Как приручить ветер?

Скорость \(\mathbf{V}\) — это скорость ветра в системе отсчета движущегося корабля. Иными словами, \(\mathbf{W} = \mathbf{V} + \mathbf{U}\).

Так как при движении буера по поверхности льда отсутствует сопротивление поверхности, результирующая сила ветра (как и сила со стороны льда) всегда перпендикулярна направлению движения.

Первая часть задачи — чисто физическая. На парусник действуют две основные силы: давление ветра и сопротивление воды. Силу ветра можно оценить так:

где \(A\) — площадь паруса, а \(V\) — скорость ветра относительно корабля (\(C_1\) — некий безразмерный коэффициент порядка 1, который зависит от аэродинамических свойств паруса и турбулентной природы ветра). Относительная скорость \(V\) — это по сути скорость ветра в системе отсчета корабля: \(V= W-U\).

Силу сопротивления воды можно оценить по уже знакомой по нескольким задачам формуле для турбулентного трения:

где \(A_0\) — это площадь поперечного сечения корпуса парусника (той ее части, что погружена в воду), а \(U\) — скорость корабля относительно воды (по сути, это просто скорость корабля). Здесь \(C_2\), опять же, — некий безразмерный коэффициент порядка 1, который зависит от турбулентности воды и прочих факторов.

Для оценки \(A_0\) вспомним закон Архимеда — масса вытесненной воды равна полной массе корабля. Массу корабля мы знаем из условия. Массу смещенной воды можно оценить как плотность воды, помноженную на объем погруженной части корабля. Этот объем можно оценить как \(A_0 L /2\), где множитель 1/2 возникает из-за учета формы корпуса корабля (площадь поперечного сечения не постоянна вдоль корабля). Таким образом получаем

В равновесии корабль будет двигаться с некоторой постоянной скоростью, а сумма действующих на него сил будет равна нулю. Значит, можно записать условие равновесия в следующем виде:

Упростив это выражение, найдем единственное физически осмысленное решение:

где \(S_0^2 = \frac{C_1}{C_2}\frac{\rho_{\mathrm воздух} A L}{2m}\). Для нашего модельного парусника это дает \(U\sim 0{,}3 W\).

Отношение \(S_0 = U/V\) называется относительной подветренной скоростью. Очевидно, что в предельном случае, когда корабль движется со скоростью ветра, \(U=W\), \(V=0\) и \(S_0\to \infty\). Таким образом, значение отношения \(U/W\) заключено между 0 и 1; то есть парусник не может двигаться быстрее скорости ветра.

Рассмотрим теперь движение буера с парусом, направленным под некоторым углом к ветру. Силы, действующие на буер показаны на рис. 3 (есть и интерактивная версия этого рисунка, в которой концы вектора \(\mathbf{U}\) можно двигать). Угол между кажущимся направлением ветра \(\mathbf{V}\) и (обратным) направлением движения \(\mathbf{U}\) обозначим \(\alpha\), а угол между направлением движения и реальным ветром — \(\beta\). Значение \(\beta=0\) соответствует движению строго по ветру, а \(\beta = 180^\circ\) — движению строго против ветра.

Рис. 3.

Сила со стороны ветра имеет две компоненты: сила сопротивления вдоль кажущегося направления ветра — \(\mathbf{D}_{\mathrm ветер}\) и «подъемная» сила, направленная перпендикулярно — \(\mathbf{L}_{\mathrm ветер}\). Именно наличие этой подъемной силы позволяет двигаться против ветра!

Суммарная сила, действующая со стороны ветра, \(\mathbf{F}_{\mathrm ветер}\), в равновесии должна быть скомпенсирована силой сопротивления поверхности \(\mathbf{F}_{\mathrm лед}\). Здесь можно вспомнить, что сила сопротивления льда вдоль скольжения минимальна, и поэтому обе силы всегда будут направлены перпендикулярно скорости \(\mathbf{U}\). Легко показать из геометрических соображений, что угол между векторами \(\mathbf{L}_{\mathrm ветер}\) и \(\mathbf{F}_{\mathrm ветер}\) равен \(\alpha\). Также из условия мы знаем отношение силы сопротивления к «подъемной» силе: \(L_{\mathrm ветер} / D_{\mathrm ветер}\equiv L/D\). Таким образом, \(\text{tg}\,{\alpha}=D/L\).

