Сверхзвуковой кнут

В первом приближении движение кнута очень похоже на поведение требушета — одного из типов средневековых метательных орудий. Из каких важнейших частей состоит требушет?

Вспомните задачу про Волны на канате. Как себя ведет такая волна при изменении различных параметров (например, силы натяжения или толщины кнута)?

Чтобы разобраться в каком-либо физическом эффекте хотя бы на начальном уровне понимания, бывает удобно построить простую модель, отбросив все несущественное и оставив только самое важное.

Удар кнута в первом приближении можно представить как движение веревки массой \(M\) и длиной \(L\), неподвижно закрепленной одним концом (рис. 2). Предположим, что на другом конце к веревке прикреплена масса \(m\) (мы увидим, почему это важно, рассмотрев предел \(m\to 0\)), а вся веревка начинает движение со скоростью \(v_0\).

Рис. 2. Приближенная модель движения кнута. Показано положение в момент начала движения и через небольшое время после этого

Силой тяжести будем пренебрегать. Во время движения на веревку, очевидно, действует внешняя сила со стороны точки крепления, поэтому полный импульс веревки не сохраняется. Однако кинетическая энергия, если пренебречь потерями на нагрев самой веревки из-за действия сил натяжения и трения о воздух, сохраняется.

Рис. 3. Положение кнута сразу после взмаха руки. Кадр из видео How does a whip break the sound barrier?

Сохранение кинетической энергии можно записать в следующем виде:

\[ (M+m)\frac{v_0^2}{2}=\left(\left(1-\frac{x}{L}\right)M+m\right)\frac{v^2}{2}, \]

где \(v\) — скорость основной части веревки, а \(x\) — длина ее остановившейся части. Из этого уравнения можно найти скорость кончика веревки в зависимости от \(x\):

\[ v=v_0\left(\frac{M/m+1}{(M/m)(1-x/L)+1}\right)^{1/2}. \]

Примерный график функци \(v(x)\) показан на рис. 4. В самом начале (то есть при \(x=0\)) \(v = v_0\). Скорость кончика кнута достигает максимума, когда большая часть массы остановилась: в этот момент, по сути, вся кинетическая энергия передается кончику. Максимальная скорость кончика равна \(v_{\rm max} = v_0 \sqrt{1+M/m}\). Отсюда сразу видно, что если взять предел \(m\to 0\), то скорость кончика (в приближении нашей модели) может быть бесконечно большой! Для реальных кнутов отношение \(M/m\approx 100{-}300\) (P. Krehl et al., 1998. The puzzle of whip cracking — uncovered by a correlation of whip-tip kinematics with shock wave emission), поэтому финальная скорость кончика может вполне себе превышать скорость «броска» кнута \(v_0\) как минимум на порядок и, в частности, преодолеть скорость звука! Именно поэтому при опытные мастера, изготавливающие кнуты, пытаются максимизировать отношение \(M/m\), делая тяжелое толстое основание у рукояти из кожи с постепенным утоньшением к кончику. Сам кончик стараются облегчить максимально, делая его из волокон конопли или синтетических легких волокон.

Рис. 4.

Полученный результат, пусть он и понятен на уровне формул, не назовешь интуитивным. К примеру, если рассмотреть лишь летящую часть кнута, то можно заметить, что ее скорость увеличивается со временем. Это значит, что на нее должна действовать некая сила. Но единственная внешняя сила — это сила со стороны крепления (оранжевая стрелка на рис. 5), направленная в противоположную относительно движения сторону (так как опора не может «толкать» веревку). На самом же деле на свободно летящую часть веревки/кнута (выделенную голубым) действует сила натяжения (розовая стрелка) со стороны покоящейся части, и направлена эта сила именно вдоль движения!

Рис. 5.

В предположении, что действующая на веревку сила натяжения везде одинакова, значение этой силы равно \(T=N\), где \(N\) — сила со стороны крепления. Заметим, что если крепление неподвижно, то полная энергия всей веревки сохраняется, так как сила не совершает работу. Однако профессиональные щелкатели кнута (англ. whipcracker) после броска также тянут рукоять на себя, тем самым совершая работу с помощью силы реакции, и накачивая дополнительную энергию во все еще движущуюся часть кнута.

В контексте рассмотренной упрощенной модели интересен еще один аспект движения кнута. В статье P. Krehl et al., 1998. The puzzle of whip cracking — uncovered by a correlation of whip-tip kinematics with shock wave emission авторы рассматривали формирование ударной волны от удара кнута с помощью сверхскоростной съемки и заметили интересную особенность. В момент самого щелчка, то есть в тот самый момент, когда формируется ударная волна, скорость кончика кнута оказывалась ровно вдвое больше скорости звука (рис. 6). Дело в том, что непосредственно сам кончик, как показано на рис. 5, движется вдоль кнута, и формировать ударную волну не может из-за малой площади. Однако место перегиба, которое движется ровно вдвое медленнее, — может. Оказалось, что ударная волна формируется именно в результате сверхзвукового движения петлеобразной части кнута (A. Goriely, T. McMillen, 2002. Shape of a Cracking Whip). В качестве упражнения попробуйте показать, что скорость петли действительно вдвое меньше скорости кончика крута.

Рис. 6. Схематическая иллюстрация движения кончика кнута. После момента 4 скорость кончика превышает скорость звука, но ударная волна формируется лишь в момент 9, когда скорость кончика примерно вдвое больше. Рисунок из статьи P. Krehl et al., 1998. The puzzle of whip cracking — uncovered by a correlation of whip-tip kinematics with shock wave emission

В нашей простой физической модели предполагалось, что в начале движения основная масса кнута находится «позади» рукояти. И действительно, одна из техник (overhead crack) предполагает изначальное вращение кнута за головой с последующим броском вперед. Что важно, в момент броска основная масса кнута действительно находится позади (или сбоку) от рукояти. Однако есть и другая техника (forward crack), когда вдоль вытянутого вперед кнута, по сути, запускается петлеобразная волна (рис. 7).

Рис. 7. Альтернативная техника удара кнутом. Рисунок из статьи A. Goriely, T. McMillen, 2002. Shape of a Cracking Whip

При такой технике скорость петли меняется по мере движения вперед за счет уменьшения поперечного сечения кнута. В самом конце вся кинетическая энергия, опять же, концентрируется в круговом движении кончика. Увеличив натяжение кнута (то есть потянув рукоять в обратную сторону), можно увеличить скорость петли (см. задачу Волны на канате).