Бесконечная цепочка линз

Рис. 2. Построение хода лучей в собирающей и рассеивающей линзе. Слева: луч света, параллельный оптической оси, преломляется «вовнутрь» и пересекает ось на расстоянии, равном фокусному расстоянию. В центре: свет, испущенный источником на оси, фокусируется в другую точку на оси на расстоянии, вычисляемом по приведенной ниже формуле. Справа: рассеивающая линза преломляет световые лучи «наружу». Рисунок И. Иванова

Напомним, как вообще строится ход лучей в линзах. Будем использовать стандартное обозначение линз на оптических схемах в виде отрезков со стрелочками: для собирающих линз стрелочки направлены наружу, для рассеивающих — вовнутрь.

Для собирающей линзы фокусное расстояние — это такое расстояние от линзы на оптической оси, на котором собирается параллельный световой пучок (рис. 2, слева). Можно сказать, что, если точечный источник света находится на бесконечности, его изображение возникает на расстоянии f. Если же точечный источник света находится на оси на расстоянии d₁, то его изображение возникает с другой стороны на расстоянии d₂ (см. рис. 2, в центре), определяемом по следующей формуле линзы:

Если расстояние получается отрицательным, это означает, что изображение не действительное, а мнимое: пучок света расходится так, словно он излучился из точечного источника, находящегося за линзой, см. пример рассеивающей линзы на рис. 2, справа. Эта же формула выполняется и для рассеивающей линзы, но только для нее надо считать, что фокусное расстояние отрицательно, –f.

Этих соображений уже достаточно для того, чтобы поисследовать разные случаи. Изучите, например, случай d = f, d = 2f, а также попытайтесь понять, что будет происходить, когда d много меньше или много больше, чем f.

Начнем с простых частных примеров. На рис. 3 показан ход лучей при расстоянии между линзами d = f. Все построения легко выполняются на основе приведенный выше формулы. Надо только не забывать, что все расстояния для каждой конкретной линзы отсчитываются от ее центра. Видно, что лучи света, распространяясь в полубесконечной цепочке линз, совершают колебания относительно оптической оси с периодом 12d.

Рис. 3. Ход лучей при d = f. Рисунок И. Иванова

На рис. 4 показан случай, когда d = 2f. Здесь строгой периодичности не наблюдается, но видно, что ход лучей постепенно приближается к колебательному движению с периодом 4d. Поперечный размер светового пучка внутри оптической системы при этом будет заметно больше, чем исходный размер.

Рис. 4. Ход лучей при d = 2f. Рисунок И. Иванова

Кстати, этот рисунок можно «прочитать» и справа налево. Если у вас есть расходящийся пучок света, то, приставив к нему правильно подобранную последовательность из линз, можно не только сделать его параллельным, но и сжать его в поперечной плоскости.

Такие частные случаи можно рисовать и дальше. Но уже после них становится понятной общая картина: если расстояние между линзами не слишком велико, то световой пучок в целом совершает более или менее частые колебания относительно оси. На рис. 5 показан примерный ход лучей для случая d = f/3.

Рис. 5. Типичный ход лучей при d много меньшем, чем f. Рисунок И. Иванова

На конкретных примерах можно убедиться, что если расстояние d станет слишком большим, вместо колебаний пучок будет неограниченно расти в поперечном направлении. Читателю предлагается найти самостоятельно, при каком соотношении d/f это происходит.

Задача про полубесконечный набор линз может показаться совершенно абстрактной, не имеющей никакого отношения к реальности. На самом деле именно такие системы физикам приходится обсчитывать, когда они изучают движение пучков элементарных частиц внутри кольцевых ускорителей. Дело в том, что, летая в кольце, частицы постоянно проходят сквозь фокусирующие и дефокусирующие магниты — именно они играют роль собирающих и рассеивающих линз для заряженных частиц. Поскольку движение происходит в замкнутой трубе, частицы каждый раз, оборот за оборотом, проходят сквозь одну и ту же систему магнитов.

Периодическое движение лучей, которое мы нашли в нашей задаче, наблюдается также и при движении заряженных частиц в циклических ускорителях. Там такие колебания надо аккуратно отслеживать и проверять, чтобы они не попали в резонанс с движением частицы по самому кольцу. Резонанс этих двух колебаний опасен тем, что даже небольшое магнитное возмущение траектории будет действовать на пучок совершенно одинаковым образом на каждом обороте. В результате отклонение пучка от оси будет раз за разом усиливаться, и очень быстро пучок сойдет с орбиты. Поэтому магнитные системы ускорителей настраиваются так, чтобы быть подальше от основных резонансов — это один из главных критериев стабильной работы ускорителя.