороной \(\sqrt5\) можно «перенести» в центр квадрата 7×7? Как затем эту дырку повернуть, чтобы ее стороны стали параллельны сторонам исходного квадрата 7×7?

Покажем два решения этой задачи.

Идея первого решения задачи заключается в следующем. Первым шагом отрежем нижний правый «уголок» (рис. 2, слева) и переложим его на место верхнего левого «уголка». При этом квадратная дыра окажется в центре квадрата, то есть их центры совпадут (рис. 2, слева).

Рис. 2.

Вторым шагом нужно увеличить дыру, вырезав на каждой ее стороне по прямоугольному треугольнику и получив новую дыру в форме восьмиугольной звезды (рис. 3, слева). Затем вырезанные четыре треугольника нужно переложить так, чтобы они попали в углы первоначальной косой квадратной дыры, образовав внутри квадрата новую квадратную дыру, стороны которой параллельны сторонам исходного квадрата (рис. 3, справа).

Рис. 3.

При этом подобрать размеры вырезаемых четырех треугольников очень просто: достаточно нарисовать границы искомой квадратной дыры, и получить два наложенных квадрата со стороной \(\sqrt5\), расположенных в центре бумажного квадрата. Пересекаясь, малые квадраты образуют восемь маленьких треугольничков. Все они равны друг другу ввиду того, что центры обоих квадратов со стороной \(\sqrt5\) совпадают, поэтому при перекладывании вновь образуется квадратная дыра нужного положения.

В задачах на разрезание лучшим считается разрезание с меньшим число частей, на которые разрезается данная фигура. В приведенном решении бумажный квадрат разрезается на шесть частей: «уголок», четыре треугольничка и вся остальная часть бумажного квадрата 7×7. Таково было мое первое решение, но потом я придумал другое, в котором исходный квадрат с дырой разрезается всего на три части.

Идея второго решения заключается в вырезании, так сказать, «пробки», которой закрывается часть асимметричного квадрата со стороной \(\sqrt5\) с последующим его поворотом.

Реализуем этот план. Вырежем в центре квадрата 7×7 контур квадрата, равного квадратной дыре так, чтобы их стороны были параллельными (рис. 4, слева). Фактически вырезается зеленая Р-образная фигура, которая перекладывается в исходную квадратную дыру (рис. 4, справа). После этого получается квадрат 7×7 с квадратной дырой в центре. Это возможно сделать, потому что объединение двух малых квадратов со стороной \(\sqrt5\) образует центрально-симметричную фигуру, которую можно повернуть на 180°.

Рис. 4.

Следующий разрез сделаем по окружности, центр которой находится в центре квадрата 7×7, радиус подбирается такой, чтобы окружность была внутри квадрата 7×7, а зелено-белый многоугольник находился внутри этой окружности (рис. 5, слева). Теперь повернем вырезанный круг вокруг его центра так, чтобы стороны квадратной дыры стали параллельными сторонам исходного квадрата 7×7 (рис. 5, справа).

Рис. 5.

При решении вторым способом мы разрезали исходный квадрат всего на три части: желтую, зеленую и оранжевую.

Кстати, идею с поворотом круга можно реализовать и в первом решении, вырезав круг, содержащий только квадрат со стороной \(\sqrt5\) (рис. 6, слева), и повернув его так, чтобы стороны стали параллельными сторонам исходного квадрата (рис. 6, справа).

Рис. 6.

Для обоснования следующих решений нашей задачи докажем следующее утверждение: «Для любых двух равных квадратов на плоскости существует поворот, переводящий один из квадратов в другой».

В самом деле, для двух равных отрезков \(AB\) и \(A_1B_1\) существует поворот, переводящий отрезок \(AB\) в отрезок \(A_1B_1\) (рис. 7, слева). Центром такого поворота является точка \(O\) пересечения серединных перпендикуляров отрезков \(AA_1\) и \(BB_1\). Ведь тогда треугольники \(AOB\) и \(A_1OB_1\) равны по трем сторонам. Отсюда \(\angle AOB = \angle A_1OB_1\), поэтому \(\angle AOA_1 = \angle BOB_1\), а значит \(\angle AOA_1\) будет углом поворота.

