Гидродинамический коллапс

Для простоты можно предположить, что внутренность пузыря и вода вокруг никак не обмениваются массой. Тогда можно рассмотреть сферическую поверхность радиуса \(r>R(t)\). Так как масса воды внутри этой оболочки сохраняется, можно найти скорость этой поверхности относительно скорости внешней оболочки пузыря \(\dot{R}(t)\) (где точка обозначает производную по времени).

Движение воды снаружи пузыря можно описать с помощью уравнения Навье—Стокса в сферических координатах:

где \(u(r,\,t)\) и \(p(r,\, t)\) — скорость и давление оболочки радиуса \(r>R(t)\) в момент времени \(t\), а точка и штрих обозначают производные по времени и радиусу. При этом \(p(\infty,\,t) = P_\infty\) (давление воды далеко от пузыря), и \(u(R_0,\,t) = \dot{R}(t)\) (скорость границы пузыря).

В первую очередь вспомним очень важный факт про воду — она практически несжимаема, то есть ее плотность не меняется (а вот давление может вполне себе меняться). Представим воображаемую сферу радиуса \(r>R(t)\), где \(R(t)\) — радиус пузыря в момент времени \(t\). При сжатии пузыря свободное пространство, которое исходно «занимал» вакуум, заполняется водой, но так как плотность воды не должна меняться, при этом в область радиуса \(r\) должна поступать вода извне. Обозначим скорость радиального течения воды на радиусе \(r\) в момент \(t\) через \(u(r, t)\). Тогда формально закон несжимаемости воды можно записать так:

где \(\dot{R}(t)\) — скорость оболочки пузыря. Отсюда имеем:

Рис. 1.

Далее нужно вспомнить, что вода приводится в движение разностью давлений. Такой закон движения в гидродинамике (подобный второму закону Ньютона в механике) описывается уравнением Навье — Стокса:

Левая часть этого уравнения является аналогом массы, умноженной на ускорение, только вместо массы у нас стоит плотность воды \(\rho\), а вместо ускорения — величина \(\dot{u}+uu'\), которая также называется производной Лагранжа. Помимо явной производной скорости по времени \(\dot{u}\) (по сути, классического ускорения), этот член также содержит конвективную производную \(uu'\), которая отвечает за «ускорение» из-за движения самой среды.

Подставив в это уравнение \(u(r,t)\), выраженное через \(R(t)\) (заметим, что \(R(t)\) — это функция только времени \(t\), но не \(r\)), и взяв все производные, получим:

где \(R=R(t)\) — все еще функция только времени. Далее, мы можем проинтегрировать правую и левую части уравнений по \(r\) в пределах от \(r=R(t)\) до \(r=\infty\). Все множители с \(R\) можно не трогать, интегрируя лишь по степеням \(r\). Интеграл \(\int p'(r,t) dr=P_\infty-P(R)=\Delta P\), где \(\Delta P\) — разность давлений воды вблизи пузыря и бесконечно далеко. Получим достаточно простое на вид уравнение

Это выражение называется уравнением Рэлея — Плессета и в разных вариациях оно было выведено еще в середине XIX века. В случае, когда поверхностным натяжением и давлением внутри пузыря можно пренебречь, \(\Delta P\approx P_\infty\). В общем же случае \(\Delta P\approx P_\infty + 2\sigma/R-P_\circ\), где \(\sigma\) — коэффициент поверхностного натяжения, а \(P_\circ\) — давление внутри пузыря. Так как это уравнение на функцию \(R(t)\) — дифференциальное второго порядка, для него требуется два начальных условия, которые легко выглядят так: \(R(0) = R_0\) и \(\dot{R}(0)=0\) (пузырь с начальным радиусом \(R_0\), начинающий сжатие с состояния покоя). Можно заметить, что вторая производная \(\ddot{R}\) имеет постоянный отрицательный знак (так как \(R\) уменьшается со временем). Это означает, что в рамках этого уравнения пузырь будет схлопываться с постоянно растущим ускорением.

