Математика футбольных мячей

Вам поможет знаменитая формула Эйлера: если на плоскости или на сфере нарисован граф с v вершинами, r ребрами и γ гранями, то выполнено равенство v − r + γ = 2. Гранью графа называется часть плоскости, ограниченная ребрами, растягивая, но не разрывая которые можно сделать круг.

Для начала, конечно, нужно понять, как футбольный мяч связан с графом. Действительно, давайте считать, что пятиугольники и шестиугольники — это грани графа, их стороны — ребра графа, а вершины — вершины графа. Тогда мы получаем граф, нарисованный на поверхности сферы. Предположим, что мы взяли n шестиугольников и m пятиугольников. Остается понять, какие ограничения на число m ставит формула Эйлера.

Итак, допустим, что мы взяли n шестиугольников и m пятиугольников. Посчитаем, сколько будет вершин, ребер и граней в соответствующем графе. Каждый из n шестиугольников дает по шесть вершин, а каждый из m пятиугольников — по пять, значит всего будет 6n + 5m вершин. Однако заметим, что каждую из этих вершин мы посчитали трижды, потому что склеивали по три многоугольника в каждой вершине. Итого в графе v = (6n + 5m)/3 вершин. Аналогично получаем, что r = (6n + 5m)/2. Очевидно, что количество граней просто равно количеству многоугольников: γ = m + n.

Теперь запишем формулу Эйлера:

То есть, действительно, если пытаться склеить сферический многогранник так, как описано в условии, то при любом числе шестиугольников потребуется ровно 12 пятиугольников. И это абсолютно строгое доказательство — никакой магии.

Будем далее называть фуллеренами выпуклые многогранники, которые удовлетворяют свойствам из условия: в каждой вершине сходится по три ребра, а гранями являются только пятиугольники и шестиугольники (не обязательно правильные). Вообще, фуллерены — это одна из аллотропных форм углерода: сферические молекулы из атомов углерода, каждый атом в которых принадлежит ровно трем углеродным кольцам, состоящим из 5 или 6 атомов. То есть такое название наших многогранников вполне оправданно.

Первый из открытых фуллеренов, С₆₀, содержал 60 атомов углерода. Он был синтезирован Р. Кёрлом, Г. Крото и Р. Смолли в 1985 году, причем нельзя сказать, что они сделали это целенаправленно: химики облучали твердые графитовые образцы лазером и анализировали состав конденсированных паров графита, в которых при помощи масс-спектрометрии и были обнаружены кластеры из 60 и 70 атомов углерода. Позже удалось подтвердить, что это действительно С₆₀ (и другой фуллерен — С₇₀, состоящий из 70 атомов). За это в 1996 году им была присуждена Нобелевская премия по химии.

В свою очередь, фуллеренами эти молекулы были названы в честь американского архитектора, дизайнера и изобретателя Ричарда Бакминстера Фуллера, который запатентовал конструкцию куполов для покрытия больших площадей с опорами только на границе (см. послесловие к задаче «Карандаши и нитки»).

Фуллерены встречаются в природе, попадаются в космосе, имеют многочисленные приложения в биологии, медицине и нанотехнологиях и неоднократно становились героями новостей на нашем сайте (см. подборку материалов ниже).

У многогранника, имеющего форму футбольного мяча и с которого началась эта задача, тоже 60 вершин (это нетрудно проверить, зная формулу Эйлера!) и по форме он почти неотличим от фуллерена С₆₀. Разница в том, что у фуллерена разные «ребра» — длины связей между атомами углерода: общая сторона двух шестиугольников имеет длину 1,39 Å, а общая сторона шести- и пятиугольника длиннее и равна 1,44 Å. Посмотрим на этот многогранник повнимательнее с математической точки зрения.

