Ломаная в квадрате

Чтобы найти отношение площадей двух фигур, полезно знать значения этих площадей. Как же вычислить площади таких экзотических фигур? Обычно в таких случаях, когда приходится иметь дело с фигурами сложных форм, их разбивают на несколько меньших фигур, площади которых найти уже относительно просто.

Также в этой задаче может пригодиться так называемый палеточный метод вычисления площадей (применяемый обычно при работе с картами). Палетка — это прозрачная пластинка с нанесенной на нее мелкой сеткой из линий. Накладывая палетку на карту, можно приблизительно определить площадь нужной области — достаточно просто посчитать число квадратиков сетки, которые с ней пересекаются, и учесть масштаб.

а) Даже вычисление площади самого квадрата кажется неприступной задачей. Но заметим, что ломаная змейкой «вертится» вокруг диагонали \(АС\). Может, попробовать «распрямить» ее? Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник \(AEC\), гипотенуза которого равна диагонали \(АС\) квадрата \(ABCD\), а катеты параллельны звеньям ломаной (рис. 2). Тогда катеты легко найти: \(АЕ=1+3+5+7+9+11=36\), \(ЕС=2+4+6+8+10=30\), и по теореме Пифагора \(AC^2=36^2+30^2=2196\). Значит, гипотенуза \(AC=\sqrt{2196}\).

Рис. 2.

Зная диагональ квадрата, можно вычислить его сторону: она в \(\sqrt2\) раз меньше диагонали и равна \(\sqrt{2196}/\sqrt2=\sqrt{1098}\). Заметим, что \(\sqrt{1098}=\sqrt{9+1089}=\sqrt{3^2+33^2}\). Это означает, что сторона \(AB\) равна гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами 3 и 33 или утроенной гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами 1 и 11. А из этого следует, что вершины квадрата \(ABCD\) лежат в узлах квадратной сетки.

Как говорилось в подсказке, палеточный метод вычисления площадей заключается в том, что фигуру, площадь которой требуется найти, можно накрыть палеткой — прозрачной пленкой, которая расчерчена на единичные квадратики, — и посчитать число клеток, попавших в фигуру. Обычно с помощью палетки вычисляют приближенное значение площади. В нашем же случае вершины квадрата попали в узлы палетки, поэтому звенья ломаной 1-2-3-...-11 будут идти по линиям сетки, и мы вычислим точные значения площадей (рис. 3).

Рис. 3.

Естественно, не обязательно использовать реальную палетку — можно воспользоваться каким-либо графическим редактором. Для этого надо нарисовать квадрат с ломаной и отдельно квадратную сетку, после чего наложить сетку на наши фигуры и определить площади желтой и зеленой частей квадрата.

Удобнее всего найти площадь зеленой части, если разбить ее на два прямоугольных треугольника и пять прямоугольников (см. рис. 3): \(S_{\text зел} = 2\cdot\left(\frac12\cdot3\cdot33\right) +3\cdot2+5\cdot6+7\cdot12+9\cdot20+8\cdot30=639\).

Учитывая, что площадь квадрата равна 1098, находим площадь его желтой части: \(S_{\text жел}=1098-639=459\), поэтому отношение площадей равно 459/639. После сокращения получим 51/71.

б) Решение пункта а) обобщается и на задачу в общем виде для произвольного нечетного числа \(n=2k-1\).

Диагональ \(АС\) можно найти с помощью теоремы Пифагора как гипотенузу прямоугольного треугольника \(АСЕ\), в котором катет \(AE=1+3+5+\ldots+(2k-1)\), то есть равен сумме первых \(k\) нечетных чисел.

Рис. 4.

Напомню, что эта сумма легко вычисляется с помощью геометрической интерпретации (рис. 4). Очевидно, что в квадрате со стороной \(k\), разбитом на единичные квадратики, общее число квадратиков равно \(k^2\), но если их считать группами, образующими синие и белые уголки, то легко видеть, что эта сумма равна искомой \(1+3+5+\ldots+(2k-1)\).

Итак, \(AE=k^2\), а если число \(k\) выразить через \(n\), то получим \(AE=\left(\frac{n+1}{2}\right)^2\).

Катет \(CE\) равен сумме четных чисел от 2 до \(n-1\), то есть \(2+4+6+...+(n-1)\). Эту сумму можно найти, используя формулу суммы первых членов арифметической прогрессии, поэтому \(CE=\frac{n^2-1}{4}\) (рис. 5).

Значит, \(AC^2=AE^2+CE^2=\left(\frac{n+1}{2}\right)^4 + \left(\frac{n^2-1}{4}\right)^2\), после упрощения получим \(AC^2=\frac18(n+1)^2(n^2+1)\). Пользуясь тем, что площадь квадрата в два раза меньше квадрата его диагонали, находим, что она равна \(S_{\text кв}=\frac1{16}(n+1)^2(n^2+1)\).

Рис. 5.