У этой задачи всего три размерных параметра: \(R_0\), \(P\) и \(\rho\). Таким образом, оценить время сжатия можно, даже не решая это уравнение, — с помощью метода анализа размерностей. Единственная комбинация этих трех параметров, по размерности соответствующая времени, такова: \(t_0=R_0/\sqrt{P/\rho}\). В газообразных веществах отношение \(\sqrt{P/\rho}\) примерно соответствует скорости звука. Для воды эта интерпретация не совсем верна, так как скорость звука обусловлена в основном не давлением, а модулем упругости (по сути, характеристикой несжимаемости воды). Тем не менее, характерное время полной имплозии в воде будет примерно равно начальному радиусу пузыря \(R_0\), деленному на некоторую скорость \(\sqrt{P/\rho}\).

Чтобы проверить этот несколько интуитивный ответ, давайте решим это уравнение численно для \(R_0=1\) м и \(P=\rho g h\), где мы будем варьировать глубину, принимая ее равной \(h=0{,}1\) км, \(h=1\) км и \(h=5\) км (рис. 2).

Рис. 2. Зависимость \(R\) (вертикальная ось) от времени (горизонтальная ось) для трех значений \(h\). Вертикальные пунктирные линии, соответствующие нашему предсказанию \(t_0=R_0/\sqrt{P/\rho}\), как ни странно, оказались достаточно близко к настоящему решению (ошибка в наших оценках меньше 10%)!

Что примечательно, на глубине 4–5 км вакуумный пузырь схлопывается всего лишь за 5 миллисекунд. Динамика сжатия (форма кривой \(R(t)\)) также достаточно интересна: из-за постоянного увеличивающегося (по модулю) ускорения, скорость сжатия также растет, приближаясь, но не достигая, скорости звука (рис. 3).

Рис. 3. Зависимость скорости сжатия \(|\dot{R}|\) от времени. Горизонтальным пунктиром отмечена характерная скорость \(\sqrt{P/\rho}=\sqrt{gh}\)

В последние несколько микросекунд пузырь сжимается катастрофическим образом, при этом его поверхность движется всего лишь вдвое медленнее скорости звука.

Если добавить в рассмотрение поверхностное натяжение \(\sigma\), то для больших пузырей ответ практически не меняется. Однако для достаточно маленьких пузырьков, для которых внешнее давление в какой-то момент может стать сопоставимым с \(2\sigma/R\), время коллапса немного уменьшается (рис. 4).

Рис. 4. Коллапс пузырька с начальным радиусом 1 мм на глубине 100 м без поверхностного натяжения (синяя кривая) и с его учетом (оранжевая кривая)

Вязкость жидкости, которой мы пренебрегли в наших вычислениях, также может играть небольшую роль. Впервые в этой ситуации эффект вязкости учел Милтон Плессет (Milton S. Plesset) в середине XX века, благодаря чему в названии уравнения и содержится его имя. По сути, сила вязкости добавляет дополнительное «давление», противодействующее коллапсу, а ее величина пропорциональна скорости коллапса и обратно пропорциональна радиусу. В итоге, в своем полном виде уравнение принимает такую форму:

В этом уравнении \(\nu\) — коэффициент кинематической вязкости (для воды он примерно равен \(\nu\approx 10^{-6}\) м²/сек), а \(P_\circ\) — давление внутри пузырька, которым мы ранее пренебрегали. Так как \(\dot{R} < 0\), «давление» вязкости противодействует внешнему давлению. Для понимания, насколько сильным может быть эффект вязкости, давайте сравним члены \(P_\infty/\rho\) и \(4\nu \dot{R}/R\). Характерную скорость можно оценить по выражению \(\dot{R}\approx\sqrt{P_\infty/\rho}\). Так как величины \(\rho\) и \(\nu\) фиксированы (это характеристики воды), мы можем нарисовать зависимость отношения этих двух членов от радиуса пузыря \(R\) и давления воды \(P_\infty\) (рис. 5).

