Настольный ускоритель протонов
Ускорители элементарных частиц — одни из самых громоздких физических приборов. Причина этого проста: даже самые сильные ускоряющие электрические поля в современных ускорителях составляют несколько мегавольт на метр. Если мы хотим разгонять по прямой частицы до энергий хотя бы в сотни МэВ, нам потребуется ускорительный участок длиной в добрую сотню метров. По этой причине такие ускорители делают циклическими: в них пучок циркулирует по кругу, а ускорительная секция на каждом обороте слегка подталкивает его вперед.
Между тем, ускорители имеют целый ряд технологических и даже медицинских применений. Для этих задач, конечно, очень желательно сделать ускорители более компактными, более дешевыми и мобильными; в идеале их хотелось бы сделать настольными установками. Однако добиться этого, используя традиционные методы ускорения, нереально. Поэтому физики уже давно разрабатывают совершенно новую, намного более эффективную схему ускорения частиц — за счет взаимодействия короткого и сверхинтенсивного лазерного импульса с веществом. Конкретных вариантов таких лазерных или лазерно-плазменных ускорителей придумано и реализовано уже много. Один из них — ускорение протонов слоем горячих электронов (target normal sheath acceleration, TNSA), метод, предложенный всего десяток лет назад, — мы разберем в этой задаче.
Последовательные этапы этого процесса показаны на рис. 1. На тонкую фольгу микронной толщины фокусируется ультракороткий и сверхмощный лазерный импульс. Длительность его не превышает пикосекунды, размер пятна в фокусе — около 10 микрон, зато пиковая интенсивность может достигать 1022 Вт/см2 (см. недавнюю статью Горизонты петаваттных лазерных комплексов в журнале УФН). Поглощаясь в поверхностном слое фольги, этот лазерный импульс резко нагревает электронный газ до температур в десятки миллиардов (!) градусов (по поводу того, как долго горячий электронный газ может сосуществовать с холодными ионами, см. нашу задачу Горячие электроны).
Облако горячих электронов пролетает фольгу насквозь и вылетает с противоположной стороны. Однако как только электроны начинают покидать фольгу, в ней, в тонком приповерхностном слое, возникает большой нескомпенсированный положительный заряд, который сдерживает дальнейший вылет электронов. В результате вблизи поверхности фольги возникает сильное перпендикулярное электрическое поле. Такая ситуация «держится» несколько пикосекунд, после чего начинается разрушение материала.
Однако еще до разрушения успевает сработать микроускоритель протонов. Ионы вещества чувствуют возникшее вблизи поверхности электрическое поле и начинают в нём разгоняться. Быстрее всего ускоряются самые легкие ионы — протоны; для этого на задней стороне фольги наносится очень тонкая пленка, богатая водородом, например водная пленка. Они-то и образуют узконаправленный пучок ускоренных протонов, который возникает на выходе из установки.
Задача
Исходя из этого описания, оцените по порядку величины, какие при этом достигаются ускоряющие электрические поля, до каких энергий будут ускоряться протоны и сколько при этом будет длиться процесс ускорения. Температуру горячего электронного газа примите равной 10 МэВ (то есть примерно 100 млрд градусов).
Подсказка
Плоский двойной заряженный слой (то есть фактически плоский конденсатор) создает электрическое поле между слоями заряда, но снаружи полем можно пренебречь. Поэтому ключевой шаг в решении — оценить величину разделенного заряда и толщину этого слоя d.
Эти величины можно найти из условия равновесия горячего электронного газа. Предположим, что некоторая часть электронов уже вылетела из металла. Возникшее электрическое поле тянет их назад. Температура позволяет «подняться» этим электронам против электрических сил, по аналогии с молекулами воздуха, которые поднимаются вверх на некоторую высоту против силы тяжести. Можно записать электрический аналог распределения Больцмана и найти, насколько далеко электроны с температурой T способны удалиться от поверхности фольги.
Далее надо учесть, что в самой фольге нескомпенсированный положительный заряд тоже простирается на некоторую глубину, которая того же порядка, что и d. Можно для оценок считать, что в этом слое металла отсутствуют все свободные электроны — горячие электроны «вытолкнули» их вглубь материала. Тогда все эти уравнения удастся связать друг с другом и найти искомые величины.
Решение
Взглянем вновь рис. 2b. Конечно, концентрация электронов (а точнее, концентрация их нехватки по сравнению с ионами решетки) меняется с глубиной плавно, но для оценок будем считать, что все свободные электроны «ушли» из приповерхностной области толщиной d. Тогда в этом слое имеется положительный заряд с поверхностной плотностью
.
