Сфериконы и гексакон

Максим Прасолов
«Квантик» №12, 2020

Рис. 1

Сфериконы — математические игрушки, забавно катающиеся по плоскости. Начнём с описания простейшего сферикона.

Возьмите в руки квадрат за две противоположные вершины и повращайте его вокруг диагонали, которая их соединяет. Какую фигуру «заметёт» квадрат? Это будут два конуса, склеенных по основанию. Если сделать такую фигуру, разрезать её по квадрату и вновь склеить половинки, но с поворотом на 90°, получится тетракон (рис. 1).

Поверхность тетракона состоит из отрезков. Точнее, из 4 вершин квадрата, двух полуокружностей и бесконечного числа одинаковых интервалов (интервал — это отрезок без его концов). Попробуйте пройтись по поверхности тетракона так, чтобы вернуться в исходную точку и пересечь все интервалы по разу!

Поверхность конуса можно полностью обклеить в один слой сектором, вырезанным из плоскости. Поэтому тетракон можно обклеить четырьмя секторами, которые соединены в зигзагообразную дорожку — см. развёртку на с. 15. Сделайте из неё тетракон своими руками!

Тетракон прекрасно катится по плоскости, как бы по дорожке из секторов, которую можно продолжать, повторяя секторы. И хотя его качает то влево, то вправо, центр тетракона всё время остаётся на одной высоте, что и обеспечивает плавность движения.

Чтобы увидеть, что высота центра не меняется, заметим, что, когда мы вращали квадрат, круг, вписанный в него, «заметал» шар, который касался всех отрезков двойного конуса. После разрезания двойного конуса на две части и поворота одной из частей всё равно шар остался шаром с тем же свойством касания отрезков. Поэтому, когда тетракон катится по плоскости, шар внутри него тоже катится по этой плоскости. Значит, центр не меняет высоту.

Обобщим конструкцию тетракона, сохранив его забавные свойства. Квадрат заменим на любой правильный многоугольник, диагональ — на любую ось симметрии многоугольника. Склеивать две половинки после разрезания можно с подкруткой на разные углы.

Если же в многоугольнике чётное число сторон, можно половинки взять у двух разных фигур — возникающих при вращении многоугольника вокруг диагонали (первая) и вокруг прямой, соединяющей середины противоположных сторон (вторая), — и склеить (по многоугольнику).

Всевозможные фигуры, которые так получаются, называют сфериконами. Как устроена поверхность сферикона? Когда мы вращаем многоугольник, из его сторон с общей вершиной, лежащей на оси вращения, получаются конусы. Цилиндры возникают из сторон, параллельных оси вращения. Почти из всех остальных сторон получаются усечённые конусы, а ещё могут получиться плоские круги.

Тетракон запатентовал в 1980 году Дэвид Хирш. А в 2017 году он опубликовал видео, в котором катится другая придуманная им фигура — гексакон (см. видео). Гексакон обладает теми же хорошими свойствами, что и тетракон: его поверхность состоит из отрезков, при катании любая его точка рано или поздно касается плоскости, центр всегда на одном и том же расстоянии от плоскости. А ещё, в отличие от тетракона, он центрально-симметричен. Поэтому при катании высота гексакона всё время одна и та же, а центр находится на половине этой высоты.

Гексакон состоит из 6 одинаковых частей. Части получаются из половинки конуса, у которого в сечении — равнобедренный треугольник с углом 120°. Через середину основания треугольника нужно провести две плоскости, перпендикулярные плоскости треугольника, под углом 30° к основанию, разрезать по ним полуконус и оставить ту часть, в которую попала вершина конуса. У этой части есть грань в виде ромба и два криволинейных ребра (рис. 3). Склеим три экземпляра этой части по циклу, стыкуя по криволинейным рёбрам. Из ромбов составится правильный шестиугольник (рис. 4). Ещё три экземпляра приклеим так, чтобы получилась центрально-симметричная фигура (рис. 5).

Рис. 3–5

Можно удалить из тетракона или гексакона почти всё, кроме границ оснований конусов (у тетракона это две полуокружности, у гексакона — криволинейные рёбра) и ещё чего-то, скрепляющего границы в конструкцию, которая не разваливается. Полученный «каркас» будет так же кататься по плоскости (если только центр масс не поменялся). На фото танцовщица Франциска Хаузер использует снаряд, составленный из изогнутых рёбер октаэдра: четыре ребра выгнуты так, чтобы получились две полуокружности тетракона, а остальные прогибаются внутрь.

