Переплетено

Вспомните удобный способ сложения многозначных чисел, которому вы научились в начальной школе, — это может помочь вам в решении задания 3.

Задание 1. На обоих рисунках изображены операции сложения: число на первой слева нити является суммой чисел, записанных на всех остальных нитях. Система записи чисел позиционна (значение каждого знака в записи числа зависит от его позиции — разряда). Направление записи числа на нити — сверху вниз, то есть более высокие разряды при необходимости добавляются сверху. Разряд десятков и более высокие разряды представлены группами простых узлов, на схеме обозначенных как «x». То есть, например, 40 (4 десятка) в соответствующей позиции (вторая снизу) будет обозначено четырьмя простыми узлами, 500 (5 сотен) в соответствующей позиции (третья снизу) — пятью.

Единицы, которые всегда находятся в нижней позиции (за исключением тех случаев, когда на одной нити подряд записаны два числа), представлены другим типом узлов — это «длинные узлы», которые в действительности представляют собой один узел с количеством оборотов, соответствующим количеству единиц (2–9 оборотов). Если единица одна, то она обозначается узлом в виде восьмерки (S-узлом), так как физически не может быть представлена длинным узлом. Ноль в соответствующем разряде обозначается отсутствием узлов в этой позиции.

Рис. 4. Ответ на задание 1

Задание 2. Поскольку единицы записываются иначе, чем десятки, сотни и тысячи, можно однозначно определить, где заканчивается число, следовательно, на одной нити могут быть записаны несколько чисел — разделителем между ними всегда будет служить разряд единиц.

Рис. 5. Ответ на задание 2

Задание 3. Сложение чисел при помощи кипу значительно облегчает счет и удобно для работы с большим количеством больших чисел. Оно очень похоже на сложение в столбик — только складываемые числа расположены не в столбик, а в строчку. Счет начинается с разряда единиц. Единицы суммируются, и если полученное в результате сложения число однозначно, то оно целиком заносится на нить суммы (самую левую) в разряд единиц. Если полученное число двузначно, то десятки «выносятся в следующий разряд», то есть тоже завязываются на нити суммы, но уже на позицию выше. При суммировании десятков к ним добавляются новые узелки, и если число десятков двузначно, то соответствующее количество узелков выносится в разряд сотен и т. д.

Рис. 6. Ответ на задание 3

Рис. 7. Секе, исходящие из центра Куско. Верхнее изображение с сайта scielo.conicyt.cl, нижнее — с сайта sites.google.com (из книги Brian S. Bauer, 2004. Ancient Cuzco: Heartland of the Inca)

В империи инков письмо кипу использовалось для многих целей: для передачи сообщений по имперским дорогам, судопроизводства, демографического учета, фиксации законов и налогов, календарных вычислений и ориентирования на местности. Значение имело не только расположение и количество узлов на нитях, но также цвет нитей и «ключи», вплетавшиеся в кипу: например, желтый цвет нити показывал, что речь идет о золоте (чаще всего — военной добыче), а при наличии маленького кукурузного початка, вплетенного в кипу, символизировал кукурузу — и в этом случае подсчитывали уже не трофеи, а урожай. Наиболее интересны кипу топографическое и кипу календарное.

Топографическое кипу было своеобразным отображением космогонической системы, в менее философских категориях — схематической картой местности. Дело в том, что из центра империи инков, города Куско, из храма Кориканча, исходило 328 воображаемых линий секе, ведших к 328 священным объектам (вакам) — например, Храму Луны или ритуальному центру Кенко. Эти линии также размечали ритуальный календарь инков, состоявший из 328 дней (остальные 37 дней астрономического года в календарь не входили, так как на это время со звездного неба исчезало созвездие Плеяды), что иллюстрирует тесную связь времени и пространства в миропонимании инков. Показательно, что в кечуа (государственном языке империи инков) время и пространство обозначались одним и тем же словом pacha, то есть буквально представляли собой «хронотоп» — в русском языке это слово используется лишь как литературоведческий термин. Таким образом, Куско был как бы центром кипу, секе — нитями, которые располагались вокруг него, как лучи вокруг солнца, а ваки — узлами (рис. 7).

