Лоскутная скатерть

Алиса может справиться и сшить нужную скатерть. Помогает то, что стол — квадрат с площадью 5 и его сторона равна \(\sqrt5\), а это число по счастливому совпадению равно гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами 1 и 2.

Построение показано на рис. 1: сначала нужно сшить из 9 лоскутков квадрат 3×3, затем — загнуть его углы, образованные прямоугольными треугольниками с катетами 2 и 1 (тогда отрезки сгибов, из которых будет состоять граница скатерти, окажутся равными \(\sqrt5\)), а потом — вшить в середину оставшийся десятый лоскуток. Катеты загнутых углов так состыкуются друг с другом, что в середине останется как раз квадратик 1×1.

Рис. 1. Так получается двухслойная скатерть для квадратного стола площадью 5. Одна сторона лоскутков оранжевая, другая зеленая

Эту задачу предложил В. Произволов (она была под номером М1755 в «Задачнике „Кванта“» с немного другой формулировкой, но суть была ровно та же). Авторское решение несколько отличается от рассмотренного нами: предлагалось взять два креста из пяти единичных квадратиков, загнуть несколько уголков определенным образом и совместить эти кресты друг с другом (рис. 2).

Рис. 2. Другое решение задачи про десять лоскутков. Рисунок из статьи М. Петковой «Салфетки «Кванта» и теорема Пифагора» («Квант» №3 за 2012 год)

Приведенное решение задачи было предложено М. Петковой в статье «Салфетки «Кванта» и теорема Пифагора» (опубликована в «Кванте» №3 за 2012 год). Немного неожиданно, что вдохновлено оно было известным с давних времен геометрическим доказательством теоремы Пифагора: нужно взять четыре копии прямоугольного треугольника с катетами a ≥ b и гипотенузой c и сложить их катетами внутрь так, чтобы гипотенузы образовали квадрат (рис. 3, слева). Тогда в центре останется дырка — квадратик со стороной a − b. Остается посчитать площади: \(c^2=4\frac{ab}2+(a-b)^2=a^2+b^2.\)

Рис. 3. Доказательство теоремы Пифагора и конструкция для решения задачи. Рисунки из статьи М. Петковой «Салфетки «Кванта» и теорема Пифагора» («Квант» №3 за 2012 год)

Если же отразить каждый прямоугольный треугольник в этой конструкции относительно его гипотенузы, то конструкция «развернется» и станет похожа на то, что было в решении (рис. 3, справа).

Попутно получается и такой результат: площадь вписанного квадрата равна полусумме большого квадрата и маленького белого квадратика. Этот факт помогает решить и другие подобные задачи о покрытиях:
    1. (Задача М1905, В. Произволов) Покройте квадратный стол размером 5×5 в два слоя 50 квадратными салфетками 1×1 так, чтобы никакой отрезок края любой из салфеток не лежал на краю стола.
    2. (Задача М1944, В. Произволов) Как покрыть квадратный стол площади 5 в четыре слоя пятью квадратными салфетками, площадь каждой из которых равна 4?

Попробуйте решить эти задачи самостоятельно.

Оказывается, можно сравнительно несложно ответить и на общий вопрос: при каких натуральных n квадратный стол площадью n можно покрыть в два слоя 2n квадратными салфетками площадью 1? Ответ такой: при таких n, которые можно представить в виде суммы квадратов двух целых чисел (чувствуется незримое присутствие теоремы Пифагора, не правда ли?). Полное доказательство можно найти в указанной статье М. Петковой, отметим лишь, что оно основывается на очень изящном рассуждении о паркетах на плоскости.