Пирамида с рамкой

Найдите суммы в рамках для небольших n. Постарайтесь уловить закономерности, обусловленные условием задачи, а на их основе — найти общий подход.

Также вам пригодятся формулы для суммы членов арифметической прогрессии, а также свойства последовательности треугольных чисел.

Как часто бывает в задачах, на подсчет суммы элементов какого-нибудь множества, размер которого «зависит от n», проще получить общую формулу, а потом подставить в нее нужный номер. Но для наглядности мы сначала разберем пример для какого-нибудь маленького n. Например, для n = 6 — эта ситуация изображена на рис. 1.

«Разорвем» квадратную рамку на две «скобки» и сравним числа, записанные в ней, и числа двух наклонных рядов, не обращая внимания на все остальные числа числовой пирамиды. Верние половины каждой «скобки» просто совпадают с соответствующими участками крайних наклонных рядов пирамиды (рис. 2). Посмотрим на первую строчку, в которой «скобки» сворачивают внутрь пирамиды. В левой «скобке» число 23 на 1 больше числа 22, которое стоит в левом крайнем ряду в той же строчке. В правой «скобке» число 27 на 1 меньше числа 28, которое стоит в правом крайнем ряду в той же строчке. Поэтому сумма этих двух чисел из «скобки» равна сумме двух чисел из крайних рядов в той же строке. Легко проследить, что аналогичное утверждение работает для любой другой строки, которая пересекается с рамкой.

Это значит, что сумма чисел в двух зеленых «скобках» равна сумме чисел, записанных в двух крайних наклонных рядах пирамиды. Поэтому сумма чисел во всей рамке равна сумме чисел в двух крайних наклонных рядах за вычетом 1 и 61, потому что они посчитаны дважды (рис. 3).

Тем самым, сумма \(S_6\) чисел в шестой рамке равна \((1+2+\ldots+46+56)+(1+3+\ldots+55+66)-1-61=455\).

Ясно, что все эти соображения работают для любого n. Осталось лишь понять, как посчитать суммы чисел в крайних наклонных рядах пирамиды.

Посмотрим на правый ряд, в котором стоят числа 1, 3, 6, 10, 15, ... Это — последовательность треугольных чисел (что сразу следует из правила построения нашей числовой пирамиды). Значит, можно воспользоваться известными формулами (которые при желании легко вывести по индукции) для k-го члена этой последовательности и для суммы первых k членов: \(a_k=\frac12k(k+1)\), \(\sigma_k=\frac16k(k+1)(k+2)\).

Теперь заметим, что в левом крайнем ряду пирамиды каждое из чисел 2, 4, 7, 11, 16, ... на 1 больше, чем крайнее правое число предыдущей строки этой пирамиды (являющееся треугольным числом). Поэтому формула для k-го члена этого ряда выглядит так: \(b_k=\frac12k(k+1)+1\), где k — номер строки, в которой стоит это число. Формула для суммы первых k чисел этого ряда по очевидным соображениям такова: \(\Sigma_k=\frac16(k-1)k(k+1)+k\).

Чтобы найти сумму чисел в n-й квадратной рамке, нужно в левом и правом наклонном ряду просуммировать по \(k=2n-1\) числу. Подставим это в наши формулы: \(\sigma_{2n-1}=\frac16(2n-1)2n(2n+1)\), \(\Sigma_{2n-1}=\frac16(2n-2)(2n-1)2n+(2n-1)\).

Остается вспомнить, что надо вычесть единицу и число \(c_{2n-1}\) — среднее в нижней строке рамки. Оно равно среднему арифметическому первого и последнего числа этой строки: \(c_{2n-1}=\frac12(a_{2n-1}+b_{2n-1})\). После подстановки получаем, что \(c_{2n-1}=2n^2-2n+1\).

Итак, окончательно получим, что сумма всех чисел в n-й квадратной рамке равна:

\[S_n=\sigma_{2n-1}+\Sigma_{2n-1}-(1+c_{2n-1});\]

После подстановки, раскрытия скобок и упрощения получится окончательная формула:

\[S_n=\frac13(8n^3-12n^2+13n-9).\]

Подставив в нее \(n=123\), получим 4902326.

