Падение в магнитном поле

Когда проводник движется в магнитном поле, на свободные электроны действует сила Лоренца, и в результате на краях проводника возникает разность потенциалов. При ускоренном движении эта разность потенциалов нарастает, возникает электрический ток, а электрический ток взаимодействует с магнитным полем.

Все вычисления будем производить в системе единиц СИ.

Рассмотрим вначале случай равномерного движения. На заряд q, движущийся со скоростью v в магнитном поле индукции B, действует сила Лоренца. Ее модуль равен F_L = |q|vB, а направлена она перпендикулярно векторам скорости и индукции поля. Хоть пластина в целом электрически нейтральна, в ней есть положительные и отрицательные заряды, на которые действуют одинаковые по модулю, но противоположные по направлению силы Лоренца.

Рис. 2. Слева: сила Лоренца, действующая на электрон внутри пластины, движущейся вниз. Справа: при ускоренном движении разделение заряда усиливается, возникает электрический ток, движущийся в магнитном поле, и на пластину действует сила, направленная вверх

Поскольку пластина металлическая, в ней имеются свободные электроны, которые под действием силы Лоренца перетекают на один край пластины, создавая в ней разделение зарядов и, как следствие, электрическое поле и разность потенциалов. Перемещение зарядов прекратится только тогда, когда сила из-за возникшего электрического поля скомпенсирует силу Лоренца во всей толще пластины (а поскольку пластина немагнитная, внешнее поле B проникает в нее без искажений). Это случится тогда, когда благодаря распределению зарядов во всей пластине установится однородное электрическое поле напряженностью E = vB.

В конкретной геометрии этой задачи сила Лоренца направлена поперек пластины (см. рис. 2, слева). Значит, пластину можно представить в виде плоского конденсатора емкости C = ε₀S/d, который спонтанно заряжается из-за движения в магнитном поле. Однородное поле напряженности E возникнет в пластине тогда, когда на ее противоположных сторонах возникнет равномерно распределенный заряд +Q и –Q, где

Отметим, что заряд на обкладках конденсатора пропорционален скорости движения.

Теперь представим себе, что пластина движется с постоянным ускорением a. В этом случае заряд на обкладках будет равномерно расти с течением времени. Таким образом, поперек пластины потечет электрической ток, заряжающий конденсатор:

Поскольку магнитное поле проникает во всю толщу пластины, оно взаимодействует с этим током. Длина участка с током равна d, и отсюда получаем силу взаимодействия

где V — объем пластины. Эта сила направлена вверх, против направления ускорения (рис. 2, справа). Она слегка компенсирует силу тяжести, действующую на пластину, и поэтому пластина будет падать с ускорением a < g. Величина a находится из простого баланса сил

и оказывается равной

В конце следует сделать одно техническое замечание, касающееся области применимости этого ответа. При решении задачи мы предполагали, что распределение зарядов на пластине моментально подстраивается под изменившиеся условия. В реальности же в металле есть некоторое ненулевое сопротивление, из-за чего перетекание заряда поперек пластины требует некоторого времени. Поэтому если темп ускорения (то есть относительный прирост скорости) высок, полученный ответ перестает быть точным. Вычисления показывают, что это условие накладывает ограничение не на само ускорение, а на время с момента начала падения: ответ справедлив для времен много больших, чем время самопроизвольной разрядки этого конденсатора. Однако для металлов с хорошей проводимостью время разрядки исключительно мало, поэтому никакого практического ограничения тут не возникает.

Эта задача предлагалась на VIII Всесоюзной олимпиаде по физике в далеком 1974 году, однако сейчас она имеет неожиданно современное звучание. Дело в том, что использованный в этой задаче эффект может служить неким аналогом хиггсовского механизма.