Рис. 5. Зависимость параметров \(P_\infty/\rho\) и \(4
u \dot{R}/R\) от размера пузырька и давления воды. Цвет соответствует отношению «давления» вязкости и давления воды. Красная линия указывает режим параметров, где эти два эффекта примерно уравниваются: в области левее этой линии учет вязкости воды будет критичен для получения правильного результата. Как видно из графика, при давлении, близком к атмосферному, размер пузырька должен быть близок к микрону, чтобы вязкость вносила какую-либо заметную поправку

Насколько наши теоретические рассуждения соответствуют реальности? На рис. 6 показано сравнение численного решения уравнения Рэллея — Плессета с результатами эксперимента (из статьи D. Obreschkow et al., 2012. Analytical approximations for the collapse of an empty spherical bubble).

Рис. 6. Зависимость радиуса от времени (обе величины нормированы) для численного решения (красный) и экспериментального результата (черный). Над графиком показаны фотографии пузыря в различные моменты времени. В аналитическом уравнении авторы пренебрегли силой вязкости и поверхностным натяжением, тем не менее получив достаточно точное соответствие

Ответим также на последний вопрос задачи: что происходит в конце такой имплозии и из-за чего пузырь останавливает свой коллапс? До сих пор в наших рассуждениях мы предполагали, что внутренность пузыря полностью «состоит» из вакуума. Иными словами, давление внутри пузыря \(P_\circ=0\). В реальности, конечно же, так быть не может. Внутри пузыря всегда содержится какое-то малое количество воздуха или молекул воды, испарившихся с внутренней поверхности пузыря. По ходу большей части коллапса это давление может быть много меньше внешнего давления воды, однако, когда пузырь сжимается до достаточно малых размеров, газ внутри нагревается, а давление увеличивается, в какой-то момент полностью компенсируя внешнее давление. Во время остановки такая имплозия может запустить сверхзвуковые ударные волны. На рис. 7 показан коллапс пузырька размером несколько миллиметров, индуцированный плоской ударной волной (обозначена как USW) при экстремальном давлении 14 МПа (примерно 140 атм). После коллапса пузырек генерирует мощную сферическую ударную волну (BSW).

Рис. 7. Коллапс пузырька. Рисунок из статьи K. Ishii, N. Watanabe, 2019. Shock wave generation by collapse of an explosive bubble in water

Из-за нагрева газ внутри пузыря во время коллапса излучает свет из-за сонолюминесценции. На рис. 8 показана зависимость радиуса пузыря (средняя линия, левая ось) и давления акустической волны, индуцирующей коллапс (верхняя линия), от времени. Нижняя кривая показывает измеренную интенсивность света, который излучается в последние микросекунды коллапса. По различным экспериментальным оценкам температура внутри пузыря во время излучения света может достигать 10 000 К!

Рис. 8. Зависимость радиуса пузыря (средняя линия, левая ось) и давления акустической волны, индуцирующей коллапс (верхняя линия), от времени (горизонтальная ось). Рисунок из обзора M. P. Brenner et al., 2002. Single-bubble sonoluminescence

Механизм этого излучения не до конца понятен. В экспериментах было показано, что по крайней мере частично оно связано со свечением небольшого количества аргона и ксенона, содержащихся в пузыре и обращающихся в плазму при больших температурах (D. J. Flannigan, K. S. Suslick, 2005. Plasma formation and temperature measurement during single-bubble cavitation). Однако свечение (менее интенсивное) можно увидеть даже при отсутствии этих газов. На сегодняшний момент существует множество теорий и спекуляций по этому поводу, включая ударные волны в плазме, подобные молнии разряды, индуцируемые быстрым сжатием, и т. д., но однозначного ответа, несмотря на относительную простоту эксперимента, до сих пор нет.

