Музыка волн, музыка ветра
Как мы убеждались уже много раз в этой рубрике, размерный анализ — это очень мощный инструмент в физике, когда речь идет о приблизительных оценках по порядку величины. В этой задаче мы научимся определять скорость и длину волн в океане, а также попробуем угадать расстояние до предполагаемого шторма, который эти волны сгенерировал.
Динамика колебаний и волн была интересна человечеству с древних времен, а первые математические описания начали появляться еще в XVIII веке в виде волнового уравнения Д’Аламбера и его частных решений. Волна — это, по сути, колебание некой произвольной величины (плотности, высоты поверхности воды, электромагнитного поля и т. д.) в некоторой среде.
С развитием анализа Фурье — разложения сложных колебаний и волн на более простые — математическое изучение волн стало настолько удобным, что огромное количество задач, казалось бы, не связанных с волновыми процессами, стали изучать именно в терминах волн. Достаточно отметить, что и классическая, и квантовая теория поля (Стандартная модель частиц) целиком и полностью опираются на описание волн.
Отличное визуальное описание того, что такое преобразование Фурье и как его понимать без знания математического анализа, можно найти в этом видео (англ.).
Несмотря на это многообразие применений, простейшие характеристики волн легко понять, ничего не зная о волновых уравнениях или свойствах среды, в которых эти волны существуют. У произвольной волны есть достаточно интуитивные понятия длины волны (\(\lambda\)), амплитуды и периода колебаний (\(T\)) (рис. 1). Иногда вместо периода говорят о частоте, \(\omega=2\pi / T\), а вместо длины волны говорят о волновом числе, \(k=2\pi / \lambda\): чем больше волновое число (или частота), тем меньше длина волны (или период).
При этом, если зафиксировать воображаемую частичку на вертикальной оси (рис. 1, справа), то фазе волны будет соответствовать то, в какой фазе колебаний находится эта частичка.
Различий в использовании волнового числа или длины волны практически нет: это дополнительное определение делается ради математического удобства. К примеру, синусоидальная волна описывается следующим выражением:
где \(\varphi_0\) — некая постоянная фаза, \(A_0\) — амплитуда, а \(x\) и \(t\) — координата вдоль волны и время. Отсюда видно, что амплитуда при замене \(t\) на \(t+T\), или \(x\) на \(x+\lambda\) не меняется.
При этом, как бы странно это ни звучало, существуют две различные скорости, ассоциируемые с волной.
Скорость, с которой распространяется фаза волны (то есть скорость, с которой движется, например, максимум амплитуды), называется фазовой скоростью, \(v_{\text{ф}}\). По сути, фазовая скорость — это путь, пройденный фазой волны за одно колебание, то есть \(v_{\text{ф}} = \lambda / T = \omega / k\).
С другой стороны, физическая волна не может быть бесконечной (скажем, бесконечной синусоидой), и у ее амплитуды всегда есть некоторая оболочка (иногда говорят о модуляции синусоиды) — это, по сути, кривая, на которой лежат максимумы амплитуды. Скорость этой оболочки называют групповой скоростью волны, \(v_{\text{гр}}\) (см. анимацию физической волны с некоторой модуляцией; красная точка движется с фазовой скоростью, \(v_{\text{ф}}\), а зеленые — с групповой, \(v_{\text{гр}}\)) С физической точки зрения, именно с этой скоростью распространяется энергия волны.
Фазовая и групповая скорость могут сильно отличаться, в некоторых случаях они могут быть даже противоположны друг другу (как на этой анимации). Однако принципиально знать, что фаза волны не несет с собой энергии или информации о волне, и в некоторых случаях фазовая скорость может даже превышать скорость света. Групповая скорость при этом — это физическая скорость движения энергии, и она всегда меньше скорости света.
Волна всегда представляет собой результат противодействия двух факторов — инерции частиц или среды и некой возвращающей силы. К примеру, в звуковой волне этой возвращающей силой является давление воздуха, которое стремится вытолкнуть частицы из сжатых областей. В случае с волной на пружинистом матрасе этой возвращающей силой является сила упругости пружинок, и т. д. Поэтому всегда, когда речь идет о возникновении волн, имеет смысл задуматься о том, что является возвращающей силой.
Задача
Рассмотрим волны на поверхности глубокого океана.
1. Внимательно прочитайте предыдущий абзац и из размерных соображений установите связь между частотой этих волн (\(\omega\)) и волновым числом (\(k\)). Эта связь может в себе содержать любые константы или параметры среды, которые вам необходимы.
2. Допустим, вы находитесь на берегу Тихого океана и регистрируете волны с частотой одна волна каждые 18 секунд. Оцените примерную длину этих волн.
3. Скорость штормовых ветров, которые породили эти волны, сравнима с фазовой скоростью этих волн (подумайте, кстати, почему). Оцените характерную скорость этих ветров.
4. На следующий день вы заметили, что волны в среднем прибывают с частотой одна волна в 17 секунд. Считая, что это всё еще волны от вчерашнего шторма и что групповая скорость этих волн вдвое меньше фазовой, \(v_{\text{гр}}\approx v_{\text{ф}} / 2\), найдите расстояние до этого шторма.
