Иголка и вероятность

Что понимается под вероятностью некоторого события?

1. Сначала договоримся, что мы будем понимать под событием. Пусть мы проводим серию одинаковых опытов — испытаний, в каждом из которых одни и те же начальные условия и результат очередного испытания никак не зависит результатов предыдущих. Хрестоматийные примеры: подбрасывание «идеальной» монетки, бросание «идеального» игрального кубика. Или, как у нас в задаче, — бросание иголки на разлинованную плоскость.

У каждого испытания есть разные элементарные исходы. Например, выпадение числа от 1 до 6 в примере с кубиком. Событием называется какое-то подмножество множества элементарных исходов. Например, «выпадение 2». Или «выпадение нечётного числа» (то есть выпадение 1, 3 или 5). Можно рассматривать более сложные испытания, вроде подбрасывания пяти монеток. Здесь элементарными исходами будут такие: «выпало пять орлов», «выпало четыре орла и одна решка», и так далее. В качестве события можно рассмотреть, например, такое: «выпало не меньше трёх орлов».

В нашей задаче испытание — это одно бросание иголки, а нужное нам событие — это пересечение хотя бы одной линии.

2. Под вероятностью события можно понимать отношение числа благоприятных для этого события исходов к числу всех возможных исходов (отсюда получается, что вероятность — это всегда число от 0 до 1). Например, вероятность события «выпадение нечётного числа» при бросании одного кубика равна 1/2, потому что подходит ровно половина от всех возможных исходов. Вероятность события «выпало не меньше трёх орлов» при бросании 5 монеток также равна 1/2.

Такое определение вероятности отлично работает, когда множество возможных исходов конечно. Но в нашей задаче бесконечно много исходов — положений упавшей иголки. Да и подходящих исходов тоже бесконечно много. Как же быть? Немного подкорректируем наше «определение»: вероятность события — это доля, которую благоприятные исходы «занимают» во множестве всех исходов. С таким «определением» уже можно посчитать требуемую в задаче вероятность.

Честно говоря, всё сказанное выше является «объяснением на пальцах», и это нельзя рассматривать со всей математической строгостью. Но для наших целей такого подхода вполне достаточно.

3. Для ясности еще один пример. Рассмотрим квадрат, и соединим в нём середины двух соседних сторон отрезком, отсекая таким образом уголок. После этого будем случайным образом тыкать иголкой в квадрат. С какой вероятностью мы попадём внутрь уголка? Здесь исход каждого испытания — то, куда попал конец иголки, то есть одна точка внутри квадрата. Ясно, что исходов бесконечно много и что подходящих нашему событию исходов — попаданию в уголок — тоже бесконечно много. Поэтому про количества исходов для вычисления вероятности рассуждать уже бессмысленно. На зато долю вычислить можно — это просто отношение площадей уголка и квадрата. Оно равно 1/8. Заметим, что границы фигур имеют нулевую площадь, поэтому про них можно не думать. В частности, в отрезок, который отсекал уголок, иголка попадёт с вероятностью 0.

Последний пример из первой подсказки может дать намёк на возможный путь решения задачи. Нужно ввести параметры, которые бы определяли положение иголки и позволяли бы описать все случаи, когда она пересекает линии. Двух параметров здесь вполне достаточно. После этого нужно понять, какие вообще значения могут принимать эти параметры и какие значения описывают наше событие. Если выбрать параметры удачно, то эти условия будут довольно простыми и их можно будет даже «изобразить»: взять координатную плоскость, у которой оси соответствуют параметрам, и нарисовать область, точки которой удовлетворяют полученным условиям. После этого останется лишь посчитать площадь всей области и площадь той её части, которая соответствует пересечению иголки и линий. А затем найти отношение этих площадей.

Условимся, что прямые из условия идут горизонтально. Вот мы бросили иголку на плоскость. Как описать её расположение, чтобы было удобно учитывать пересечение с прямыми? Заметим своеобразную симметрию: нам не так уж и важно, на какую именно (или какие, если их две) полосу между прямыми упадёт иголка — полоски все одинаковые. Также ясно, что сдвиги по горизонтали тоже ни на что не влияют. А вот что действительно важно — это как «далеко» иголка лежит от прямых и под каким углом она к ним наклонена. Поэтому в качестве параметров из второй подсказки можно взять угол наклона α иголки к прямым и расстояние d от середины иголки до ближайшей прямой (рис. 1). Таким образом мы используем ещё одну возникшую в задаче «симметрию».

Рис. 1

Какие значения могут принимать эти параметры? Радианная мера угла α меняется от 0 до π, а d принимает значения от 0 (если середина иголки попала на прямую) до 1/2 (дальше середина иголки от прямых быть не может). На плоскости с координатами (α, d) эти ограничения задают прямоугольник (рис. 2).

Рис. 2

Из рисунка 3 видно, при каком условии на α и d иголка пересекает хотя бы одну прямую: проекция половины иголки на направление, перпендикулярное прямым, должна быть больше d. То есть должно выполняться неравенство .