Динамика коллапса становится еще интереснее, если внести в задачу небольшую асимметрию. К примеру, можно рассмотреть коллапс не в бесконечно протяженном объеме воды, как мы делали до сих пор, а вблизи твердой границы. Из-за границы давление вокруг пузыря во время коллапса асимметрично, и в результате пузырь коллапсирует в некое подобие тора, формируя сильный микроджет в сторону границы (рис. 9).

Рис. 9. Фотографии коллапса пузыря радиусом 2 мм вблизи границы в воде при атмосферном давлении. Интервал времени между кадрами примерно 10 микросекунд. Изображение из статьи W. Lauterborn, H. Bolle, 2006. Experimental investigations of cavitation-bubble collapse in the neighbourhood of a solid boundary

Физика образования такого мощного струйного течения достаточно проста. По сути, из-за движения ближайшей к стенке границы пузыря давление воды в этой области катастрофически падает, из-за чего внешняя часть притягивается в сторону стенки. В результате образуется мощная струя воды в сторону стенки, которая расталкивает пузырь, формируя тор. Этот эффект впервые был предсказан в середине 40-х советскими учеными М. Корнфельдтом и Л. Суворовым (M. Kornfeld, L. Suvorov, 1944. On the Destructive Action of Cavitation), и получил первое экспериментальное подтверждение в 1961 году (C. F. Naude, A. T. Ellis, 1961. On the Mechanism of Cavitation Damage by Nonhemispherical Cavities Collapsing in Contact With a Solid Boundary).

В анимации на рис. 10 показана гидродинамическая симуляция такого асимметричного коллапса с формированием микроджета.

Рис. 10. Симуляция асимметричного коллапса. Видео с сайта gfm.aps.org

Эти микроджеты активно изучаются как экспериментально, так и теоретически. Такой большой интерес к этому эффекту вызван вполне прикладным значением кавитации прежде всего в контексте эрозии пропеллеров водных турбин и двигателей. Дело в том, что при достаточно быстром вращении, границы турбин образуют область низкого давления, где создаются идеальные условия для образования пузырей. Этот эффект называют инерциальной кавитацией. Так как большая часть пузырей находится в непосредственной близости к поверхности турбины, при их коллапсе образуются микроджеты, которые точечно направляют мощный поток воды, повреждая поверхности турбин (рис. 11). Подобный эффект может также присутствовать в шестеренных насосах, регулирующих клапанах и прочих подвижных механических аппаратах, предназначенных для работы в водной среде.

Рис. 11. Кавитация при вращении гребного винта и возникающие при этом повреждения лопастей. Фото с сайтов en.wikipedia.org и ru.wikipedia.org

Помимо всего этого, есть теории, согласно которым образование кавитационных пузырей может ограничивать скорость плавания крупных быстроплавающих морских млекопитающих, таких как дельфин (G. Iosilevskii, D. Weihs, 2007. Speed limits on swimming of fishes and cetaceans). На скорости выше 10–15 м/с у поверхностей плавников могут образовываться кавитационные пузыри, коллапс которых может вызывать у животных дискомфорт, тем самым ограничивая их скорость. Другие морские животные, такие как раки-богомолы используют эффект кавитации для добычи пищи (рис. 12). Мощный удар клешни может провоцировать формирование достаточно крупного кавитационного пузыря, направленный коллапс которого прилагает силу порядка 500–1000 Н к довольно маленькой области. Эта тактика используется раками-богомолами как для защиты от хищников так и для охоты и добычи пищи.

Рис. 12. Рак-богомол атакует улитку. Желтыми стрелками показан кавитационный пузырек, образовавшийся между клешней рака и улиткой. Интервал между кадрами — 0,2 мс. Изображение из статьи S. N. Patek, R. L. Caldwell, 2005. Extreme impact and cavitation forces of a biological hammer: strike forces of the peacock mantis shrimp Odontodactylus scyllarus