Точное позиционирование

Задача приемника — вычислить свои координаты по данным, приходящим от спутников. Координаты — это три пространственные переменные, поэтому нужна система из не менее чем трех уравнений, чтобы их определить (то есть нужны данные минимум с трех спутников). Подумайте, как могут получаться эти уравнения в рамках нашей упрощенной ситуации и по какой технической причине трех уравнений на самом деле не хватает.

Итак, приемник пользователя — скажем, навигатор, — получает от каждого из спутников сигнал с тремя пространственными координатами спутника и временем отправки этого сигнала. Этих данных достаточно, чтобы двумя способами выразить расстояние от спутника до навигатора и получить нужные уравнения.

Если искомые координаты навигатора (x, y, z), а координаты спутника (x_s, y_s, z_s), то по теореме Пифагора расстояние между ними равно

Сигнал от спутника распространяется со скоростью света с, поэтому если он был испущен в момент времени t₀, а получен навигатором в момент t₁, то то же самое расстояние равно c(t₁ − t₀). Это и дает уравнение. Данные с трех спутников позволяют составить систему из трех уравнений на три неизвестных (x, y, z). В чем же подвох?

В том, что неизвестных на самом деле не три, а четыре, потому что рассчитывать на высокую точность часов в навигаторе нельзя. Например, ошибка на одну десятитысячную процента — когда вместо одной секунды часы отмеряют 1,000001 секунды, а за месяц набегает всего около двух с половиной лишних секунд, — даст погрешность порядка 20 метров при определении расстояния до спутника. У обычных часов точность хода в несколько раз ниже и ошибка кратно возрастает. Поэтому в расчеты вводят еще одно неизвестное — ошибку часов приемника. Из-за и этого возникает необходимость в еще одном уравнении, а значит, спутников должно быть хотя бы четыре.

В реально работающих системах спутниковой навигации всё, конечно, гораздо сложнее. В расчете координат навигатора разными способами учитываются многие факторы, которые вносят погрешности в определение точного положения: это и проблемы с определением положения самих спутников, и вносимые атмосферой искажения сигнала, и даже релятивистские эффекты. Подробное обсуждение этих вопросов можно найти в статье Error analysis for the Global Positioning System, а также указанной в ней литературе.

Спутники ГЛОНАСС располагаются на круговых орбитах высотой 19 400 км. Сейчас в группировке 27 спутников, 24 из которых используются по целевому назначению (еще два в резерве и один находится на этапе испытаний). Как видно из рисунка, орбиты спутников делятся на три семейства.

Орбиты спутников системы ГЛОНАСС (синие линии). Сами спутники обозначены красными точками. Серые точки — прочие спутники. Видно, что Земля окутана «облаком» из большого числа околоземных спутников, а также просматривается семейство спутников на геостационарной орбите. Изображение с сайта stuffin.space

Возникает следующий вопрос: а какое минимальное количество спутников нужно, чтобы обеспечивать полное покрытие Земли и чтобы в любой момент времени из любой точки поверхности было видно четыре спутника? Разумеется, здесь сразу нужно сделать много упрощений, сведя задачу к чисто геометрической (правда, геометрия здесь сферическая): Землю нужно считать сферой, орбиты — кругами, центры которых совпадают с центром сферы, орбиты из одного семейства — совпадающими. Можно ли, не прибегая к помощи компьютера, получить точную оценку минимального количества спутников?

По расчетам авторов задачи, для ГЛОНАСС теоретически 18 спутников может хватить. Если кто-нибудь из читателей сравнительно простым способом (и без помощи компьютера) получит меньшую оценку, мы будем рады об этом узнать. В общих чертах рассуждение следующее. Пусть по экваториальной орбите радиусом 25 800 км вращаются шесть спутников через равные промежутки. Тогда можно вычислить, что на широтах меньше 60° всегда видно не менее двух спутников.

В самом деле, спутник на такой орбите видно из сферического круга с радиусом

где R = 6400 км — радиус Земли, а r_s = 25 800 км — радиус орбиты спутника. Слово «радиус» (и другие отсылки к длинам) здесь и далее означает сферический радиус, то есть угловую меру дуги большого круга сферы. Раз спутники распределены по орбите равномерно, то центры соответствующих кругов (областей видимости) отстоят друг от друга на 60° по экватору. Если нарисовать три таких последовательных круга, то видно, что над центром среднего из них есть зона, в которой виден только один спутник. Нижняя точка этой зоны — это точка пересечения соседних со средним кругов. Поэтому максимальная широта зоны, откуда всегда видно не менее двух спутников, — это высота сферического треугольника со сторонами (2π/3, α, α). Высоту можно найти по формулам Непера, потому что она делит этот треугольник на два равных и образует прямой угол с экватором.

Таким образом, для каждой орбиты есть две сферические «шапки» с радиусом меньше 30°, где не всегда видно хотя бы два спутника. Три такие «шапки» легко расположить на полусфере без пересечений: можно выстроить «в ряд» вдоль большого круга, проходящего через полюс. Они не вылезут за полусферу, потому что «раствор» центрального угла для каждой «шапки» меньше 60°, то есть все три «шапки» укладываются в 180°. Раз их можно так расположить, то соответствующие три орбиты с шестью спутниками на каждой будут покрывать всю Землю и из каждой точки земной поверхности всегда будет видно по четыре спутника. Ведь если мы находимся внутри «шапки», принадлежащей какой-то одной орбите, то мы находимся вне двух других «шапок», а на каждой из соответствующих двух орбит мы видим всегда не менее двух спутников.