Гравитационный поезд

В какой точке тоннеля поезд будет находиться в равновесии? Найдите силу, которая действует на поезд, когда он смещен на расстояние \(x\) от положения равновесия.

На объект, находящийся внутри шара, действует сила притяжения только той части шара, которая находится «внизу», то есть ближе к центру, чем сам объект. В предельных положениях происходит следующее: когда объект снаружи, то сила притяжения действует от всего шара, а когда объект находится в самом его центре, то сила притяжения равна нулю.

Рассмотрим момент, когда поезд находится на расстоянии \(x\) от середины тоннеля (рис. 4). Как было сказано в подсказке, в таком положении на поезд действует притяжение лишь со стороны внутренних (по отношению к поезду) слоев Земли (на рис. 4 эта притягивающая область указана синим пунктиром). Этот факт будет доказан в послесловии.

Рис. 4.

Пусть в данный момент радиус этой внутренней области равен \(r\). Предположив, что Земля — это шар с постоянной плотностью \(\rho\), найдем, что полная сила, действующая на поезд, равна:

Компонента силы, которая перпендикулярна оси тоннеля (то есть «вертикальная» по отношению к поезду), нас не интересует, так как она компенсируется давлением опоры и на движение никакого влияния не оказывает (ведь трение отсутствует). А вот параллельная оси тоннеля компонента этой силы отвечает за движение поезда. Нетрудно понять, что эта сила равна \(F_{||}=F x/r\), где \(x/r\) — это просто косинус угла между силой \(F\) и тоннелем.

Получаем:

Легко видеть, что эта сила выглядит абсолютно идентично закону Гука с некоторой эффективной жесткостью. Как следует из предисловия к задаче, поезд в таком случае будет совершать гармонические колебания в тоннеле, как это показано на рис. 5.

Рис. 5.

Оценим период таких колебаний. Как обсуждалось выше, для квазиупругой силы период колебаний равен \(T=2\pi\sqrt{m/k}\), где \(k\) — эффективная жесткость. В нашем случае получим (вспомнив, что плотность Земли \(\rho = M / (4\pi/3) R^3\)) такой результат:

В первую очередь надо обратить внимание на то, что период не зависит от \(h\). То есть, на какой бы глубине ни был тоннель, период колебаний поезда от этого не зависит. Во-вторых, эта формула для периода может вам что-то напомнить Оказывается, это выражение в точности равно периоду вращения спутников на низкой околоземной орбите (например, МКС), можете сами в этом убедиться в качестве упражнения. Численно этот период равен примерно 90 минутам.

Иными словами, если мы пророем множество тоннелей, то периоды всех поездов будут одинаковы и будут совпадать с периодом спутника на низкой околоземной орбите (рис. 6).

Рис. 6.

С технологической точки зрения проблем у гравитационного поезда очень много. Гравитация, конечно же, дает необходимую силу тяги и торможения, однако есть несколько факторов, которые делают реализацию такого проекта близкой к невозможной.

Из закона сохранения энергии

где \(d\) — максимальная глубина тоннеля, можно найти, что при глубине тоннеля всего лишь 3 км (длина такого тоннеля будет около 200 км) в самой глубокой точке поезд достигнет скорости звука. При таких скоростях сопротивление воздуха будет играть колоссальную роль, и поезду необходимо будет прикладывать дополнительные усилия за счет своих двигателей для ускорения (иначе он просто не выберется из тоннеля). Другим фактором является трение поезда о сами рельсы, которые также будут его тормозить.

Возможным решением является использование поездов на магнитных подушках, что будет фактически нивелировать трение, в вакуумном (или с очень низким давлением воздуха) тоннеле. Подобные технологии уже активно разрабатываются компаниями Tesla/Space X и Virgin, которые планируют в будущем построить такие сети железных дорог, правда не под землей, а на поверхности.

Теперь докажем утверждение из подсказки: на объект, находящийся внутри шара с равномерной плотностью, действует гравитация лишь от той части шара, которая находится ближе к центру, чем этот объект.

Для простоты рассмотрим гравитационную силу от отдельных сферических поверхностей, то есть разобьем внешнюю часть шара на множество концентрических сфер и рассмотрим их влияние по-отдельности. Одна такая сфера (точнее, ее сечение плоскостью, проходящей через центр) — это красная окружность на рис. 7. Возьмем две очень маленькие области, противоположные друг другу относительно нашего объекта. Массы этих двух областей обозначим через \(m_1\) и \(m_2\), а расстояния от них до нашего объекта — \(r_1\) и \(r_2\).

Рис. 7.

Очевидно, что при постоянной плотности (и небольшой толщине рассматриваемого сферического слоя), массы этих двух кусочков пропорциональны площадям их поверхностей, \(A_1\) и \(A_2\). Так как при очень маленьком размере этих поверхностей, два получающихся конуса подобны друг другу, то площади их оснований относятся как квадраты высот: \(A_1 / A_2 = r_1^2 / r_2^2\). Это означает, что массы этих двух кусочков пропорциональны квадратам расстояний от нашего объекта до них: \(m_1\propto r_1^2\) и \(m_2\propto r_2^2\).

Теперь вспомним, что гравитационная сила от каждого кусочка прямо пропорциональна его массе и обратно пропорциональна квадрату расстояния до него: \(F\propto m/r^2\), и получим, что силы от двух противолежащих кусочков равны по величине, а направлены в противоположные стороны. Значит, они нивелируют друг друга. «Покрыв» поверхность этой сферы такими противолежащими кусочками, можно убедиться, что общая гравитационная сила от всей сферы, действующая на наш объект, в точности равна нулю.

То же самое верно и для любой сферы, находящейся «снаружи» от нашего объекта. Получается, что на наш объект действует только «внутренняя» область шара, как это было показано на рис. 5.

В более общем виде это утверждение называется теоремой Гаусса, которая обобщает подобное рассуждение на произвольное распределение масс в пространстве (см. Shell theorem и Gauss's law for gravity).