Эффективность ветряных турбин

Воспользуйтесь тем, что количество воздуха, пролетающего сквозь фиксированное сечение, постоянно вдоль всего цилиндра. Также может пригодиться уравнение Бернулли.

Вспомните, что сила — это, по сути, изменение импульса. А мощность — это сила, помноженная на скорость.

Может пригодиться следующий математический факт: у функции \(f(x) = x(1-x)^2\) экстремумы достигаются при \(x=1/3\) и \(x=1\).

Сначала запишем уравнение сохранения потока вещества: сколько воздуха в такую абстрактную трубку втекает с одного конца, столько и должно вытекать из другого. Если взять малый участок цилиндра площадью \(A\) и длиной \(\Delta l\), то масса вещества в таком объеме составит \(\Delta m=\rho A \Delta l\). Допустим, вещество движется со скоростью \(v\), тогда расстояние \(\Delta l\) такой отрезок воздуха проходит за время \(\Delta t = \Delta l / v\), и \(\Delta m = \rho A v \Delta t\) (рис. 3). За единицу времени через такую плоскость протекает \(Q = \Delta m / \Delta t = \rho v A\) вещества, и эта величина должна быть постоянна, вне зависимости от того, какое сечение вдоль цилиндра мы выберем. Постоянство величины \(Q\) также называется уравнением непрерывности.

Рис. 3.

Таким образом можно для трех разных областей, показанных на рис. 2, написать уравнение непрерывности (плотность считается постоянной):

Отсюда уже можно видеть, что если скорость ветра после прохождения сквозь лопасти ветряной турбины падает, то есть \(v_2 < v_1\), то неизбежно площадь потока должна пропорционально вырасти: \(A_2 > A_1\).

Запишем далее уравнение Бернулли, которое, по сути, является законом сохранения энергии для жидкости или газа. Эти уравнения следует писать для всех областей попарно (слева и справа от лопастей, где энергии сохраняются отдельно, так как часть энергии в процессе передается самим лопастям):

и

Вычтя одно уравнение из другого, найдем, что разность давлений у лопастей турбины равна:

Помножив эту разность на площадь \(A_0\), получим силу, с которой ветер действует на лопасти. Сила — это, по определению, изменение импульса \(\rho A \Delta l v\), за единицу времени \(\Delta t\), поэтому:

Откуда легко найдем, что \(v_0 = (v_1+v_2)/2\).

Сила, помноженная на скорость ветра \(v_0\) даст мощность (количество энергии передаваемое турбине за единицу времени):

Тот же результат можно получить и по-другому. Количество энергии, которое протекает сквозь площадь поперечного разреза, по аналогии с количеством вещества можно записать так:
\[\Phi = \dfrac{1}{2}\rho v^2 \dfrac{A \Delta l}{\Delta t} = \dfrac{1}{2} \rho A v^3.\] Эта формула нам понадобится в послесловии. Отняв потоки энергии до и после турбины, \(\Phi_1- \Phi_2\), получим ту же самую мощность, \(W\), найденную выше:
\[W = \dfrac{1}{2}\rho \left(A_1 v_1^3- A_2 v_2^3\right).\] Чтобы прийти к окончательному виду для мощности, нужно просто вспомнить, что \(A_1 v_1 = A_2 v_2 = A_0 v_0\) из уравнения непрерывности.

Подставив значение для \(v_0\), запишем мощность в таком виде:

Записав без потери общности изменение скорости в виде \(v_0 = (v_1 + v_2)/2 = v_1 (1- x)\) (это делается для удобства), получим, наконец, такое выражение:

Для нахождения КПД нужно эту эффективную мощность, которая передается турбине, разделить на начальную мощность ветра, приходящуюся на площадь ветряка:

Осталось найти максимум этого выражения. Это легко сделать, взяв производную. Или же можно посмотреть в третью подсказку и проверить, что максимальное значение достигается при \(x=1/3\), то есть когда скорость после турбины падает втрое: \(v_2 = (1- 2x) v_1 = v_1/3\). Максимально возможное значение КПД, таким образом, равно

Итак, у ветряных генераторов есть теоретический максимум возможного коэффициента полезного действия — этот факт называют законом Беца. Иными словами, даже если не брать в расчет все неидеальные эффекты типа трения, потери энергии на нагрев и т. д., лишь около 59% энергии ветра возможно теоретически превратить в «полезную» энергию. При этом нужно учитывать, конечно, что для практических целей это, скорее, оценка сверху, так как турбулентность воздуха, трение и нагрев турбины и генератора значительно уменьшат реальный КПД.

Почему же нельзя извлечь всю энергию ветра? На самом деле, этот процесс очень похож на цикл Карно, знакомый со школьного курса термодинамики: если есть два резервуара с температурами \(T_1 < T_2\), то максимально возможный КПД машины, которая будет работать на разности этих двух температур, равен \(\eta = 1- T_1/T_2\).

Дело в том, что извлечение энергии, поступающей от более горячего тела к более холодному, возможно только до тех пор, пока существует разность температур. Точно так же, в случае с ветряком, извлекать энергию из ветра можно лишь до тех пор, пока есть поток воздуха сквозь лопасти. Поэтому, если конвертировать всю энергию ветра, то есть «добиться» того, что \(v_2 = 0\), то поток сквозь турбины прекратится, и КПД формально станет нулевым. Другое «крайнее» положение этой системы — случай \(v_1 = v_2\), в котором, очевидно, никакая энергия по пути не конвертируется в полезную, и поэтому КПД тоже нулевой. Это означает, что существует некое промежуточное состояние системы, в котором \(0 < v_2 < v_1\), а КПД достигает максимального значения. Его мы и нашли, получив соотношение \(v_2 = v_1/3\).

Давайте теперь взглянем на формулу для потока энергии за единицу времени (см. мелкий шрифт в решении):

Из этой формулы сразу видно, насколько принципиально важно правильно выбирать расположение ветряка, чтобы скорость ветра была достаточно большой. Турбина с поперечным сечением 80 кв. м (радиус лопастей ~5 м), работающая на ветре, дующем со скоростью 20 км/ч, будет вырабатывать столько же энергии, сколько турбина с сечением 650 кв. м (радиус лопастей ~15 м) на ветре, дующем со скоростью 10 км/ч. То есть при увеличении скорости ветра всего лишь в 2 раза выработка энергии увеличивается почти на порядок!

Из похожих соображений легко понять, почему чаще всего используются именно турбины с тремя лопастями. Во-первых, чем больше лопастей, тем дороже обслуживание ветряка, хотя выработка энергии практически такая же, так как площадь покрытия от изменения количества лопастей не меняется.

Рис. 4. Разрушение ветровой турбины при сильном ветре

Почему же тогда нельзя обойтись одной лопастью? Дело в том, что скорость вращения лопастей обратно пропорциональна их числу: чем больше лопастей, тем тяжелее турбина и тем меньше скорость, соответствующая той же самой кинетической энергии вращения. Слишком большая скорость вращения турбин может привести к отказу механических деталей и, как результат, к уничтожению ветряка. Поэтому выгоднее всего ставить ветряки именно с тремя лопастями.