Фильм-катастрофа и теория подобия
Задача
Представьте себе, что вы — режиссер, снимающий научно-фантастический фильм-триллер про колонизацию астероида и последующую гибель колонии. Будем считать, что ускорение свободного падения на астероиде в 64 раза меньше, чем на Земле, но все действия происходят в присутствии стандартной земной атмосферы (астероид обнесен куполом, под которым поддерживается атмосфера).
Вы решили, что для пущей реалистичности ключевые сцены, в которых рушатся вышки, здания и прочие постройки, не будут смонтированы на компьютере, а будут сняты натурально в виде разрушения макета, точно выполненного в некотором масштабе. При этом вы хотите, чтобы все физические явления, связанные с падением тел (до их удара о поверхность), выглядели максимально достоверно. То есть и время падения крупных обломков, и установившаяся скорость падения мелких предметов должны казаться на экране именно такими, какими они были бы в реальной ситуации. Съемки, естественно, происходят на Земле, при нормальной силе тяжести и в присутствии той же стандартной атмосферы.
Выясните, в каком масштабе нужно выполнить макет и с каким ускорением или замедлением воспроизводить запись, чтобы падение тел выглядело правдоподобно.
Подсказка
Ясно, что в условиях слабой гравитации тело будет падать медленнее, чем на Земле. Изобразить это замедление можно, либо воспроизводя съемку в замедленном темпе, либо изменив масштаб макета по сравнению с размерам реальной станции на астероиде. Для очень крупных тел, на падение которых сопротивление воздуха влияет незначительно, можно использовать любой из этих приемов.
Тела поменьше, падая с большой высоты, начинают чувствовать сопротивление воздуха. Они рано или поздно перестают ускоряться и дальше падают с некоторой терминальной скоростью. Эта скорость получается из баланса сил тяжести и силы сопротивления воздуха; для крупных предметов это лобовое сопротивление встречного потока воздуха, для легких или мелких предметов это вязкая сила сопротивления.
Формулы для эти сил известны, в них имеется некоторая зависимости от размеров и скорости тел, а также от силы тяжести. Требование, чтобы терминальные скорости казались на экране правильными, полностью фиксирует масштаб макета и ускорение/замедление воспроизведения съемки.
Решение
Начнем с самого простого случая — равноускоренного падения тела без сопротивления воздуха. Время падения с высоты h вычисляется по формуле:
.
Здесь g — ускорение свободного падения на астероиде, и оно по условиям задачи в k = 64 раз меньше, чем ускорение свободного падения на Земле (g0): 
.
Пусть в земных условиях мы снимаем падение макета, выполненного в масштабе 1 : ka. Тогда он падает с высоты h0 = h/ka, время падения вычисляется через
,
и оно выражается через время на астероиде:
.
Поэтому, если мы хотим добиться правдоподобного изображения процесса падения на астероиде, скорость воспроизведения снятого на Земле видеоряда надо замедлить в k(1+a)/2 раз. Это замедление/ускорение зависит, естественно, от числа a, то есть от того масштаба, который мы выбрали для макета. Например, если макет выполнен в натуральную величину (a = 0), то замедлить видео надо в √k раз.
Отметим, что в таких условиях соотношение между реальной скоростью движения тела во время съемки на Земле 
и кажущейся скоростью движения на астероиде, которую мы хотим показать в фильме, будет
(1).
Теперь учтем сопротивление воздуха. Оно приводит к тому, что тело перестает в процессе падения ускоряться и выходит на терминальную скорость. Для умеренно крупных тел это происходит, когда сила лобового сопротивления воздуха сравнивается с силой тяжести:
.
Здесь R — размер тела, ρ0 и ρ — плотности воздуха и тела, а c — некоторый численный множитель, зависящий от формы тела, но не от его размеров или скорости движения. При изготовлении макета мы используем тот же материал (то есть ρ неизменна), а все масштабы, в том числе и размеры тел, изменяем в ka раз: R0 = R/ka. Тогда терминальная скорость в моделировании выражается через терминальную скорость на астероиде:
.
