План побега

На какое наибольшее расстояние от центра пруда может отплыть Заяц, постоянно оставаясь при этом на максимально возможном расстоянии от Волка? Что ему делать после этого?

Пусть, для определенности, радиус пруда равен 1, а Заяц плавает со скоростью v. Тогда Волк бегает со скоростью 4v.

Заметим сразу, что самая простая тактика Зайца — плыть прямо в противоположном направлении от изначального положения Волка — не сработает: до берега он доберется за время 1/v, а Волк, которому надо преодолеть расстояние π по берегу, добежит туда за время π/4v, то есть быстрее (ведь π < 4).

Тем не менее, Заяц может спастись. Ясно, что лучшая для него ситуация — когда он и Волк находятся на одном диаметре по разные стороны от центра пруда. Будем называть такое положение выгодным для Зайца. Поначалу ему легко ее добиваться: пока он рядом с центром пруда, ему достаточно небольшого маневра, чтобы компенсировать перемещения Волка по берегу. Более точно, если Заяц уже отплыл на расстояние x от центра (и находится в выгодном положении), а Волк перебегает по берегу, то Зайцу достаточно плыть в противоположную сторону со скоростью \(v_x=4vx\) (рис. 1, слева). Таким образом он будет оставаться в выгодном положении до тех пор, пока выполняется условие \(4vx<v\), поскольку быстрее своей максимальной скорости он плыть не может. При этом у него еще и будет оставаться небольшой «запас» по скорости, чтобы уплывать от центра пруда (рис. 1, справа): выражение \(v_y=\sqrt{v^2-v_x^2}\) при этом условии имеет смысл и принимает положительные значения.

Рис. 1.

Все это означает, что Заяц может удалиться на расстояние 1/4 от центра пруда, оставаясь в выгодном для себя положении. После этого ему надо на полной скорости поплыть прямо к берегу: оставшееся расстояние 3/4 он проплывет быстрее, чем Волк пробежит всё тот же полукруг длиной π: время 3/4v уже меньше, чем π/4v.

Эта несложная задача известна с 60-х годов прошлого века и давно стала классикой «кружковской» и «олимпиадной» математики. Приведенное выше решение верное, но в нем есть одна небольшая проблема, которую полезно обсудить, поскольку неожиданно она довольно быстро выведет нас в «серьезную» математику.

Можно заметить, что даже если Заяц не ленится и плывет максимально быстро, то удаление от центра пруда происходит со скоростью \(v_y=\sqrt{v^2-v_x^2}=v\sqrt{1-(4x)^2}\), и чем ближе становится \(x\) к 1/4, тем ближе эта скорость к 0. Доплывет ли Заяц до заветной окружности за конечное время?

Этот вопрос не такой отвлеченный, как может показаться. Рассмотрим сначала совсем простой пример подобной ситуации. Допустим, что один объект по прямой приближается к другому со скоростью, численно равной расстоянию между объектами. Объекты, разумеется, мы считаем точечными (как и Зайца с Волком в нашей задаче), но, чтобы не путаться, представим себе, что это лодка причаливает к пристани. Итак, на расстоянии d от пристани скорость лодки равна d. В частности, это означает, что рядом с пристанью скорость лодки будет совсем маленькой (и стремится к нулю по мере приближения), то есть она не ударится. Правда, самого причаливания за конечное время не произойдет.

Действительно, время, которое понадобится лодке, чтобы добраться от d = 1 до d = 1/2, будет больше, чем 1/2, поскольку скорость на этом участке пути меньше 1 (единицы измерения здесь не важны, но можно считать, что везде подразумеваются метры, секунды и метры в секунду). Время, которое понадобится лодке, чтобы добраться от d = 1/2 до d = 1/4 тоже будет больше, чем 1/2, поскольку на этом участке пути ее скорость меньше 1/2. Дальше все повторяется: чтобы сократить расстояние до пристани еще в два раза, лодке требуется не меньше 1/2 единиц времени. Легко видеть, что на расстоянии \(1/2^n\) от пристани лодка окажется через \(n/2\) единиц времени. Вот и получаем, что причаливание никогда не состоится: время растет неограниченно, а расстояние нулевым не становится.

Не случится ли того же самого у Зайца с Волком? Ситуация ведь довольно похожа: заплыв от центра пруда к заветной окружности радиуса 1/4 — это, по сути, то же самое причаливание к ней (как мы отметили выше, скорость Зайца по мере приближения к ней тоже стремится к нулю). Давайте посчитаем.

Итак, расстояние \(x\) меняется от 0 до 1/4, а скорость Зайца равна \(V(x)=v\sqrt{1-(4x)^2}\). Чтобы не возиться с лишними коэффициентами, сделаем замену: \(X=4x\). Тогда \(0\le X\le1\), а функция \(V(X)=v\sqrt{1-X^2}\) убывает при изменении X от 0 до 1, причем, \(V(0)=v\), \(V(1)=0\).

