Квадраты в круге

1) Соединим все точки квадратов лежащие на окружности - получается неправильный четырехугольник и две пересекающиеся диагонали. Эти диагонали и стороны квадратов a и b (лежащие на окружности) образуют два треугольника с общей вершиной. Эти два треугольника - подобны по углам. Потому что у них верхние углы опираются на общую хорду, и нижние - на другую общую хорду.
2) Теперь возьмем другую пару треугольников - половинки квадратов разрезанных по диагонали с общей точкой О. Они тоже подобны и построены ровно на тех же сторонах a и b.
3) Теперь осталось доказать что у двух фиксированных отрезков может быть единственным образом построенная пара подобных треугольников с общей вершиной. Тогда получается что диагонали четырехугольника (1) и половинки квадратов (2) это одно и тоже. Вроде доказал, но без чертежа уже не объяснить ((
4) Отсюда диаметр d^2 = a^2+(a+b*sqrt(2))^2 = 2a^2+2b^2+2ab*sqrt(2)

Я нашёл только то, что тангенс угла по модулю должен быть равен единице, то есть угол может быть или 45 или 135 градусов. Причём этот угол зависит от соотношения сторон квадратов и радиуса окружности. Если квадраты очень маленькие, то их можно поставить очень плотно и угол по идее должен быть маленьким, в предельном случае если один из квадратов максимально большой, а второй очень маленький, угол 45 градусов. Но радиус через стороны квадратов я так и не смог выразить.

Допустим что квадраты одинаковые, тогда угол будет меняться от нуля, когда два квадрата полностью соприкасаются, до 180, когда они очень маленькие и тоже соприкасаются, но смежными сторонами. Я даже не решил этот частный случай.

По поводу "одна из диагоналей каждого квадрата лежит на продолжении стороны другого квадрата", вроде бы всё просто. Как отдельный случай теоремы о секущих круга: при пересечении двух хорд произведения длин получившихся отрезков у одной хорды должны равняться аналогичному произведению второй хорды.
То есть должно выполняться равенство (a*2^0.5)*b == (b*2^0.5)*a, что и происходит в нашем случае. Привести контрпример, при котором равенство выполняется, но диагонали и стороны расположены как-то иначе и всё ещё возможно построить окружность по 4 точкам у меня пока не вышло.

p.s.
Всё таки вышло, достаточно просто изменить угол между квадратами :(

Ivan Che pale 26.01.2024 17:46
легко привести контрпример, когда диагонали квадратов не лежат на продолжении сторон

Совершенно верно. Маленький квадрат можно повернуть вокруг центра окружности против часовой стрелки до перемещения точки В в точку О.

dark 04.02.2024 16:17
Угол AOB = 45° , всегда, без тупых.

Это как посмотреть. Все иногда тупят. Углы квадратов можно совместить двумя различными способами. См. выше. При втором способе совмещения углы при точке О не фиксированы. Один угол может принимать значения от 0° до 45°, а другой от 135° до 180°.

Второй способ совмещения возможен без наложения квадратов, только если их размеры значительно отличается.

И всё таки, что с решением?

Квадрат внутри окружности. Две вершины одной его стороны лежат на окружности.
Продолжаем стороны, перпендикулярные лежащей, до пересечения с противоположной стороной окружности. Получает прямоугольник, вписанный в окружность. Его диагональ являются диаметром окружности и гипотенузой прямоугольных треугольника.
Диагональ квадрата отсекает от этого прямоугольника равносторонний прямоугольник. Соответственно, диагональ квадрата образует вместе с диаметром треугольник. У этого треугольника, угол противолежащий диаметру равен 180 - 45 = 135 градусов.

Для решения задачи имеют значение только диагонали квадратов, они же гипотенузы равностороннего прямоугольника. И тут надо учесть, что у квадрата, лежащего на окружности, стороны не равноценны. У него появляется выделенное направление и нарушается симметрия. Одна диагональ при движении от окружности к ее центру закручивается по часовой стрелке (назовем ее правой), а другая против часовой стрелки (левая).
Два различных квадрата соединяются общей вершиной. Значит маленькая диагональ может быть правой и левой. Большая диагональ другого квадрата тоже может быть правой и левой. Главное условие: концы диагоналей находятся на одинаковом расстоянии от центра окружности. Зная длину диаметра, косинус угла в 135 градусов, и длину одной из диагоналей, можно найти длину второй диагонали, решив квадратное уравнение.
Все правые диагонали определяются так:
Проводим горизонтально диаметр окружности. От центра диаметра проводим в низ перпендикуляр. Из точки пересечения перпендикуляра с окружностью проводим новую большую окружность через концы горизонтального диаметра. Дуга над диаметром, вместе с левым концом диаметра определяет все правые диагонали квадратов. Левые диагонали получаются зеркальным отражением относительно диаметра окружности (любого диаметра). Поворачивая одну из диагоналей вокруг центра окружности можно совместить их концы.

Решение, при котором обе диагонали левые, или обе правые, самое интересное.
Одним из первых до него додумался профи Berd :
https://elementy.ru/problems/3050/Kvadraty_v_kruge#fm3267
Но чтобы довести это решение до числа (выразить длину диагоналей через угол между ними) надо использовать всю мощь школьной тригонометрии и решить еще одно квадратное уравнение (листок с записями где-то потерялся).