Скотный двор

Попробуйте найти в левой части таблички числа 11 и 281 (вам поможет, что оба они заканчиваются на 1). Что вы можете сказать о шумерской системе счисления?

В левой части таблички содержатся значки довольно единообразной структуры, а в правой — более разнородные. Можно предположить, что слева записаны числа, а справа — названия животных.

В списке есть два числа, которые оканчиваются на 1. Рассмотрим три числа, последний знак которых — одиночный символ . По всей вероятности, среди них и надо искать 11 и 281. На число 11 больше всего похожа запись  в пятой строке. Тогда  — это 10, а  — это 1.

Найдем число 139, которое оканчивается на 9 единиц. Можно предположить, что оно расположено в восьмой строке. Оно начинается с двух знаков , за которыми следует  = 10 и  = 9. Следовательно, первый знак обозначает 2x, и из уравнения 2x + 10 + 9 = 139 получаем, что x = 60.

Из этого можно сделать вывод о том, как устроены обозначения чисел в клинописи. Они состоят из значков для шестидесяток, десяток и единиц, которые записываются слева направо:

    количество шестидесяток (значки вида ),

    количество десяток (значки вида ),

    количество единиц (значки вида ).

Это позволяет записать все числа на табличке:

    4, 38, 117, 221, 11, 88, 281, 139, 20

Теперь нам надо узнать, как распределить числа 38, 117 и 221 между ягнятами, предназначенными для гадания, баранами и овцами.

В первой строке название животного состоит из двух знаков, которые обозначают «откормленный баран». Один из этих знаков встречается в третьей строке рядом с числом 117 — значит, это и есть число баранов.

В седьмой строке указано количество ягнят. Тот же знак «ягненок» встречается и во второй строке рядом с другими знаками — очевидно, речь там идет о ягнятах, предназначенных для гадания, и их 38 штук.

Следовательно, остается 221 овца в четвертой строке.

Ответ:
(а) 38 ягнят, предназначенных для гадания;
(б) 117 баранов;
(в) 221 овца.

Систему записи чисел клинописью традиционно называют вавилонской. Однако на самом деле вавилоняне не являются ее изобретателями: эта система в общих чертах появилась у шумеров в IV тысячелетии до нашей эры, а вавилоняне заимствовали ее позже, причем принципы записи чисел у шумеров и вавилонян отличаются.

В шумерской клинописной записи чисел, которая известна примерно с 2600 года до н. э., существуют не только знаки для обозначения единиц, десяток и шестидесяток. На самом деле с ее помощью можно записать и большие числа. Вот более полный набор знаков, которые использовали шумеры:

1	1 × 10 = 10	60	60 × 10 = 600	602 = 3600	3600 × 10 = 36 000	603 = 216 000

Обратите внимание, что в этой таблице используются разные знаки для всех разрядов, в частности для единиц и шестидесяток. На самом деле они были настолько похожи, что в некоторых табличках могли смешиваться — как, например, на табличке в условии задачи. Фактически, мы не можем с уверенностью сказать, идет ли там речь о 4 баранах или о 240 баранах, поскольку единицы от шестидесяток почти не отличаются.

Характерная особенность этой системы, которая отличает ее от привычной нам позиционной десятичной системы записи чисел, заключается в отсутствии нуля. Впрочем, пока единицы разных разрядов обозначаются разными знаками, ноль и не нужен (проблема возникает только потому, что для единиц и шестидесяток используется один и тот же знак). Однако проблема с отсутствием нуля стала более острой у вавилонян, которые заимствовали систему у шумеров, но сделали ее позиционной. Этот термин означает, что числовое значение каждого знака зависит от того, на какой позиции в числе он стоит. Например, в нашей системе знак «1» обозначает тысячу в числе 1387, сотню — в числе 5129, десятку — в числе 6713 и единицу — в числе 4721. Такая же позиционная система была и у вавилонян, но в качестве основания они использовали не 10, а 60: самый правый разряд в записи числа обозначал единицы, перед ним следовало количество шестидесяток, перед ним — количество групп по 60² = 3600 и так далее. Получается, что, например, знак  может обозначать 5 × 1 = 5, 5 × 60 = 300, 5 × 3600 = 18 000 и так далее. Например, число 19 265 = 5 × 3600 + 21 × 60 + 5 вавилоняне записали бы так:

Однако если в каком-то разряде должен был стоять ноль, специального обозначения для него у вавилонян изначально не было, и это могло приводить к проблемам. Например, на одной вавилонской табличке сообщается, что квадрат числа равен . Однако если записать эти числа в позиционной десятичной системе счисления, мы сразу заметим, что равенство получилось неверное:

(2 × 60 + 7)² = 6 × 60 + 9, то есть 127² = 369

На самом же деле шестерка и девятка в записи квадрата не относятся к соседним разрядам: между ними должен стоять ноль, и тогда всё сходится:

(2 × 60 + 7)² = 6 × 3600 + 0 × 60 + 9, то есть 127² = 21609

Знак для нуля появился далеко не сразу, и точная датировка его неизвестна: можно с уверенностью говорить, что его использовали в IV веке до нашей эры. Он выглядел как . С его помощью число 21 609 можно было бы записать однозначно:

А вот у шумеров такой проблемы бы не возникло, потому что их система счисления не была позиционной. Они бы просто записали это число так:

Правда, их бы ожидали проблемы другого рода: если с помощью вавилонской системы можно записать любое неограниченно большое число, то шумерам для более крупных разрядов, чем  = 216 000, пришлось бы изобретать новые знаки.