Нам, однако, интересно найти решение не в терминах угла \(\alpha\) и скорости \(\mathbf{V}\) (так как они измеряются в движущейся системе отсчета буера), а в терминах угла \(\beta\) и скорости \(\mathbf{W}\). Из теоремы синусов для треугольника, составленного тремя скоростями \(\mathbf{V}\), \(\mathbf{U}\) и \(\mathbf{W}\), найдем

Это выражение можно дальше упростить и привести к виду \(U = W\left(\cos{\beta}+\left(L/D\right)\sin{\beta}\right)\), где мы воспользовались тем, что \(1/\text{tg}\,{\alpha} = L/D\). Что примечательно, множитель справа может быть больше единицы!

Исследуем поведение полученного выражения для \(U/W\), нарисовав график в полярных координатах. Пусть ветер в системе покоя дует с «севера» (как показано на рис. 4) и, соответственно, угол \(\beta\) мы будем отсчитывать от направления на «юг» против часовой стрелки: \(\beta = 0\) означает движение строго на «юг», \(\beta = \pi/2\) — движение на восток и т. д.

Рис. 4.

Для каждого значения \(\beta\) можно отложить вектор длиной \(U/W\) в соответствующем направлении. Тогда получится кривая, показанная на графике синим цветом: две пересекающиеся окружности (точки пересечения — (0, 0) и (0, −1)), симметричные относительно оси \(y\) и сдвинутые в направлении ветра. Размер этих окружностей определяется отношением \(L/D\).

Легко найти радиус каждой из этих окружностей: он равен \(\sqrt{1+(L/D)^2}/2\).

Длина вектора, соединяющего начало координат с некоторой точкой на синей кривой (к примеру, красный пунктирный вектор), показывает скорость парусника под данным углом к ветру. Концентрические серые окружности соответствуют значениям \(U/W=1,\ 2,\ \ldots\). Доступна и интерактивная версия этого графика, в которой можно менять значение \(L/D\). Рассмотренное модельное движение буера позволяет дать верхнюю оценку скорости для судна в воде, ведь буер ведет себя как идеальный парусник без сопротивления воды.

Из графика сразу можно сделать несколько выводов. Во-первых, как мы уже убедились ранее, скорость движения по ветру (случай \(\beta=0\)) не может превышать скорость самого ветра! Это видно из того, что нижняя точка синей кривой всегда находится на окружности \(U/W = 1\) вне зависимости от значения \(L/D\).

Во-вторых, максимальная скорость равна диаметру одной окружности: \(U_{\mathrm max} = W\sqrt{1+(L/D)^2}\) и достигается при \(\beta_{\mathrm max} = \text{arctg}\,{(L/D)}\). Для нашего случая \(L/D=\sqrt{3}\) максимальная скорость достигается под углом \(\beta_{\mathrm max}= 60^\circ\) от направления ветра, и скорость парусника при этом \(U_{\mathrm max} = 2 W\) в два раза больше скорости ветра.

Заметим, что существует область углов \(\phi\) (обозначена серым сектором на графике), движение вдоль которых «запрещено». Иными словами, плыть под слишком острым углом к ветру не получится, даже если пренебречь сопротивлением воды. Этот угол легко оценить: достаточно построить касательные к окружностям в точке (0, 0). Он равен \(\phi = 2 (\pi/2-\beta_{\mathrm max})\). Для случая \(L/D=\sqrt{3}\) получается \(\phi = 2\cdot 30^\circ\); то есть плыть против ветра под углом меньше \(30^\circ\) не получится.

Если ветер — северный, то наибольшую скорость можно развить, если плыть вдоль вектора \(\mathbf{U}\), соединяющего начало координат с верхней точкой окружности на графике. Общее выражение для угла и максимальной скорости против ветра довольно громоздкое, вывод для произвольного значения \(L/D\) предлагается сделать читателю в качестве дополнительного упражнения. Для \(L/D=\sqrt{3}\) эта максимальная скорость равна определяется равенством \(U/W =1\) (длина красного вектора, направленного на северо-восток). Угол \(\beta\), соответствующий этому движению, равен \(120^\circ\) или же, если отсчитывать от севера, то \(60^\circ\).