Помимо ритуального календаря из 328 дней у инков был «обычный», из 365 дней (рис. 8). Календарное кипу носило название pachaquipu. Оно состояло из одной главной и тринадцати привязанных к ней свисающих нитей. Первые двенадцать нитей обозначали лунные месяцы (по 30 или 29 дней в каждом), тринадцатая — необходимые для дополнения календарного года десять дней. Каждый месяц обозначался ключевыми знаками, вышитыми на ткани (тиксисими) — на схеме они расположены прямо под главной нитью. Например, первый месяц yntiraymipacha («время праздника солнца») символизировал знак золотого трона, второй месяц pachacyahuarllamapacha («время ста красных лам») был обозначен изображением пятнадцати лам, десятый месяц paraypacha («время дождя») — изображением мужчины в шляпе с длинными косами, который у инков олицетворял дождь.

Рис. 8. Схема календарного кипу из манускрипта Бласа Валера (Blas Valera) 1618 года. Изображение с сайта commons.wikimedia.org

С тиксисими связан также поныне актуальный вопрос о том, могло ли кипу использоваться для передачи устной речи, то есть быть слоговым или идеографическим письмом (в идеографическом письме знаки обозначают не звуки и не слоги, а целые слова или морфемы). Стоит отметить, что на данный момент письменность инков не обнаружена, однако есть две системы, претендующие на ее роль: токапу (узоры на тканях и керамике, которые могли быть родом идеографической системы письма) и кипу. Так, в 1923 году историк Л. Леланд Локк в своей книге “The ancient quipu, or Peruvian knot record” взялся доказать, что кипу было письменностью, однако не сумел расшифровать ни одного узелкового послания.

Затем, в 1996 году, был обнаружен манускрипт «Historia et Rudimenta Linguae Piruanorum», предположительно написанный двумя иезуитскими миссионерами в начале XVII века, в котором объясняется, как именно кипу использовалось для передачи устной речи. Согласно рукописи, ключевым элементом системы были тиксисими, изображавшие общеизвестные понятия и концепты — настолько общеизвестные, что у любого смотрящего связь «изображение-слово» формировалась мгновенно. Они могли использоваться как в качестве фонограмм — знаков письма, обозначающих звуки или их комбинации, так и в качестве логограмм (также «идеограмм» или «иероглифов») — знаков письма, обозначающих целые понятия, то есть слова или корни слов. Если требовалось показать, что речь идет о фонограмме, то под прикрепленным к нити тиксисими завязывался один или несколько узлов — их количество зависело от того, на какой по счету слог нужно было указать: если на первый, то один узел, если на второй, то два и т. д. Комбинируя разные слоги общеизвестных понятий (что, видимо, было довольно трудоемко), можно было передать довольно большое количество слов. Если же требовалось указать на то, что данное тиксисими является логограммой, под ним не завязывали узлов, и в таком случае слово читалось полностью.

Однако всё это еще не делает кипу полноценной письменностью, ведь основной элемент здесь — идеограммы, а не узлы. В манускрипте также содержится информация о том, что сочетания идеограмм и узлов могли однозначным образом переводиться в числа, то есть любое слово могло быть записано в виде некоторого числа, а текст — в виде последовательности чисел. Однако многие ученые сомневаются в подлинности манускрипта, поскольку информация о завоевании Перу, содержащаяся в нем, довольно сильно расходится с современным взглядом на исторические события той эпохи.

Итак, наука пока не располагает убедительными доказательствами того, что кипу могло использоваться в качестве средства фиксации устной речи. Но можно ли представить себе, что огромная империя управлялась без письменности? Известно, что в делопроизводстве, помимо кипу, использовались деревянные доски, которые разрисовывали, по-видимому, идеограммами (они были уничтожены испанцами во время конкисты). Однако главным инструментом ведения дел оставалось кипу, в котором были зафиксированы своды законов и судебные разбирательства. Вот отрывок из книги Гарсиласо де ла Веги «История государства Инков», в котором речь идет об использовании кипу при решении тяжб и вынесении приговоров:

Формой передачи таких сообщений инке и его [людям] из его верховного совета были узлы, завязывавшиеся на шнурах разного цвета, которыми они объяснялись, как на цифрах, ибо узлы такого и такого цвета говорили о преступлениях, которые были наказаны, а определенные ниточки различного цвета, которыми были перехвачены более толстые шнуры, говорили о наказаниях, которые были осуществлены, и о законах, которые были применены. И таким образом они понимали друг друга, ибо не имели письма.