Продолжая действовать по аналогии с пунктом а), найдем теперь площадь большей части (на рис. 3 она была затонирована зеленым цветом). Эта часть состоит из двух равных прямоугольных треугольников и нескольких прямоугольников. Катеты прямоугольных треугольников равны \(\frac{n(n+1)}{4}\) и \(\frac{n+1}{4}\), поэтому сумма площадей этих треугольников равна \(\frac{n(n+1)^2}{16}\).

Сумму площадей прямоугольников, образующих ступени найдем так:

Здесь основанием каждого прямоугольника является нечетное звено данной ломаной, а его высота равна сумме первых четных чисел. Пусть \(n=2k+1\), где \(k\) — номер прямоугольника, тогда площадь \(k\)-го прямоугольника равна \((2k+1)\cdot(2+4+6+...+2k)\). Учитывая, что сумма \(2+4+\ldots+2k=2(1+\ldots+k)=k(k+1)\), получим, что площадь \(k\)-го прямоугольника равна \(k(k+1)(2k+1)\) или \(2k^3+3k^2+k\). Поэтому площадь \(S_{\text ступ}\) ступенчатого многоугольника равна \(\sum\limits_{k=1}^{\frac{n-1}2}(2k^3+3k^2+k)\) или \(2\sum\limits_{k=1}^{\frac{n-1}2}k^3+3\sum\limits_{k=1}^{\frac{n-1}2}k^2+\sum\limits_{k=1}^{\frac{n-1}2}k\).

Способов суммирования степеней разработано много, см., например, задачу Суммы квадратов, суммы кубов.... Используя их, получим:

После упрощения получим \(S_{\text ступ}=\frac{1}{32}\cdot(n-1)(n+1)^2(n+3)\). Осталось из этой площади вычесть площадь \(\frac{n+1}{4}\cdot\frac{n^2-1}{4}\) (последний прямоугольник ступенчатой фигуры не полностью входит в зеленую часть квадрата) и добавить площадь \(\frac{n(n+1)^2}{16}\) двух прямоугольных треугольников. Проделав это, получим площадь зеленой части квадрата: \(S_{\text зел}=\frac1{32}\cdot(n+1)^2(n^2+2n-1)\).

Теперь вычисляем площадь желтой части квадрата:

Тогда искомое отношение площадей:

Дотошный читатель может заметить, что в предложенном решении есть скользкое место. Дело в том, что нечетные числа бывают двух видов в зависимости от остатка при делении на 4 — \(4m+1\) и \(4m+3\). Рассмотренное решение полностью подходит для всех нечетных чисел вида \(4m+3\), поскольку именно в этом случае все вершины квадрата попадают в узлы квадратной сетки. В случае, когда \(n=4m+1\), две вершины квадрата попадают в узлы сетки, а две другие попадают в центры единичных квадратов. Проанализировав эту ситуацию, нетрудно убедиться в том, что и в этом случае все формулы работают, и несмотря, что некоторые площади становятся дробными, на окончательное отношение это никак не влияет (это можно показать, если масштаб квадратной сетки взять в два раза меньше).

Рассмотрим последовательность дробей, равных отношению площадей, на которые ломаная делит соответствующий ей квадрат, при различных нечетных \(n\), начиная с \(n=1\). Обща формула нами получена, поэтому можно вычислить несколько первых ее членов:

Все эти дроби сократимы на 2, после сокращения получим такую последовательность:

Числитель каждой дроби, начиная со второй, на 2 больше знаменателя предыдущей дроби. Разности между знаменателем и числителем каждой из дробей образуют последовательность чисел, кратных 4. Эти рекуррентные соотношения показаны на схеме для первых восьми дробей последовательности (рис. 6).

Рис. 6.

Эти свойства нетрудно обосновать, используя формулу общего члена последовательности дробей.

Ломаная, хотя они и собрана из отрезков прямых, обладает некоторыми параболическими свойствами, а именно, все ее узлы лежат на параболе. В самом деле, если рассмотреть нашу ломаную выходящей из начала координат так, что ее звенья образуют с осями координат углы по 45°, то нетрудно показать, что она, словно отражаясь от параболы \(y=2\sqrt2x^2-x\) в своих узлах (отражение здесь происходит не по закону «угол падение равен углу отражения»), убегает в бесконечность, колеблясь вокруг оси \(Oy\) (рис. 7, слева).

Рис. 7.

При этом ось \(Oy\) отсекает пары равных прямоугольных равнобедренных треугольников (рис. 7, справа). Это легко доказывается прямым счетом углов и сторон. Из этого следует, что ось \(Oy\) делит пополам все звенья четной длины, а все звенья нечетной длины (кроме первого) ось \(Oy\) делит на две части, одна из которых ровно на 1 больше другой.

Почему в исходной задаче мы ограничились случаями, когда \(n\) — нечетное число? Дело в том, при четном \(n\) ломаная выходит за границы квадрата, и тогда задача теряет смысл. Пример такой ситуации показан на рис. 8: первое звено ломаной лежит вне соответствующего квадрата.

Рис. 8.