Натуральный ряд, числа которого записаны в форме пирамиды, — хороший «полигон» для того, чтобы потренироваться в выявлении закономерностей при поиске различных сумм, которые возникают из геометрических конструкций внутри пирамиды. При этом иногда проявляются необычные связи с другими «арифметико-геометрическими» задачами. Перечислим несколько примеров таких конструкций и приведем формулы для сумм чисел в них. Каждый из примеров можно рассматривать как отдельное упражнение — попробуйте самостоятельно вывести эти суммы.

Можно, как это проделал Кларк Кимберлинг (профессор математики университета Эвансвилла), рассмотреть последовательность вписанных в пирамиду квадратов, у которых одна вершина совпадает с вершиной пирамиды, а две стороны лежат на боковых сторонах пирамиды (эти квадраты — «заполненные» рамки, которые рассматривались выше). На рис. 4 изображен такой квадрат со стороной из шести чисел. Суммы чисел в таких квадрат дают последовательность: 1, 11, 51, 156, 375, 771, 1421, ... Формула для суммы чисел в квадрате размера n такая: \(K_n=\frac1{12}(7n^4+5n^2).\)

Естественное продолжение этого пути — посчитать суммы чисел в уголках, которые на рис. 5 закрашены чередующимися оттенками зеленого. Начало последовательности этих сумм выглядит так: 1, 10, 40, 105, 219, 396, ... Формулу общего члена этой последовательности можно вычислить, если заметить, что каждый уголок получается из квадрата Кимберлинга удалением предыдущего квадрата:

\[V_n=K_n-K_{n-1}=\frac16(2n-1)(7n^2-7n+6).\]

Следующий возможный шаг позволяет получить «елочку» (рис. 6). Для этого каждый уголок нужно симметрично отразить относительно горизонтальной прямой, проходящей через вершину угла 270°.

Естественно, суммы чисел в перевернутых уголках теперь другие и образуют новую последовательность: 6, 48,165, 395, 778, .... Мне удалось установить, что сумма чисел в n-м по счету перевернутом уголке вычисляется по формуле \(\Lambda_n=\frac16(38n^3-3n^2-5n+6\). Если найти сумму n первых членов этой последовательности, то получим сумму чисел внутри «елочки»: \(S_{\text{елочка}}=\frac1{12}n(19n^3+36n^2+11n+6).\)

Используя результаты, полученные при решении основной задачи, можно найти значение суммы в каждой строке этого числового треугольника: 1, 5, 15, 34, 65, 111, ... (рис. 7).

В самом деле, зная первое число n-й строки, (оно равно \(b_n=\frac12n(n-1)+1\)), можно просуммировать n-ю строку как арифметическую прогрессию:

\[\begin{gather}s_n=b_n+(b_n+1)+(b_n+2)+\ldots+(b_n+n-1)=\\=n\cdot b_n+(1+2+\ldots+n-1)=\\=n\left(\frac12n(n-1)+1\right)+\frac12n(n-1)=\frac12n(n^2+1).\end{gather}\]

А теперь посмотрим на последовательность магических констант (так называют числа, которым равны суммы чисел по строкам, столбцам и главным диагоналям в магических квадратах): 15, 34, 65, 111, ... Удивительное совпадение! «Алгебраическое» объяснение здесь простое: формула для магических констант такая же, как полученная нами формула для суммы чисел в строке пирамиды. Убедиться в этом совсем легко. Магический квадрат размера \(n\times n\) заполнен натуральными числами от 1 до \(n^2\), сумма которых равна \(\frac12n^2(n^2+1)\). Магическая константа этого квадрата в n раз меньше, а значит, она равна \(\frac12n(n^2+1)\). Такая вот неожиданная встреча. Интересно, можно ли доказать этот факт, пользуясь «геометрическими» соображениями?

Можно рассмотреть и квадратные рамки другой ориентации — с вертикальными и горизонтальными сторонами (рис. 9). Суммы чисел, расположенных в таких рамках, образуют последовательность: 22, 116, 338, 744, 1390, 2332, ..., а формула общего члена выглядит так: \(S_{\text{горизонтальная рамка}}=\frac23n(14n^2+12n+7)\).

Получится ли у читателей найти в числовой пирамиде еще какие-нибудь другие известные последовательности, возникающие совсем в других ситуациях? На всякий случай напомню, что проверять последовательности можно в Онлайн-энциклопедии целочисленных последовательностей Нила Слоуна (oeis.org).