Соотношение между скоростями получается как раз таким, какое нужно. Таким образом, при любом значении величины a съемки с помощью макета (при соответствующем замедлении при воспроизведении) правильно передадут терминальную скорость на астероиде.
Наконец, при падении совсем мелких тел лобовое сопротивление воздуха уступает вязкой силе сопротивления. Терминальная скорость в этом случае находится из соотношения
,
где η — коэффициент вязкости воздуха, а c' — другой численный коэффициент, тоже зависящий только от геометрии тела (это в реальности не совсем верно из-за того, что толщина пограничного слоя меняется со скоростью, но закроем на это глаза). В этом случае связь между скоростью на Земле и скоростью на астероиде будет даваться формулой
.
Но для правильной передачи скоростей должно по-прежнему выполняться соотношение (1). Это возможно, только если
,
откуда получается a = 1/3. Подставляя числа 64a = 4, 64(1+a)/2 = 16, получаем, что для правдоподобной передачи процессов падения надо макет выполнить в масштабе 1:4, а воспроизводить видеозапись надо в 16 раз медленнее.
Послесловие
Чтобы четче понять, почему описанные выкладки действительно являются решением, обсудим, чем плох другой выбор коэффициента a. Пусть, например, a = 0 (макет выполнен в натуральную величину), а воспроизводится видео с 8-кратным замедлением. Тогда и начальное ускорение, и терминальная скорость падения крупных тел будет выглядеть на экране, как нужно. Однако мелкие тела будут казаться падающими ненормально быстро, так, словно воздух на астероиде в 8 раз менее вязкий, чем в реальности. Именно в этом заключается отклонение от правдоподобности.
С вычислительной точки зрения решение можно записать несколько компактнее. На падающее тело действуют три силы: сила тяжести и два вида силы сопротивления воздуха, поэтому ускорение тела определяется формулой:
.
Мы хотим, чтобы движение тел в условиях земной и пониженной гравитации было подобным, то есть отличалось бы только изменением масштаба времен и размеров. Тогда можно убедиться, что единственной возможностью этого достичь — это выбрать именно такие масштабные коэффициенты, какие мы нашли.
Оказывается, в прикладной и технической физике проверка подобия поведения двух систем встречается сплошь и рядом. Очень полезный метод анализа таких задач состоит в нахождении критериев подобия — безразмерных комбинаций величин, входящих в задачу. Движение двух систем будем подобным, если эти факторы для них совпадают. В нашем случае можно составить три безразмерных характеристики процесса падения:
.Можно проверить, что найденное нами масштабирование как раз сохраняет эти комбинации. В теории подобия первая из этих комбинаций называется числом Ньютона Ne, вторая — числом Фруда Fr (хотя обычно его используют в других задачах), а третья является отношением числа Фруда к числу Рейнольдса Re.
Наш пример был достаточно простым, там речь шла всего лишь о движении тела в сплошной среде. Однако существуют и гораздо более сложные технические задачи: например, теплоотдача батареи отопления в помещении определенного размера с заданным начальным перепадом температур, или высыхание влажной пористой среды при обдуве сухим воздухом, или дробление капли при ударе о твердую поверхность. В таких задачах методы теории подобия оказываются очень полезными. Соответственно, и факторов подобия придумано много; каждый из них выражает определенную закономерность в каком-то классе задач. Список этих коэффициентов можно найти, например, в Википедии.
Фильмы-катастрофы часто содержат величественные сцены грандиозных разрушений — сгенерированные, разумеется, на компьютере. Если вместо этого пытаться достичь максимальной реалистичности, снимая процесс разрушения тщательно выполненного в некотором масштабе макета, то для полной правдоподобности придется решать задачи на теорию подобия. Изображение с сайта www.2012-film.ru