Фото взято с персональной страницы артистки

В другом видео с Дэвидом Хиршем можно узнать о поликонах — семействе фигур, которое включает в себя и тетракон, и гексакон: см. видео.

А вот какое обобщение сфериконов предлагает Александр Перепечко. Нарисуем на сфере одну или несколько замкнутых кривых. Прокатим плоскость по этой сфере, так чтобы точка касания перемещалась вдоль этих кривых. Часть пространства, которая будет по ту же сторону от плоскости во всех её положениях, что и сфера, в шутку назовём крутиконом.

Художник Алексей Вайнер

Ответы

1. Пусть сторона квадрата равна a. Основание конуса — это круг с диаметром на диагонали квадрата. Значит, половина длины окружности основания равна \( π\sqrt{2}a/2 \), что равно длине дуги сектора. Радиус сектора равен a, значит, если α — угол сектора в градусах, то длина дуги сектора равна 2πa · α/360. Откуда \( α = 90\sqrt{2} \) градусов.

2. Перпендикуляр, опущенный из центра квадрата на его сторону, опирается на её середину. Поэтому перпендикуляр, опущенный из центра тетракона на плоскость, попадает в середину отрезка, по которому тетракон соприкасается с плоскостью. Такие средние линии секторов соединяются в зигзагообразную линию. Центр движется точно по такой же линии, если её поднять на высоту центра.

3. Выберем два ребра тетраэдра, которые не имеют общих вершин. Проведём в каждой грани среднюю линию, которая параллельна одному из выбранных рёбер. Эти линии образуют четырёхугольник. Противоположные стороны у него параллельны, так как средняя линия треугольника параллельна основанию. То есть, это параллелограмм. Проведём через него плоскость и разрежем по ней тетраэдр на две части. Они будут равны, поскольку если повернуть тетраэдр так, что выбранные рёбра поменяются местами, то и части поменяются местами. Подумайте, почему построенный параллелограмм — это на самом деле квадрат.

4. Если ось проходит через середину стороны.

5.

6. У правильного пятиугольника ось симметрии всегда проходит через середину некоторой стороны. Эта сторона при вращении превратится в круг. Когда мы разрежем фигуру, полученную вращением пятиугольника, этот круг разрежется на два полукруга. Когда мы повернём две половины сферикона относительно друг друга, два полукруга разъединятся. Полученный сферикон может катиться в одну сторону, пока не встанет на один полукруг.

7. Пронумеруем стороны многоугольника по порядку 1, 2, ..., 2n. Пусть ось симметрии была так выбрана, что симметричны стороны 1 и 2n, 2 и 2n − 1, ... Эти же пары сторон соединены ленточками (то есть половинками конусов, усечённых конусов и цилиндров) на поверхности одной половины сферикона. Другая половина повёрнута. Пусть она повёрнута в такую сторону, что ленточками соединены стороны 2 и 1, 3 и 2n, 4 и 2n − 1, ... Тогда при катании сферикона мы будем проходить все стороны многоугольника в таком порядке: 1, 2n, 3, 2n − 2, 5, 2n − 4, 7, 2n − 6, ..., 2n − 3, 4, 2n − 1, 2.

8. Три раза. Пронумеруем стороны числами 1, 2, ..., 12. Пусть на одной половине сферикона ленточками соединены стороны 1 и 12, 2 и 11, ..., 6 и 7, а на другой 4 и 3, 5 и 2, ..., 9 и 10. Ленточки на поверхности сферикона соединяются в три замкнутые ленты, которые проходят через стороны: 1, 12, 7, 6; 2, 11, 8, 5; 3, 10, 9, 4.

9. Бесконечный цилиндр. Конус.

10. Чтобы найти такие кривые, нужно нарисовать внутри тетракона и гексакона шар максимального радиуса и тогда точки, в которых шар коснётся, и будут составлять искомые кривые. Тетракон и гексакон состоят из конусов, поэтому искомые кривые состоят из дуг окружностей. Вспомним, что тетракон получается из двойного конуса. Двойной конус — это тоже крутикон! Он получается, если нарисовать на сфере две окружности. Разрежем сферу на две части — каждая окружность разрежется на две полуокружности, и повернём. Получится кривая из четырёх полуокружностей, напоминающая рисунок на мяче для бейсбола. Для гексакона ответ аналогичный, только будет 6 равных полуокружностей, концы которых делят экватор на 6 равных дуг.