Рис. 3

Вот мы и получили описание всех случаев, когда иголка пересекает хотя бы одну прямую (пересечение с двумя прямыми будет, только если одновременно выполнены равенства α = π/2 и d = 1/2, что может дать всего одну точку в нашем прямоугольнике — бесконечном множестве всех возможных значений пары параметров). Осталось вычислить площадь под графиком синусоиды и разделить её на площадь всего прямоугольника, которая равна π/2 (рис. 4).

Рис. 4

Как известно, площадь под графиком функции равна определённому интегралу от этой функции на нужном промежутке: .

В итоге получаем, что искомая вероятность равна .

Считается, что эту задачу впервые поставил и довольно обстоятельно исследовал французский учёный XVIII века граф де Бюффон — довольно неординарный человек с очень широким кругом интересов, сделавший немало полезного в разных областях знаний. Поэтому часто её называют задачей об игле Бюффона. По-видимому, это была первая задача на так называемую геометрическую вероятность. Как мы видели, суть такого подхода заключается в том, чтобы представить множество элементарных исходов какого-нибудь испытания в виде геометрической фигуры и свести вопрос о нахождении вероятности того или иного события к вычислению отношения площадей подходящих фигур. Таким способом можно решить еще несколько довольно известных задач — возможно, с некоторыми из них вы познакомитесь позже здесь, на «Элементах». Поэтому приведём в качестве упражнения лишь еще одну несложную задачу:

С какой вероятностью круглая монетка диаметра d, брошенная на клетчатую плоскость (разбитую на единичные квадратики), не покроет ни одну из линий сетки, то есть целиком окажется внутри какого-нибудь из квадратов?

Отметим, что, решая задачу Бюффона, можно рассуждать и немного иначе. Подробно ход такого решения описан (правда, на английском) здесь.

Теперь немного от том, в чём состоит смысл полученного нами ответа. При l = 1 ответ приблизительно равен 0,6366197... Что именно представляет это число? Как обычно, в теории вероятностей понимать это нужно следующим образом. Допустим, мы проделали очень длительную серию испытаний. Скажем, нам хватило терпения в каждом испытании бросать иголку миллион раз и запоминать, сколько раз она пересекла прямые линии на плоскости. И таких испытаний мы провели тоже миллион. Окажется, что в большинстве из них (скорее всего, подавляющем) число пересечений близко к 636 619. И чем больше мы будем проводить таких испытаний, тем ближе будет доля успешных исходов (когда иголка пересекла линию) к . И на самом деле, конечно, тут совершенно не важно, как подразделять испытания на серии — важно лишь общее количество. В реальности проводить такие длительные серии испытаний терпения не хватит. Но можно написать программу (или воспользоваться уже существующими типа этой), которая бы выполняла рутинные операции и выдавала только количество пересечений для большого числа бросков.

Сказанное в предыдущем абзаце даёт необычный подход к важной задаче точного вычисления числа π = 3,1415926... Напомним, что это число определяется как отношение длины окружности к её диаметру (для всех окружностей это отношение одинаково). Число π — одна из основных констант в математике и физике. Отчасти это можно пояснить тем, что окружности и эллипсы возникают в математике и физике в самых разных задачах и моделях — от чисто геометрических до практических вроде расчётов орбит планет и спутников. Поэтому важно уметь достаточно точно вычислять значение числа π. Известно, что это число иррациональное, то есть его нельзя представить в виде рациональной дроби (отношения двух целых чисел), но есть близкие к нему дроби с небольшими знаменателями. Еще Архимеду было известно, что дробь 22/7 = 3,(142 857) приближает π с точностью до тысячных. Примерно в V веке н. э. уже было известно приближение 355/113 = 3,14159292... — погрешность меньше одной миллионной.

При чём же здесь игла Бюффона? Как мы уже понимаем, в длительной серии испытаний доля пересечений от общего числа бросков иголки будет примерно равна 2/π. Поэтому мы можем эмпирически найти эту долю и вычислить приблизительное значение . Чем больше бросков, тем точнее будет доля, а значит, и значение π. В XIX веке находились герои, готовые потратить несколько вечеров на такое занятие. У них получались разные значения около 3,14. Подробнее можно прочитать на этой странице в английской Википедии.

Сейчас, конечно, никто иголку не бросает, а число π вычислено уже далеко за 10 триллионов знаков. Забавно, что такая точность и близко не нужна для практических вычислений — по оценкам, достаточно знать π примерно до 40-го знака после запятой, чтобы точно рассчитать объём видимой Вселенной с точностью до одного атома. Так что вычисление π с такой точностью — это, скорее, гонка за рекордами и соревнование суперкомпьютеров.

Точные вычисления основаны на разных формулах. В основном, используются сходящиеся к π последовательности и суммирование рядов, много алгоритмов можно найти в Википедии. Здесь приведём лишь замечательную формулу

,

которая позволяет вычислить любую цифру числа π, не вычисляя остальные цифры.