Взглянем снова на полученный ответ. Он в знаменателе содержит отношение некоторой величины к массе пластины. Это отношение должно быть безразмерным, а значит, величину ε₀B²V можно интерпретировать как некую «добавку» к инертной массе Δm. Действительно, гравитационная сила, действующая на пластину, равна mg, но движется пластина так, словно ее инертная масса возросла и стала равной m + Δm. Эта добавка к инертности возникает за счет того, что пластина погружена в магнитное поле и взаимодействует с ним. При этом взаимодействие с внешним магнитным полем специфическое: поле не мешает пластине двигаться, однако слегка препятствует его ускорению. Именно такими свойствами обладает и взаимодействие элементарных частиц с хиггсовским полем, из-за которого изначально безмассовые частицы обретают инерцию, то есть массу.

Величине Δm можно дать еще и такое толкование. Известно, что магнитное поле обладает плотностью энергии

Энергия магнитного поля, запасенная в объеме пластины, получается равной Δm c²/2. Таким образом, Δm равна «массе» магнитного поля, заключенного в удвоенный объем пластины.

Впрочем, надо тут же предупредить, что делать далеко идущие выводы из этой интерпретации (равно как и из аналогии с хиггсовским механизмом) не стоит. «Кусок» магнитного поля удвоенного объема вовсе не «прицеплен» к пластине и не падает вместе с ней. По этой же причине нет какого-то особо глубокого объяснения, почему объем получился удвоенный — просто так сложились числа. Эта параллель призвана лишь подчеркнуть тот факт, что в некоторых физических системах за счет погруженности объекта во внешнюю среду могут возникать силы, пропорциональные ускорению, и тогда они нами воспринимаются как увеличившаяся инерция объекта.

Дополнение.

После того, как решение было опубликовано, в комментариях к этой задаче состоялось обсуждение дополнительных ее аспектов, которые полезно вынести в основной текст.

Во-первых, происхождение и величину дополнительной массы можно понять из энергетических соображений. В процессе падения потенциальная энергия переходит не только в кинетическую энергию пластины, но и в энергию зарядки конденсатора. Записав закон сохранения энергии явно, получим

ровно с той величиной Δm, которую мы получили выше. Таким образом, увеличившаяся инерция возникает за счет добавки энергии зарядки конденсатора к кинетической энергии пластины. Нетривиальным здесь является то, что эта добавочная энергия тоже квадратично растет со скоростью.

Здесь может возникнуть подозрение, что раз увеличивается инертная масса пластины, то должна увеличиваться и ее гравитационная масса, а значит, ускорение останется равным ускорению свободного падения. Однако это подозрение неверно, поскольку здесь имеется эффективная добавка лишь к кинетической энергии, но не к энергии покоя пластины, а для гравитации нерелятивистских тел важна именно энергия покоя.

Второе замечание касается перераспределения заряда. Полученная нами в задаче «подъемная» сила приложена, строго говоря, к свободным зарядам, то есть к электронам. Получается, что пластинку тянут вверх «за электроны». Это приведет к тому, что в пластине возникнет вертикальное разделение заряда: вверху будет нескомпенсированный отрицательный заряд, внизу — положительный. Распределение заряда остановится тогда, когда возникшая электростатическая сила будет как раз такой, чтоб тянуть вверх и кристаллическую решетку, и электроны с одинаковым ускорением. Это разделение заряда есть по сути проявление эффекта Холла.

Можно убедиться, что это вертикальное разделение заряда будет слабым, намного меньше, чем основное боковое разделение заряда, а также постоянным, то есть не растущим со временем. Однако оно порождает новый для этой задачи эффект — возникнет вращающий момент, стремящийся развернуть пластину из вертикального состояния. Можно убедиться, что для того, чтобы этот эффект не мешал падению и чтобы задача оставалась корректной, надо наложить дополнительное условие, что величина Δm намного меньше массы пластины. К счастью, для доступных сегодня магнитных полей это условие выполняется с огромным запасом. Однако не исключено, что в какой-то астрофизической задаче возникающий разворачивающий момент будет приводить к наблюдаемым последствиям.