Подсказка 1
В первом пункте попробуйте понять, какие размерные параметры важны в данном физическом контексте, а какие нет. Какая физическая сила является «возвратной» для этих волн?
Подсказка 2
В последнем пункте нужно понять, почему волны с разным периодом прибывают с задержкой.
Решение
Сперва нужно разобраться, какие именно размерные величины нужно использовать в нашем анализе. С одной стороны, есть длина волны (или волновое число, \(k\)) и ее период (или частота колебания волны, \(\omega\)). Стоит заметить, что, когда глубина воды слишком большая (больше длины волны), поверхность воды, по сути, не чувствует дна, поэтому от глубины ничего зависеть не должно. В первом приближении, от параметров воздуха (температуры, плотности и т. д.) также ничего не зависит, а единственной возвращающей силой будет гравитация.
Рис. 2. Волны на берегу океана, прибывающие с четко определенными периодом и длиной волны. По мере приближения волн к берегу длина волны немного сокращается. Фото с сайта geosci.sfsu.edu
Поэтому три параметра, которые нужно связать друг с другом — это \(\omega\), \(k\) и \(g\) (ускорение свободного падения). Размерность \(g\) — это длина на квадрат времени, поэтому у произведения \(g\cdot k\) размерность — обратное время (частота) в квадрате. Значит, логично соотнести эти величины следующим образом:
Такие соотношения, связывающие частоту волны с волновым числом, сплошь и рядом встречаются в физике волн и имеют общее название — дисперсионные соотношения.
Результат получен простым анализом размерностей и может содержать произвольные безразмерные константы в качестве коэффициентов. Тем не менее с помощью более точного вывода можно показать, что результат действительно такой без каких-либо коэффициентов.
Если мы регистрируем волны с частотой одна волна в 18 секунд, это означает, что период \(T=18\) с. Подставив в полученное уравнение, получим, что длина волны \(\lambda\approx 500\) м. Безусловно, оценка очень грубая, так как дисперсионное соотношение меняется, когда глубина воды становится заметно меньше 500 метров.
Скорость штормового ветра, который порождает эти волны, должна совпадать с фазовой скоростью волн. Давайте подумаем почему. С одной стороны, если скорость ветра меньше, чем скорость какой-нибудь из волн, то волна будет тормозиться, так как ветер в системе отсчета волны будет действовать в противоположную сторону. С другой стороны, если скорость ветра больше, то волна будет, наоборот, ускоряться. Таким образом, оценив фазовую скорость волны, можно примерно получить и скорость ветра.
Для фазовой скорости имеем:
Это соответствует примерно 110 км/ч или 10–11 баллов по шкале Бофорта. Насколько же далеко этот шторм?
Как было сказано в пункте 4, на следующий день волны прибывали уже с периодом в 17 секунд. Полученное выше уравнение служит объяснением этого эффекта: чем больше частота волны, тем меньше ее фазовая (и, соответственно, групповая) скорость, и тем позже волна до нас доходит. Волны с периодом 17 сек доходят до нас на день позже, поэтому можно записать уравнение:
где \(v_{17}\) и \(v_{18}\) — групповые скорости волн во второй и в первый дни, соответственно. Обозначив за \( t_{18}\) время в пути волны в первый день, получим
Отношение \(v_{18}/v_{17}\) можно легко найти, так как скорость (и фазовая, и групповая) пропорциональна периоду (см. уравнение для фазовой скорости), и поэтому \(v_{18}/v_{17} = 18/17\). Отсюда находим, что \(t_{18}=17\) дней, то есть первая волна была в пути 17 дней. Фазовая скорость первой волны — 30 м/с, а групповая в два раза меньше — 15 м/с. Отсюда находим, что расстояние до шторма равно примерно 20 000 км и волны от него доходят до нас практически с противоположной стороны земного шара. Такое может быть только на берегу Тихого Океана.
Послесловие
При виде движущейся с такой большой скоростью волны может сложиться неверное впечатление, что частицы воды уносятся вместе с волной. Но на самом деле это не так. Если вы хоть раз плавали в море и ныряли на глубину хотя бы в пару метров, то могли заметить, что волны, проходящие сквозь вас, не уносят вас к берегу, а каждый раз возвращают примерно в то же место, где вы находились.
Дело в том, что частицы в волне движутся круговыми траекториями, как показано на рис. 3. В частности, именно из-за такого движения большая волна иногда может «засосать» вас под воду. Чем глубже, тем меньше радиусы траекторий, и на глубине, сравнимой с длиной волны, вода уже фактически не чувствует поверхностных волн. Именно поэтому в нашей задаче глубина океана была неважна.
Рис. 3. Траектории частичек воды, через которые слева направо проходит волна. Пунктирная линия — это уровень стоячей воды. Рисунок из книги R. Salmon. Introduction to Ocean Waves
Волны, которые мы обсуждали в задаче, называются гравитационными волнами на поверхности глубокой воды. Такое название они имеют из-за роли гравитации как возвращающей силы. Помимо гравитационных, на поверхности глубокой воды также может распространяться рябь — например, при бросании небольшого камушка в пруд. В случае с рябью вместо гравитации возвращающей силой является поверхностное натяжение воды, которое для таких волн сильнее гравитации, и дисперсионное соотношение для ряби будет выглядеть несколько иначе.
