Созвездия из прямых

Здесь работает самая, наверное, простая идея: попытаться сгруппировать звезды так, чтобы как можно больше прямых были общими сразу для нескольких звезд. Однако подобрать подходящую конфигурацию прямых все равно не так-то просто.

Рассмотрим на клетчатой плоскости квадрат 2×2. В нем можно нарисовать пятиконечную звезду так, чтобы ее вершинами были пять узлов (углов единичных квадратиков), лежащие на сторонах этого квадрата (слева на рис. 2). Скопировав такую звезду достаточное число раз, получим квадрат со стороной 2k клеток, в котором находится k² звезд (рис. 2, справа).

Рис. 2.

Здесь, чтобы не загромождать рисунок, сами прямые не нарисованы, но понятно, что они определяются сторонами звезд. Посчитаем число прямых, на которых лежат стороны всех этих звезд. Для этого все прямые разобьем на пять непересекающихся классов. В каждый класс включены только параллельные прямые. Посчитав число прямых в каждом классе, и сложив их, получим общее число прямых: \(k + k + (2k-1) + (3k-2) + (3k-2) = 10k- 5\).

Любая квадратичная функция возрастает сильней линейной (если у них положительные коэффициенты при переменной в старшей степени), поэтому можно быть уверенным, что при увеличении числа k наступит такой момент, когда число звезд станет больше числа прямых, с помощью которых они нарисованы.

Чтобы выяснить, при каких именно значениях k это произойдет, нужно решить квадратное неравенство \(k^2\ge 10k- 5\) в натуральных числах. Легко видеть, что в приведенном «квадратном созвездии», уже при \(k= 10\), число звезд будет больше числа прямых: звезд будет 100, а прямых — 95.

После решения задачи возникает естественный вопрос: а может ли число звезд оказаться равным числу прямых, с помощью которых нарисованы эти звезды?

Рис. 3.

Можно поэкспериментировать со звездами, которые использовались в квадратной решетке, «упаковывая» их более плотно. При этом будет получаться больше совпадений прямых, с помощью которых рисуются звезды, поэтому отношение числа прямых к числу звезд будет уменьшаться, приближаясь к 1. С помощью таких экспериментов мне удалось придумать конфигурацию, в которой звёзд и прямых оказалось поровну. На рис. 3 57 звезд нарисованы 57-ю прямыми. Прямые здесь не изображены, но их легко посчитать, потому что звезды выстраиваются строгими рядами вдоль пяти направлений.

Возникает новый вопрос: существует ли более экономная конфигурация прямых, в которой число звезд совпадает с числом прямых, и это число меньше 57? Поиск «руками» (точнее, в графическом редакторе) здесь помог. Если взять группу из нескольких параллельных прямых, и пять раз повернуть ее вокруг центра на угол 72°, то получится фигура, напоминающая нераскрашенный калейдоскоп. В нем нужно разглядеть все пятиконечные звезды и закрасить их. Число получающихся при этом звезд зависит от числа прямых в группе, расстояний между ними и от положения центра вращения. На рис. 4 показана конфигурация из 50 звезд, нарисованных с помощью 50 прямых, и исходная группа из 10 параллельных прямых.

Рис. 4.

Надо еще убедиться, что эти 50 прямых не образуют новых звезд где-то за краями рисунка, но это не сложно. Дело в том, что за границами этого созвездия — в каком направлении ни двигайся — точно не встретятся прямые хотя бы одного из «пучков» параллельных между собой прямых, а значит, для новой звезды просто не хватит ограничивающих ее линий.

Интересно, есть ли еще более экономная конфигурация, в которой прямых и звезд поровну?

Есть еще один любопытный вопрос: как нарисовать n звезд наименьшим числом прямых? Сколько прямых потребуется для каждого n? Очевидно, что одну звезду можно нарисовать пятью прямыми, две звезды — восемью прямыми. Для первых шести значений n на рис. 5 показаны конфигурации с наименьшим числом прямых в каждом случае. Но в общем виде эти вопросы пока открыты. Возможно, кому-то из читателей удастся продвинуться в поисках ответов на них.

Рис. 5.