Задача о трех кубах

Для нуля и единицы подобрать альтернативные представления совсем просто. А вот с двойкой и тройкой придется немного повозиться — хотя числа, которые нужно возводить в куб, лежат (по модулю) в пределах первого десятка. Числа от 6 до 9 тоже очень легко представить в виде суммы трех кубов. А вот 4 и 5 в таком виде представить невозможно. Почему?

Итак, поупражняемся в несложной арифметике.

Начнем с нуля. Легко видеть, что верны равенства \(0=1^3+(-1)^3+0^3,\) \(0=2^3+(-2)^3+0^3,\) \(0=3^3+(-3)^3+0^3\) и так далее. Это дает сразу бесконечно много способов записать ноль в виде суммы трех кубов. Казалось бы, требование задачи выполнено и даже перевыполнено. Так и есть. Но с другой стороны эти представления устроены одинаково: все они имеют вид \(a^3+(-a)^3+0^3\) для некоторого натурального \(a\). А можно ли разложить ноль в сумму трех кубов принципиально по-другому? Оказывается, что нет. И причина тому, ни много, ни мало, — Великая теорема Ферма. В самом деле, допустим, что для каких-то ненулевых чисел \(x\), \(y\) и \(z\) выполнено равенство \(x^3+y^3+z^3=0\). Но тогда верно, что \(x^3+y^3=(-z)^3\), а значит, тройка чисел \(x\), \(y\), \(-z\) удовлетворяет уравнению Ферма для \(n=3\). Но еще в 1770 году — задолго до Эндрю Уайлса, доказавшего эту теорему в общем виде, — Леонард Эйлер показал, что при \(n=3\) уравнение Ферма \(x^n+y^n=z^n\) в целых числах решений не имеет.

Для единицы тоже есть бесконечная серия тривиальных разложений \(1=a^3+(-a)^3+1^3\). Небольшой перебор маленьких целых чисел позволяет найти еще одно разложение: \(1=9^3+(-6)^3+(-8)^3\). Оказывается, что это — представитель еще одного бесконечного семейства разложений, найденного немецким математиком Куртом Малером (Kurt Mahler) в 1935 году. Он показал, что при любом целом \(k\) выполнено равенство

Приведенное нетривиальное разложение получается из этой формулы при \(k=1\). Если же взять \(k=-1\), то получится разложение \(1=9^3+(-12)^3+10^3\). Это равенство можно записать в виде \(1^3+12^3=9^3+10^3\). Обе эти суммы равны 1729 — числу Харди — Рамануджана (это наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы двух кубов двумя разными способами). Так что если вы знали исторический анекдот про такси с номером 1729, на котором математик Годрфи Харди приехал навестить своего друга и коллегу Сринивасу Рамануджана, то могли получить одно из решений нашей задачи «бесплатно» (а если не знаете, то рекомендую прочитать книгу Харди «Апология математика»).

Позже были найдены и другие решения уравнения \(x^3+y^3+z^3=1\). Например, известна по меньше мере еще одна параметрическая серия решений: \(x=1-9t^3+648t^6+3888t^9\), \(y=-135t^4+3888t^{10}\), \(z=3t-81t^4-1296t^7-3888t^{10}\).

Перейдем к двойке. Опять же, перебор небольших целых чисел может дать такое разложение: \(2=7^3+(-6)^3+(-5)^3\). Оно (как и разложение, приведенное в условии), является представителем бесконечной серии равенств \(2=(1+6k^3)^3+(1-6k^3)^3+(-6k^2)^3\). Эта серия была открыта в 1908 году учителем математики Феодосийской мужской гимназии А. С. Веребрюсовым. Если перебор не ограничивать совсем маленькими числами, то можно найти другие решения, которые не попадают в эту серию. Например, \(2=1\,214\,928^3+3\,480\,205^3+(-3\,528\,875)^3\).

С тройкой ситуация даже проще, чем с двойкой: \(3=4^3+4^3+(-5)^3\). Правда, для нее не найдено параметрических разложений. И до недавнего времени кроме этого разложения и приведенного в условии тривиального не было известно вообще никаких других разложений. Но об этом мы поговорим ниже.