Чтобы понять какое из соотношений использовать, нужно всего лишь сравнить силу гравитации с силой поверхностного натяжения (которая, в отличие от гравитационной, зависит от длины волны). Окажется, что для волн длиной примерно в несколько сантиметров, поверхностное натяжение гораздо сильнее.
Эта задача иллюстрирует и такое наблюдение: вся физическая часть колебаний и волн, по сути, начинается и заканчивается на том, чтобы найти дисперсионное соотношение; далее — задача чисто математическая.
Еще один пример — уравнение Шредингера, которое описывает поведение волновой функции частицы в некотором произвольном поле сил. Если сделать преобразование Фурье этого уравнения — перейти от рассмотрения времени и координат к частотам и волновым числам, — получим дисперсионное соотношение: по сути мы разложим нашу волновую функцию на волны с частотами \(\omega\) и волновыми числами \(k\) и получим уравнение, связывающее эти два параметра. При этом, если сложить все эти волны вместе, то получится решение первоначального уравнения. Решать дисперсионное уравнение куда легче, так как в отличие от первоначального, оно является лишь алгебраическим, а не дифференциальным, и никаких интегралов нам брать не нужно.
Точно так же можно превратить уравнения Максвелла или, например, уравнения гидродинамики в дисперсионные соотношения, которые, опять же, являются просто алгебраическими, а не дифференциальными. С помощью дисперсионных уравнений удобно исследовать всякие неустойчивости и колебания в плазме, жидкостях или газах, не оперируя при этом в терминах производных и дифференциальных уравнений.
Стоит отметить, что это работает далеко не всегда: красивые дисперсионные соотношения получить удается далеко не во всех задачах. Для метода Фурье необходимо, чтобы дифференциальные уравнения были линейными, и поэтому для многих нелинейных задач (например, в случае гравитационного взаимодействия многих тел) мыслить в терминах волн не получится.
-
Автор задачи методом размерностей нам выводит дисперсионное соотношение. По поводу этого соотношения более подробно для читателей я рекомендую посмотреть стр. 101-102 задача 2.31 третий том Берклеевского курса и почитать раздел 7.3 этого же курса. Также Фейнмановские лекции, том 4, глава 51. Автору спасибо за задачу.
Это ж как же так, с учётом того что они уже при длине волны около полутора-двух сантиметров равными оказываются, а при большей длине волны гравитацинная доминирует?
-
-
Яснее мне не стало.
Понятно что речь о промежуточном режиме, когда эффекты сравнимы по величине. По моим прикидкам (и в Википедии тоже) для одной и той же волны на глубокой воде дополнительные поверхностная и гравитационная энергии становятся равными при длине волны около 16-17 мм, значит на нескольких сантиметрах уже если кто и будет доминировать, то гравитация, а вовсе не поверхностное натяжение, как в статье написано.
Как же это понимать?
-
Но завтра пришли другие волны. Выходит (если эти вторые оттуда же приплыли-припрыгали), скорость ветра там была иной?
Тогда я вот так только могу скумекать:
Либо ветер там же, где для первых мы его уже посчитали, для вторых волн одновременно был иной, и тогда ветра было сразу два одновременно,
либо эти волны пришли из разных мест, где дули разные ветры, и расчёт времени тогда тут как-то не к месту - места-то разные!)
-
Ну там же по порядку величины скорость, ветер не с одинаковой скоростью постоянно дует и генерирует волны разных длин. Между 15 м/с и 15.9 м/с не такая большая разница.
-
Вот как?
Но тогда...
С одной стороны-
Тогда в течении дня волны должны были бы идти волны разной длины - их длина должна была плавно за сутки меняться. Этакая частотная модуляция должна наблюдаться
(В звуковом будь все это диапазоне - звучала бы заунывная глиссандо-сирена от низкого к все более высокому поднимающаяся звуку изо дня в день)
С другой стороны -
Расчёт скорости ветра становится смешным , если мы не проанализировали так же волн, пришедших вчера, позавчера и все прочие дни вплоть до того момента, когда к нам могла прибежать оттуда же самая-самая высокоскоростная волна
А она, заметьте, должна иметь прямо-таки запредельную частоту (по низости) Один, например, гребень в каждые, ну, не знаю, 24 часа!))
Забавно, кстати, что чем короче волна, тем позднее она приходит. Как хорошо, что в музыке не так: а то б мы сначала слышали литавры с контрабасами, а потом все остальное) или и музыки эти расчеты касаются?)
Тогда, включив вдали от себя источник белого шума, мы бы слышали плавно повышающийся звук. Легко проверить, но... Сомневаюсь, что практика подтвердит это...
-
Рис. 1. Длина и амплитуда волны (слева) и ее период (справа). Рисунки с сайта en.wikipedia.org