Из приведенного отрывка ясно, что мы имеем дело не столько с письменностью, сколько с кодированием. Вот еще один пример: каждое селение, являвшееся столицей провинции, имело свой код (сравнимый с современным телефонным кодом города) — уникальную последовательность узелков, которая воспроизводилась в кипу при необходимости сослаться на топоним. Из всего этого можно сделать следующий вывод: даже не будучи письменностью, кипу как знаковая система было развито настолько хорошо, что могло почти в одиночку обслуживать бюрократические нужды целой империи.

Рис. 9. Схема силлабической (слоговой) и идеографической записи при помощи тиксисими. Pachacamac — божество земли и времени, yanrinuy — лунное затмение, allpachamasca — живая почва, ñusta — принцесса. Рисунок с сайта ancientscripts.com

Считается, что примерно две трети всех известных на данный момент кипу состоят только из чисел. Меньше всего споров вызывает устройство счета на кипу: его нехитрый алгоритм, основанный на десятичной системе счисления, полностью изложен в решении задачи. Но оказалось, что и эту систему можно поставить под сомнение. В 2003 году Гэри Эртон (Gary Urton) из Гарвардского университета выдвинул предположение, что кипу было семибитным двоичным кодом (что повлекло за собой шквал интернет-статей, озаглавленных в духе «Инки изобрели двоичный код за 500 лет до компьютера!»). По его мнению, в цвете нитей, способе их закручивания и вариантах завязывания узлов заложены семь вариантов двоичного кодирования (128 вариантов), а если учесть цвета, в которые могли быть окрашены нити, то число перевалит за 1500, превысив количество иероглифов египтян и майя. По мнению Эртона, двоичный код мог использоваться не только для хранения числовой информации, но и в качестве слогового или логографического письма. Эртон, как и Локк, не расшифровал ни одного образца кипу, но сразу же примется за расшифровку, если в распоряжение археологов и лингвистов поступит своего рода «Розеттский камень»: хотя бы один текст на испанском или кечуа, соответствующий конкретному образцу кипу. Но «Розеттский камень», видимо, затерялся где-то в Андах и не найден по сей день.

Помимо кипу, инки использовали для вычислений приспособление под названием юпана (yupana в переводе с кечуа — «счетное устройство»). Это были глиняные таблички с возвышениями, углублениями и перегородками. Для счета в углубления помещали зернышки или камешки — по всей видимости, таким образом можно было выполнять довольно сложные арифметические операции. Существовало несколько разновидностей юпаны, которые, возможно, применялись для разных типов вычислений.

Рис. 10. Слева — глиняные юпаны разных типов. Справа — инка с кипу в руках, в левом нижнем углу — юпана (изображение из книги Пома де Айяла «Первая Новая Хроника и Доброе Правление», 1615; с сайта it.wikipedia.org)

Кроме того, сохранилось одно изображение юпаны из книги хрониста Фелипе Гуамана Пома де Айяла «Первая новая хроника и доброе правление» (1615), существенно отличающееся от глиняных экземпляров. Видно, что нарисованная юпана — простая таблица со сторонами 5 и 4, в которой все ячейки одинаковые, в то время как юпаны, найденные в ходе археологических раскопок, двух-, трех- или четырехуровневые, а ячейки у них разного размера. Из-за этого расхождения и общего недостатка информации о юпанах до конца не ясно, как происходил счет. Одни исследователи строят теории относительно юпаны Пома де Айяла и пытаются применить их к глиняным юпанам, другие делают наоборот, однако первый подход более распространен.

Так, вычисления на юпане Пома де Айяла могли быть устроены подобно счету на кипу. В этом случае по вертикали таблицы снизу вверх были расположены степени десятки от 0 до 4, по горизонтали — единицы. Если преобразовать запись числа на кипу в таблицу, она будет выглядеть точно так же (рис. 11). Теорию о том, что счет на юпане устроен таким образом, выдвинул в 1979 году Карлос Радикати ди Примельо (Carlos Radicati di Primeglio). Однако он не ввел ограничения на количество зерен в одной ячейке: получалось, что любое число можно записать, используя лишь один столбец (точно так же на кипу: для записи любого числа достаточно одной нити).

