Прыгающие мячики

Для теннисного мяча при столкновении баскетбольный мяч будет как стенка. Иными словами, на движение баскетбольного мяча взаимодействие с теннисным никак не повлияет.

Также можно принять, что между мячами есть небольшое расстояние, и поэтому столкновения баскетбольного мяча с землей и мячей между собой можно рассматривать отдельно (на ответ это не повлияет).

а) Давайте для простоты предположим, что мячи изначально не соприкасаются, а находятся на некотором небольшом расстоянии друг от друга. Так как столкновения абсолютно упруги, на конечный ответ это не повлияет.

Непосредственно перед касанием с землей оба мяча будут двигаться вниз со скоростью \( v=\sqrt{2gh}\). Баскетбольный мяч отражается от земли и начинает двигаться вверх с той же скоростью v, теннисный мяч в этот момент все еще движется вниз со скоростью v. Столкновение баскетбольного мяча с теннисным — это как столкновение со стенкой, скорость баскетбольного мяча почти не изменится.

В системе отсчета, связанной с баскетбольным мячом, мы бы увидели, что сперва теннисный мяч приближался к нему со скоростью 2v, затем отразился и стал двигаться в противоположном направлении с той же скоростью 2v. Такое суждение можно проводить, только когда массы взаимодействующих тел очень сильно отличаются.

Перейдя обратно в лабораторную систему отсчета, заключаем, что теннисный мяч после столкновения будет иметь скорость 2v + v = 3v, направленную вверх. Таким образом, он отлетит на высоту

Как видно, при условии, что массы мячей различаются достаточно сильно и что все столкновения абсолютно упругие, верхний мяч подлетит в 9 раз выше, чем был изначально. На рисунке 2 показан такой эксперимент. Из-за разных «неидеальных» эффектов, вроде неупругости столкновений и трения с воздухом, реальная высота получается несколько меньше.

Рис. 2. Эксперимент с баскетбольным и теннисным мячами. Кадры из видео Stacked Ball Drop

б) Будем действовать индуктивно. Пусть мяч B_i достигает скорости v_i после столкновения с предыдущим (тем, который сразу под ним) мячом B_i−1. Какова будет скорость v_i+1 мяча B_i+1 после столкновения с мячом B_i?

Непосредственно перед столкновением мяч B_i+1 падает вниз со скоростью v, а мяч B_i движется вверх со скоростью v_i. То есть относительная скорость мячей перед столкновением равна v_i + v. Рассуждая аналогично пункту а), получаем, что относительная скорость сохранится, и поэтому скорость мяча B_i+1 будет равна

С помощью этой рекуррентной формулы можно получить для скорости n-го мяча выражение

Чтобы мяч подскочил на высоту H, его скорость у земли должна быть не меньше \( v_0=\sqrt{2gH}\). При H = 1 км скорость v₀ ≈ 140 м/с. Так как v ≈ 4,4 м/с, то v₀/v + 1 ≈ 32,8 > 32. Значит, n должно быть не меньше 6. Тут не учтено, что самый верхний мяч начинает лететь вверх не у самой земли, а с высоты «башни», но несложно посчитать, что для того, чтобы хватило пяти мячей, высота «башни» должна быть порядка 75 метров. Большие должны быть мячи, в общем.

Если мы хотим, чтобы верхний мячик покинул Землю, то он должен набрать по крайней мере вторую космическую скорость (примерно 11160 м/с). Можно легко проверить, что если шариков 11, то скорость верхнего при отскоке равна примерно 9007 м/с, а если шариков 12, то — 18018 м/с.

Конечно, к реальности полученные цифры не имеют никакого отношения. Во-первых, мы полагали что масса каждого следующего мяча много меньше массы предыдущего. Так, если нижний мяч весит 1 кг, а каждый следующий хотя бы в 10 раз легче, то при n = 5 самый легкий мяч должен будет весить 0,1 грамм, что примерно равно массе песчинки. Про 12 шариков даже говорить излишне.

Мы также предполагали, что центры мячей идеально совпадают с общей осью «башни», что на практике реализовать почти невозможно, и поэтому скорости улетающих мячиков будут направлены в совершенно произвольных направлениях (рис. 3). Ввиду всего этого полученный результат, конечно же, лишь грубая математическая абстракция, далекая от реальности. Хотя она достаточно ярко демонстирует какие абсурдные физические результаты можно получить при излишней идеализации задачи.

Рис. 3. Эксперимент со многими мячами. Кадры из видео Stacked Ball Drop

Чуть подробнее рассмотрим эффект упругого столкновения тяжелого объекта с легким. В случае, когда тяжелый объект (стенка) бездвижен, скорости, с которыми легкий шарик ударяется о стенку и отскакивает от нее, равны. В случае же когда стенка движется, нужно сделать тот самый трюк с переходом в систему отсчета стенки, который мы сделали раннее: если стенка движется со скоростью u навстречу мячику, налетающему со скоростью v, то шарик отпрыгнет от нее со скоростью 2u + v, получив удвоенную скорость стенки.

Похожий подход используется в космических миссиях для совершения так называемого гравитационного маневра. Космический аппарат (мячик) движется со скоростью v относительно Солнца против орбитального движения планеты (стенка), у которой скорость u. Роль эластичного столкновения здесь играет гравитация, которая меняет направление движения корабля на противоположное: планета «не почувствует» присутствия корабля, а корабль получит скорость равную удвоенной орбитальной скорости планеты.

Рис. 4. Гравитационный маневр космического корабля у планеты в терминах скоростей v и u. Рисунок с сайта ef.engr.utk.edu

Такие гравитационные маневры (устроенные, конечно, немного сложнее) используются для бесплатного «разгона» космических кораблей. В частности, закончивший несколько дней назад свою миссию аппарат «Кассини» на пути к Сатурну сделал целых четыре гравитационных маневра: дважды у Венеры и по разу у Земли и Юпитера (см. также Большой финал «Кассини»). «Вояджер-1» — самый далекий от Солнца созданный человеком объект (сейчас находится на расстоянии 140 а. е.), также разгонялся с помощью гравитационных маневров у Юпитера и у Сатурна.

Рис. 5. Аналог гравитационного маневра с различными ориентациями движения планеты (черная точка) и корабля (синяя точка). Случай (e) — это как раз то, что видит наблюдатель на планете: скорости «прилета» и «отлета» корабля равны. Анимация с сайта en.wikipedia.org