Здесь n — концентрация свободных электронов в металле, а |e| — модуль заряда электрона. Такая же по модулю, но противоположная по знаку зарядовая плотность находится и в слое горячего электронного газа над поверхностью (этот слой называется «виртуальным катодом»). Получается своеобразный конденсатор с напряженностью электрического поля
.
Горячие электроны могут «подняться» против этого поля на расстояние, которое получается из формулы
,
где k — постоянная Больцмана. Связав все эти уравнения друг с другом, получим
.
Полученная толщина, на самом деле, широко известна в физике и называется дебаевской длиной, ее обычно обозначают λD (полученное выражение, впрочем, справедливо только для достаточно горячего газа электронов). Она характеризует то расстояние, на котором свободные электроны экранируют электрический заряд. Величина электрического поля получается равной
.
Подставив числа (например, для железа n порядка 1028 м–3), получим дебаевскую длину порядка 0,2 микрона и электрическое поле напряженностью 3·1013 B/м. Этот ускоряющий градиент (30 ТэВ на метр!) в миллионы раз сильнее, чем то, что сейчас доступно в традиционных ускорителях. Если бы нам удалось удерживать такой градиент на длине в полметра, протоны тогда разогнались бы до энергий Большого адронного коллайдера! К сожалению, этот градиент существует только в тонком слое толщиной d, что и ограничивает максимальную энергию протонов. В рамках наших очень приближенных оценок приобретенная протонами энергия составит примерно
,
то есть после всех вычислений мы возвращаемся к величине тепловой энергии электронов (10 МэВ в данной задаче). Протоны с кинетической энергией 10 МэВ движутся со скоростью примерно 1/7 скорости света. Ускорение на дистанции d от нуля до этой скорости займет примерно 10 фемтосекунд (то есть 0,01 пикосекунды).
Послесловие
Полученные оценки являются самой первой, даже, скорее, нулевой степенью приближения в этой задаче. Уже чуть более серьезные расчеты в рамках той же самой модели показывают, что облако горячих электронов простирается существенно дальше, чем на одну дебаевскую длину, см. рис. 2. Электрическое поле, конечно, ослабевает при удалении от поверхности, но довольно медленно. Поэтому ускорение получится более эффективным, и максимальная энергия будет в несколько раз превышать тепловую энергию горячего электронного газа.
Рис. 2. Более аккуратное решение задачи о плоском виртуальном катоде показывает, что электронное облако простирается далеко за пределы одной дебаевской длины. Красным и зеленым показаны плотность ионов и электронов, синим — напряженность электрического поля. Изображение из статьи: Marius Schollmeier. Proton energy scaling laws — Generation of above-100-MeV proton beams with Z-Petawatt? (PDF, 4,6 Мб)
В приведенных выше расчетах для простоты предполагалось, что из приповерхностного слоя фольги электроны проводимости ушли полностью. Это, скорее, верхний предел на возникшую плотность заряда, а значит, и на эффективность ускорения. Реалистичные расчеты (особенно с учетом того, что и ионы не остаются неподвижными) показывают, что эта плотность заряда будет заметно меньше. В результате этого толщина двойного заряженного слоя возрастает, поле — ослабевает, а время ускорения, соответственно, удлиняется. Тем не менее ускоряющее поле остается очень большим, порядка 1 теравольт на метр, а процесс ускорения длится порядка 1 пикосекунды. Максимальная достигнутая сейчас энергия протонов находится в районе 50 МэВ.
Цель физиков на этом пути — достичь энергий порядка 200 МэВ и при этом обеспечить узкое угловое и энергетическое распределение протонов. Тогда эти лазерные ускорители протонов станут революционным медицинским инструментом в терапии онкозаболеваний. Протонная терапия, конечно, существует уже давно, но благодаря новым ускорителям она станет на порядки компактнее, дешевле, а значит, и доступнее.
Рис. 1. Ускорение протонов слоем горячих электронов. Показаны последовательные этапы этого процесса: (a) поглощение сверхмощного лазерного импульса в фольге и образования облака горячих электронов, (b) попытка электронов вылететь из фольги и возникновение заряженного слоя, (c) ускорение протонов в возникшем электрическом поле. На фотографии показана реальная установка (фото с сайта www-atom.fysik.lth.se)