Рис. 11. Юпана Радикати, запись числа 13457

Через пару лет инженер Уильям Бёрнс Глинн (William Burns Glynn) обратил внимание на то, что на рисунке из книги Пома де Айяла в ячейках первого столбца по пять зерен (будем условно называть их зернами, хотя на самом деле это белые и черные кружочки), в ячейках второго — по три, в ячейках третьего — по два, в ячейках четвертого — всего по одному. Предположения о том, что счет на юпане связан с последовательностью Фибоначчи, выдвигались и раньше. Глинн, в отличие от Радикати, исходил из того, что максимальные количества зерен в ячейках каждого столбца — не 9 (в этом случае одного столбца достаточно), а 5, 3, 2 и 1 (рис. 12). Таким образом, в каждом разряде можно было представить максимум 10 единиц (5 + 3 + 2), а последний столбец оставался свободным для тех случаев, когда нужно было совершить переход через разряд и вынести единицу наверх, как мы это делаем при сложении в столбик (на кипу переход через разряд осуществлялся похожим образом: на нити суммы один узел завязывался на разряд выше).

Рис. 12. Юпана Глинна, число 13457

Принципиально отличную теорию выдвинул в 2001 году инженер Николино де Паскуале (Nicolino de Pasquale). Он допустил, что в тех столбцах, где максимальное количество зерен пять, каждое зерно обозначает не один элемент, а пять, в тех, где три — три и т. д. Основываясь на том факте, что сумма квадратов 5, 3, 2 и 1 равна 39, а, значит, в каждом разряде можно представить 40 чисел (включая ноль — отсутствие зерен), он предложил считать основанием системы 40, а не 10 (рис. 13). Вокруг теории Паскаля разгорелись жаркие споры, и все исследователи юпаны поделились на ее сторонников и ее противников. Одним из наиболее весомых аргументов «против» был следующий: испанские хроники времен конкисты сообщали, что инки пользовались десятичной системой.

Рис. 13. Юпана Паскуале, число 13457

Мнений о том, как могла функционировать юпана, много, и все они очень непохожи одно на другое. Существует даже сложная теория об использовании юпаны Пома де Айяла в качестве своего рода таблицы умножения. Есть версия, что с умножением была связана и глиняная юпана: зёрна, положенные в маленькие ячейки первого яруса, умножались на 1, в большие ячейки первого яруса — на 2, в центральное пространство первого яруса — на 3, в ячейки второго яруса — на 6, в ячейки третьего — на 12. Затем результат суммировался.

Конкиста уничтожила огромное количество документов и артефактов, которые могли бы пролить свет на устройство вычислительных приспособлений инков. Применялось ли кипу для передачи устной речи, и если применялось, то как? А вдруг в узелках кипу действительно скрыты послания, зашифрованные двоичным кодом?? Каким образом использовалась и использовалась ли вообще последовательность Фибоначчи для счета на юпане? Какое основание было у инкской системы счисления? Вопросов гораздо больше, чем ответов. Кипу и юпана ждут своих исследователей.

Список литературы:
1) Ю. Е. Березкин. Империя инков. М.: Алгоритм, 2014. — 256 с., ил. — (Величайшие империи человечества).
2) Инка Гарсиласо де ла Вега. История государства инков / перевод со староисп. В. А. Кузьмищев ; отв. ред. Ю. В. Кнорозов. — Л.: Наука, 1974. — (Литературные памятники).
3) William Burns Glynn. «La Tabla de Cбlculo de los Incas», Bol. Lima 11, 1981, 1–15.
4) Radicati di Primeglio. «El sistema contable de los Incas: Yupana ye Quipu». Libreria Studium, 1979.
5) N. De Pasquale, «Il volo del condor», Pescara Informa, 2001.
6) Laura Laurencich-Minelli, Giulio Magli, «A Calendar Khipou of the Early Seventeenth Century and Its Relationships with Inca Astronomy», Archaeoastronomy journal Vol. 22, 2009. (препринт).
7) L. L. Locke, «The Ancient Quipu, A Peruvian Knot Record» American Museum of Natural History, 1923.
8) Gary Urton. «Signs of the Inka Khipu: Binary Coding in the Andean Knotted-String Records». University of Texas Press, 2003.
9) Электронный архив кипу.

Задача использовалась на III Устной олимпиаде по лингвистике НИУ ВШЭ – 2018.