Начнем с икосаэдра — правильного многогранника, состоящего из 20 треугольных граней, сходящихся по пять в каждой из 12 вершин. Представим, что он сделан из сыра и отрежем острым ножом каждую вершину. Полученный многогранник логично называть усеченным икосаэдром. Нетрудно заметить, что треугольные грани превратились в шестиугольные, а на месте каждой вершины появилась пятиугольная грань (рис. 1). Таким образом, если считать, что мы резали идеально ровно и все шестиугольные и пятиугольные грани получились одинаковыми, то мы получили правильный усеченный икосаэдр — это и есть «футбольный мяч» (только из сыра).

Рис. 1. Правильный икосаэдр и усеченный икосаэдр. Рисунки с сайта ru.wikipedia.org

Как и правильный икосаэдр, так и полученный из него усеченный икосаэдр имеет икосаэдрическую группу симметрии: существует 120 разных движений трехмерного пространства (в данном случае это повороты и отражения), которые переводят в себя правильный усеченный икосаэдр. Фуллерены с такой группой симметрии называются многогранниками Гольдберга (см. Goldberg polyhedron). В силу своей симметричности они состоят из правильных пяти- и шестиугольников. Интересно, что среди фуллеренов-молекул есть и такие, у которых вообще нет симметрий (H. Yang et al., 2011. Fullerenes without symmetry: crystallographic characterization of C₁(30)–C₉₀ and C₁(32)–C₉₀).

Как мы доказали в задаче, в многограннике Гольдберга всегда 12 пятиугольников, поэтому можно задавать его расположением пятиугольников. А именно, будем ходить от одного пятиугольника до другого «ходом коня»: сначала на m шагов в одном направлении, затем поворот на 60° и еще n шагов. Оказывается, полученный такой странной процедурой многогранник GP(m, n) будет обладать икосаэдрической группой симметрии. Самый простой пример многогранника Гольдберга, GP(1, 0) — это додекаэдр (правильный многогранник, состоящий из 12 пятиугольников). На рис. 2 показаны многогранники Гольдберга для двух других значений параметров m и n: GP(1, 4), GP(7, 0). Кстати, количество шестиугольников в многограннике Гольдберга выражается через m и n: оно равно 10(m² + mn + n² − 1) (попробуйте это доказать!).

Рис. 2. Многогранники Гольдберга GP(1, 4), GP(7, 0). Рисунки с сайта en.wikipedia.org

Встречаются фуллерены и с иными группами симметрий. Здесь нужно отметить, что математики любят исследовать объекты, обладающие симметриями: отчасти из-за того, что это обычно бывает проще и удобнее, а отчасти из-за того, что такие объекты нередки в природе и их удобно использовать при моделировании реальных процессов.

Упомянем и о другой связи додекаэдра с фуллеренами. Математики В. Бухштабер и Н. Ероховец в 2015 году показали, что каждый фуллерен комбинаторно эквивалентен (то есть мы разрешаем изменять длины ребер и величины углов, но не разрешаем изменять количества пятиугольников и шестиугольников, — и смотрим, какие многогранники можно такими преобразованиями получить друг из друга) многограннику, получаемому из додекаэдра при помощи последовательности специальных «усечений». Например, один из типов усечений выглядит так: нужно взять пару точек на сторонах существующей грани, соединить их отрезком и «сломать» эти стороны в выбранных точках (в указанной статье эта операция показана на рис. 6). В этой же статье показано, что не существует фуллеренов с одним шестиугольником, но зато существуют фуллерены с любым другим числов шестиугольников! Например, если шестиугольников нет совсем, то это додекаэдр. Попробуйте понять, как устроен фуллерен, содержащий ровно два шестиугольника (ответ можно найти всё в той же статье на рис. 20).

См. также о фуллеренах:
1) П. Елизарьев. Фуллерены в космосе.
2) Фуллерены защищают клетки от радиации, «Элементы», 22.11.2005.
3) Фуллерены нарушают работу ДНК, «Элементы», 13.12.2005.
4) Обнаружена суперионная проводимость в фуллериде лития, «Элементы», 23.04.2009.
5) «Сухая вода» помогла измерить поляризацию ковалентных связей, «Элементы», 02.11.2016.
6) Связанные водородной связью молекулы поймали в клетку фуллерена, «Элементы», 30.05.2017.