Также несложно найти и равенства \(6=2^3+(-1)^3+(-1)^3\), \(7=2^3+(-1)^3+0^3\), \(8=2^3+0^3+0^3\) и \(9=2^3+1^3+0^3\).

А что же с 4 и 5? Оказывается, эти два числа в требуемом виде представить невозможно! Чтобы доказать это, посмотрим на остатки, которые дают кубы целых чисел при делении на 9:

Далее эта не слишком разнообразная последовательность остатков будет продолжаться аналогично: 0, 1, 8 и т. д. Заметим, что с точки зрения вычислений по модулю 9 числа 8 и −1 равны (то есть \(-1\equiv8\mod9\)). Значит, мы можем заключить, что куб любого целого числа при делении на 9 может давать «в остатке» либо 0, либо ±1. Но ясно, что никакая комбинация трех таких «остатков» не даст в сумме 4 или 5 (или, что то же самое — −5 и −4). Значит, ни 4, ни 5 невозможно представить в виде суммы трех кубов. Заметим, что попутно мы доказали, что непредставимы вообще все числа, дающие при делении на 9 остатки 4 и 5.

Как вы могли заметить из решения, задача о трех кубах связана с довольно глубокими разделами математики (пусть эта связь и весьма «поверхностная»), а занимались ей в свое время разные сильные математики. Кстати, история у этой задача очень долгая — еще Платон в своем труде «Государство» упоминал равенство \(3^3+4^3+5^3=6^3\). То есть уже древние греки знали некоторые частные решения диофантовых уравнений из семейства, задаваемого следующим образом:

Здесь переменными считаются \(x\), \(y\) и \(z\), а \(N\) выступает в роли параметра. В нашей задаче рассматривались случаи \(N=0,\ \ldots,\ 9\), для которых были приведены отдельные решения. Полноценный анализ на сегодняшний день проведен лишь для \(N=0\) (и мы показали, что в этом случае возможны только «тривиальные» решения вида \((a,\ -a,\ 0)\)), — и для \(N\), дающих при делении на 9 остатки 4 или 5 (мы доказали, что такие числа не раскладываются в сумму трех кубов). В остальном известно не так уж много: есть несколько бесконечных параметрических серий решений для некоторых \(N\) (вроде тех, что приведены в решении задачи), а также отдельные «несерийные» решения для \(N\) в пределах нескольких тысяч.

Некоторые проблемы, как говорилось выше, начинаются уже с \(N=3\). В статье 1953 года английский математик Луис Морделл (один из ведущих специалистов XX века по алгебре и теории чисел, автор знаменитой гипотезы о структуре множества рациональных точек на алгебраической кривой) писал, что ему ничего не известно о целочисленных решениях уравнения \(x^3+y^3+z^3=3\), кроме тех двух троек, которые были приведены в условии и решении. По-видимому, это замечание «на полях» (сама статья посвящена исследованию другого диофантова уравнения) подстегнуло интерес к задаче о трех кубах в математическом сообществе.

С середины 1950-х годов пошли попытки найти хотя бы частные решения для разных \(N\) при помощи компьютера. Так, в 1955 году были «просчитаны» все \(N\) в пределах первой сотни (естественно, кроме \(N\), дающих остаток 4 или 5 при делении на 9, для которых и считать ничего не надо). Из-за ограниченности вычислительной мощности тогдашних компьютеров в этом поиске значения переменных \(x\), \(y\) и \(z\) по модулю были ограничены числом 3164, и авторам удалось найти представления для 69 разных \(N\le100\). В 1963 году ограничение на переменные было увеличено уже до \(65\,536\), а на \(N\) — до 1000: осталось всего лишь 70 чисел из этого диапазона, для которых уравнение не удалось решить (речь про частные решения, конечно же). Со временем вычислительная мощность компьютеров росла, а алгоритмы, применяемые для поиска решений этого уравнения, становились все более изощренными. В итоге «бреши» — значения \(N\), для которых компьютерный поиск не давал результатов, — в диапазоне \(1\le N\le1000\) постепенно заполнялись. К 2010-м в пределах первой сотни осталось всего три «нерешенных» \(N\): 33, 42 и 74, причем диапазон проверяемых значений переменных дошел до \(10^{14}\). В пределах первой тысячи осталось всего 14 «нерешенных» \(N\).