Рис. 7.

Но если для произвольных равных отрезков \(AB\) и \(A_1B_1\) существует поворот, переводящий один в другой, то существует и поворот для двух равных квадратов, построенных на отрезках \(AB\) и \(A_1B_1\), переводящий один из квадратов в другой. Что и требовалось обосновать.

Доказанное утверждение позволяет в нашей задаче найти еще одно решение. Как оказалось — очень перспективное. Почему? Это вы, уважаемый читатель, узнаете позже.

Если на бумажном квадрате 7×7 нарисовать два квадрата со стороной \(\sqrt5\): косой квадрат \(ABCD\) в исходном положении и центральный \(A_1B_1C_1D_1\) в конечном, то получим ситуацию, полностью совпадающую с двумя квадратами из нашего утверждения (рис. 8, слева). Это значит, что существует поворот, переводящий косой квадрат в центральный. Центр поворота найдем как точку \(O_1\) пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам \(AA_1\) и \(BB_1\), угол поворота \(\angle AO_1A_1\) равен углу между прямыми \(AB\) и \(A_1B_1\), который равен \(\mathrm{arctg}\;2\).

Рис. 8.

Белый четырехугольник, являющийся общей частью косого и центрального квадратов (рис. 8, справа) можно повернуть на угол \(\mathrm{arctg}\;2\), как по часовой стрелке, так и против часовой стрелки, при этом этот белый четырехугольник будет занимать два положения, обозначенные оранжевым цветом. Из построения следует, что белый и два оранживых четырехугольника равны друг другу. Кроме этого, зеленые многоугольники тоже равны, так как один из них переходит в другой при этом же повороте.

Получилось, что оба квадрата, косой и центральный, составлены из равных многоугольников. Это значит, что в бумажном квадрате 7×7 можно вырезать многоугольники 1 и 2, и переложить на место многоугольников 3 и 4 соответственно. При этом в центре бумажного квадрата 7×7 появится квадратная дыра со стороной \(\sqrt5\), а косой квадрат со стороной \(\sqrt5\) будет замощен, как мозаика. Таким образом, задача решена разрезанием на три части.

В чем же перспектива этого метода? Дело в том, что метод разрезания с помощью поворота можно объединить с приемом, который применяли в решении №2, когда разрез осуществлялся по окружности, с последующим вращением вырезанного круга в своем «гнезде».

В решении №3 (рис. 8) использовался поворот, в котором вершины квадратов переходят по такой схеме: \(A\to A_1\), \(B\to B_1\), \(C\to C_1\), \(D\to D_1\). Центр \(O_1\) этого поворота расположен близко к краю квадрата 7×7, что не позволяет сделать разрез по окружности с центром в этой точке.

А что, если исследовать повороты, при котором вершины квадратов переходят друг в друга в другом порядке? Например, так: \(A\to B_1\), \(B\to C_1\), \(C\to D_1\), \(D\to A_1\)? Центром этого поворота является точка \(O_2\) пересечения серединных перпендикуляров \(m\) и \(n\) к отрезкам \(AB_1\) и \(A_1D\) соответственно (рис. 9, слева). В этом случае точка \(O_2\) оказалась очень близка к центру квадрата 7×7. Значит, на этом квадрате можно нарисовать окружность, полностью находящуюся внутри него, так, что обе квадратные дырки — косая и центральная — полностью находятся во внутренней области этой окружности. Это позволяет найти новое, оригинальное решение, суть которого заключается в том, что разрезание осуществляется по окружности с последующим вращением вырезанного круга с центром \(O_2\) в своем «гнезде» (рис. 9, справа).

Рис. 9.

В этом случае наша задача решается разрезанием квадрата по окружности — получается всего лишь две части: первая часть — это квадрат с круглой дырой, вторая часть — это круг с квадратной дырой.