Особенности релятивистской фотографии
Одно из предсказаний специальной теорией относительности — так называемый эффект сокращения длины: предмет, быстро движущийся относительно неподвижного наблюдателя, кажется ему короче, чем есть на самом деле. Этот эффект легко понять при помощи диаграмм пространства-времени (см. задачу Вперед в прошлое).
Представьте ракету, летящую горизонтально со скоростью v параллельно земле мимо покоящегося наблюдателя. Систему отсчета, связанную с наблюдателем, обозначим буквой K, а систему отсчета, связанную с ракетой, — K′. Диаграмма пространства-времени для системы покоя, K, — это просто вертикальная ось t и горизонтальная ось x.
Как обсуждалось в задаче Вперед в прошлое, у системы K′ оси будут слегка приплюснуты к диагонали (рис. 1). В этой системе ракета находится в состоянии покоя, и ее нос и задняя часть всегда находятся на параллельной к оси x′ линии постоянного времени; ракета движется только вдоль оси времени t′, но не вдоль оси координат x′. Ее длина в этой системе — L0 — реальная длина ракеты, которую планировали инженеры и которую она имела на Земле до запуска.
Однако, как видно из диаграммы, длина, которую будет измерять наблюдатель в системе отсчета K, меньше длины L0. Обозначим эту длину L′.
Специальная теория относительности предсказывает, что размеры объекта в направлении, параллельном движению, сокращаются для покоящегося наблюдателя в \(\gamma = 1/\sqrt{1-v^2/c^2}\) раз. Этот множитель называют Лоренц-фактором. Например, при v = 0,5c длина сокращается примерно в 1,15 раз, при v = 0,9c — примерно в 2,3 раза, а при v = 0,995c — примерно в 10 раз. При этом размеры в любом перпендикулярном движению направлении остаются неизменными: обратите внимание на ширину ракеты или рост высунувшегося из иллюминатора человечка на рис. 1.
Задача
В фантастической вселенной «Звездного пути» (Star Trek) есть космический корабль кубической формы, используемый высокотехнологичной расой киборгов (рис. 2). Представьте, что этот корабль пролетает с околосветовой скоростью перпендикулярно лучу зрения так, что один его бок обращен к кораблю Федерации, с которого фотографируют этот куб. Что получится на фотографии? А что бы получилось, если бы корабль Боргов был сферическим?
Рис. 2. Кубический корабль Боргов и звездолет Федерации Энтерпрайз. Изображение с сайта ja.memory-alpha.wikia.com
Подсказка
Как уже говорилось, сторона куба, направленная к наблюдателю, сократится в направлении движения. Но задачи не было бы, если бы ответ был так прост. Подумайте о том, как свет доходит до нас.
Решение
Если вы подозревали, что дело не только в сокращении длин, то оказались правы. Действительно, сторона корабля Боргов, направленная в сторону наблюдателя (то есть параллельная движению), сократится в \(\gamma=1/\sqrt{1-v^2/c^2}\) раз (на рис. 3 это отрезок BC). В направлении, перпендикулярном движению, размеры корабля никак не изменятся.
Рис. 3. Корабль Боргов, движущийся вправо, сокращается в длине в направлении движения. Но помимо фотонов с лицевой стороны (сторона BC), наблюдатель будет регистрировать свет с боковой стороны (в частности, из точки A), так как корабль улетает с пути движения этих фотонов к наблюдателю
Рассмотрим фотон, излученный в точке A (рис. 3) в момент времени t0 в направлении наблюдателя. Так как корабль, по сути, будет уходить в сторону с околосветовой скоростью, открывая путь этому фотону, в итоге он попадет на фотографию. Получается, что кроме лицевой стороны при достаточно большой скорости корабля наблюдатель увидит и боковую сторону.
Свет от точки A, излученный в момент t0, долетит до уровня нижней (на рис. 3) границы за время \(\Delta t=L_0/c\). За это время корабль пролетит расстояние vΔt, и поэтому фотон из точки A, излученный в момент t0, будет зарегистрирован на фотографии в то же время, что и фотоны из точек B и C, излученные в момент t0 + Δt. Эти же соображения применимы и к остальным точкам на боковой стороне куба. В итоге получится картинка, изображенная внизу на рис. 3.
Послесловие
Вместо ожидаемого прямоугольника со сторонами L0 и L0/γ на фотографии мы увидим прямоугольник со сторонами L0 и \((v/c + 1/\gamma)L_0\). Множитель \(v/c+1/\gamma\) ограничен (рис. 4), поэтому:
1) при малых скоростях корабля на фотографии будет видна лишь сторона BC, почти не сплюснутая;
2) при средних скоростях (v ≈ 0,7c) отношение сторон прямоугольника на фото достигает максимума \(\sqrt{2}\);
3) при больших скоростях (v ≈ c, γ ≫ 1) мы видим только боковую сторону, так как лицевая сторона оказывается сильно сплюснутой.
Рис. 4. Отношение сторон видимого прямоугольника в зависимости от скорости корабля
Все это можно увидеть на анимации. Слева — без учета видимой боковой стороны, справа — с учетом. В анимации учитывается также эффект перспективы (далекие объекты кажутся меньше), которого в нашем рассмотрении не было.
Из-за такого поведения эффект называют «вращением Террелла» по имени ученого, который в 50-х годах ХХ века математически показал его наличие (J. Terrell, 1959. Invisibility of the Lorentz Contraction).
Для сферического объекта можно аналогично показать, что вращение Террелла не меняет его форму (рис. 5). Попробуйте это сделать самостоятельно.
Рис. 5. Вращение Террелла не меняет форму сферы. Рисунок с сайта ru.wikipedia.org
-
Получается, если этот кубокорабль летит навстречу параллельным курсом, Он будет выглядеть так, будто существенно направлен в мою сторону и его маршрут пересекает мою траекторию движения. Чуть ли не под 70 градусов. При этом если такие встречные корабли будут лететь и справа и слева, все они будут смотреться так, словно атакуют меня. Жутковатый эффект)
-
Как прискорбно, что автор этой задачи так и не разобрался в идеях А.Эйнштейна и поэтому его задача абсурдна.
Вот, что писал Эйнштейн -
".... твердое тело, которое в покоящемся состоянии имеет форму шара, в движущемся состоянии - при наблюдении из покоящейся системы - принимает форму эллипсоида вращения с полуосями." (стр.13 том 1 Полного собрания трудов А.Эйнштейна 1965г. Издательство "Наука")
Главные слова и идея Эйнштейна - "...ПРИ НАБЛЮДЕНИИ ИЗ ПОКОЯЩЕЙСЯ СИСТЕМЫ..."
Если вы НЕ наблюдаете из ПОКОЯЩЕЙСЯ СИСТЕМЫ, то никакого сокращения длины не будет. И уж тем более не будет никакого сокращения размеров движущегося объекта.
Рис. 1. Наблюдатель на Земле (в системе отсчета K) видит, как пролетает ракета (слева вверху), и ему кажется, что она стала короче. В системе отсчета ракеты K′ длина самой ракеты неизменна и равна L0 (слева внизу). Справа — диаграмма пространства-времени для систем K и K′. В системе K′, как и следовало ожидать, ракета покоится