Неожиданный поворот в истории этой задачи случился в 2015 году. 6 ноября на популярном YouTube-канале Numberphile вышел ролик, в котором математик Тим Браунинг рассказал об этой задаче. И чуть больше чем через полгода — 26 апреля 2016 года — в архиве электронных препринтов появилась статья, в которой было приведено решение для \(N=74\). Ее автор, физик Сандер Хьюсман (Sander G. Huisman), честно признался, что заняться этой задачей его вдохновил именно этот ролик. На поиск решения ушло около 10⁵ часов работы компьютеров из вычислительного кластера Высшей нормальной школы Лиона. Выглядит оно так:

В правой части два из трех чисел имеют порядок сотен триллионов (то есть 10¹⁴)!

Из работы Хьюсмана также следовало, что для \(N=33\) и \(N=42\) хотя бы одна из переменных \(x\), \(y\) и \(z\) в решении (если оно, конечно, существует) должна принимать значение (по модулю) больше чем 10¹⁵.

Ролик об этой находке вышел на Numberphile буквально через месяц после появления статьи. И, он, конечно, вдохновил еще кого-то на поиски. Успеха добился британский математик Эндрю Букер (Andrew Booker). Правда, ролик он посмотрел только в 2019 году. Сначала Букер нашел решение для \(N=33\):

А через несколько месяцев — и для \(N=42\):

В статьях Букера (первая, вторая) довольно подробно описан ход его рассуждений и способы, которыми он оптимизировал вычисления, чтобы ускорить перебор. Желающим узнать, как утроена математика на стыке теории чисел и программирования, рекомендую заглянуть внутрь.

Тем самым все \(N\) в пределах первой сотни были «побеждены». Попутно в указанных статьях были найдены решения и для некоторых больших \(N\). А во второй статье Букера описано и новое решение для тройки:

До возведения в куб два из участвующих в разложении чисел имеют порядок сотен квинтиллионов (10²⁰)! Неудивительно, что Морделл не знал этого решения.

Чтобы провести перебор для таких больших значений переменных Букер воспользовался помощью проекта распределенных вычислений Charity Engine. Суть его в том, что владельцы обычных компьютеров могут установить себе специальную программу, которая будет тратить часть простаивающей мощности процессора на подсчеты для какой-нибудь такой задачи. Так что все эти колоссальные решения были найдены на обычных компьютерах. Рекомендую посмотреть и ролики с участием Эндрю Букера, найти их можно в плейлисте канала Numberphile, посвященном задаче о трех кубах.

Графическое представление решений задачи о трех кубах для \(0\le N\le 99\). По вертикальной оси отложены значения \(N\), по горизонтальной — соответствующие значения переменных \(x\), \(y\) и \(z\) (синяя, черная и красная точки на одной горизонтали; для каждого \(N\) показано лишь «наименьшее» решение). Обратите внимание, что горизонтальная ось логарифмическая. Зелеными полосами отмечены \(N\), для которых решений нет. Рисунок с сайта ru.wikipedia.org

В 1992 году Роджер Хит-Браун (Roger Heath-Brown) высказал гипотезу, что любое целое число представляется в виде суммы трех кубов бесконечным числом способов. Как и со многими теоретико-числовыми гипотезами, касающимися вопросов представимости чисел в каком-то требуемом виде (или, более общо, каких-то нетривиальных свойств разных чисел), здесь не так уж много шансов на то, чтобы доказать или опровергнуть ее. Вся описанная в этой статье история показывает, что наиболее перспективный подход к задаче о трех кубах — вычислительный. Но он не может помочь ни доказать гипотезу, ни опровергнуть ее: ведь если пока для какого-то числа не найдено разложение в сумму трех кубов, то это не значит, что оно не найдется среди больших чисел (кстати, наименьшее нерешенное на данный момент \(N\) равно 114). Впрочем, нельзя исключать и того, что с диофантовым уравнением \(x^3+y^3+z^3=N\) тоже связана какая-то глубокая наука (как было с Великой теоремой Ферма) и рано или поздно математики до нее докопаются.