Снова используем идею с делением всего отрезка \([0;\ 1]\) на части. Правда в этом случае они будут чуть более неуклюжие, чем в примере с лодкой и пристанью: точками деления будут \(X_n=\frac{\sqrt{2^{2n}-1}}{2^{n}}\). Например, \(X_0=0\), \(X_1=\frac{\sqrt3}{2}\), \(X_2=\frac{\sqrt{15}}{4}\), \(X_3=\frac{\sqrt{63}}{8}\)... Эта последовательность чисел монотонно возрастает и стремится к 1 при \(n\to\infty\).

Длина первого участка (между точками \(X_0\) и \(X_1\)) меньше 1, а скорость на нем больше, чем \(V(X_1)=v/2\), поэтому Заяц проплывет его быстрее, чем за \(2/v\).

Длина n-го участка между точками \(X_{n-1}\) и \(X_n\) (при \(n\ge1\)) меньше \(1/4^{n-1}\):

А скорость на этом участке будет больше, чем \(V(X_n)=v/2^n\). Значит, на его преодоление Зайцу потребуется времени меньше, чем \(1/4^{n-1}\colon v/2^n=4/(v\cdot2^n)\).

Значит, время, которое Заяц потратит на достижение заветной окружности, равно

Это конечная величина, поэтому Заяц-таки вырвется на свободу.

На самом деле, всех этих вычислений можно избежать, если заметить, что поскольку \(\pi=3{,}1415\ldots>3\), Заяц может переключиться на прямолинейный заплыв к берегу чуть раньше и все равно спасется. А раз до заветной окружности радиуса 1/4 доплывать не обязательно, то он очевидно за конечное время достигнет места, из которого можно плыть прямо к берегу.

Эти простые модельные задачи иллюстрируют важный факт из теории автоматического управления: если причаливание описывается слишком хорошим законом движения, то оно будет длиться бесконечно долго. В математике часто считается, чем больше раз функция дифференцируема, тем она лучше. В этом случае все портится, если функция скорости от координаты дифференцируема в нуле (считаем, что координата нулевая на пристани).

Здесь уместно привести небольшой отрывок из книги В. И. Арнольда Что такое математика?:

Эта дискуссия о математической строгости оснований науки вспомнилась мне, когда мой близкий друг, занимавшийся рассчитыванием траекторий спутников и космических кораблей, М. Л. Лидов, стал спорить со мной по поводу моего курса теории дифференциальных уравнений (он читал в МГУ в это же время лекции о спутниковой баллистике, и мы нередко обсуждали с ним то и другое, особенно потому, что я тогда тоже много занимался небесной механикой),

«Как и все математики,— сказал мне Миша,— ты учишь студентов теореме единственности, согласно которой интегральные кривые обыкновенных дифференциальных уравнений не пересекаются. Но это утверждение (хотя вы его и доказываете безукоризненно правильно) совершенно неверно. Например, уравнение \(dx/dt =-x\) имеет решения \(x = 0\) и \(x = e^{-t}\). Интегральные кривые — графики этих двух решений — любой компьютер прекрасно нарисует, и ты увидишь, что они совершенно явно пересекаются.

Ибо, например, при \(t = 10\) между этими двумя интегральными кривыми не просунешь и атома. Так что теорема единственности — это математическая фикция, имеющая мало отношения к реальному миру».

После этого собеседник объяснил мне, что именно из-за описанного эффекта при каждом причаливании корабля к пристани в последний момент матрос бросает на пристань чалку, которую там быстро наматывают на кнехт (часто это делает, спрыгнув на пристань, тот же матрос), после чего заключительная часть причаливания происходит вручную, путем вытягивания чалки.

Объясняется все это так. Автоматическое причаливание, в соответствии с общими принципами теории управления, основано на обратной связи: наблюдая оставшееся до причала расстояние \(x\), управление выбирают так, чтобы скорость причаливания плавно уменьшать до нуля (как функцию от \(x\)). Естественно, эта функция — гладкая, т. е. при малых расстояниях \(x\) скорость будет убывать с \(x\) приблизительно линейно.

По обсуждавшейся выше теореме единственности, время причаливания будет бесконечным при любом таком механизме гладкой обратной связи. Чтобы причалить за конечное время, нужно либо отказаться от принципа регулирования (с гладкой обратной связью), заменив управление скоростью корабля работой матроса с чалкой, либо согласиться на удар корабля о причал в заключительной стадии причаливания (для чего и обвешивают край пристани отслужившими автомобильными покрышками).