Секреты таблицы Пифагора

Пожалуй, это тот случай, когда подсказка толком и не требуется. Есть простое объяснение, почему сейчас предложена эта задача.

Задача несложная и доступна, пожалуй, даже младшим школьникам. Проще всего ее решить непосредственным сложением всех чисел от 1 до 81.

Но скучную, на первый взгляд, задачу суммирования чисел можно решить, получив при этом удовольствие. Например, суммированием чисел построчно. В первой строке сумма чисел равна \(1+2+3+\ldots +9\). Поскольку каждое число таблицы Пифагора равно произведению номера строки и номера столбца, то сумма чисел во второй строке равна \(2\cdot(1+2+3+\ldots +9)\), в третьей строке сумма чисел равна \(3\cdot(1+2+3+\ldots +9)\), и так далее. В девятой строке сумма чисел равна \(9\cdot(1+2+3+\ldots +9)\).

Мы получили девять слагаемых, в каждом из которых можно вынести общий множитель \(1+2+3+\ldots +9\). После вынесения этого множителя получим в скобках, о чудо, точно такой же множитель! Значит, сумма всех чисел таблицы будет равна \((1+2+3+\ldots +9)^2\). Но сумма \(1+2+3+\ldots +9\) равна 45, поэтому сумма всех чисел таблицы равна \(45^2=2025\).

Красиво, не правда ли?

Интересно задаться вопросом: в каком году сумма чисел большей таблицы Пифагора будет снова совпадать с номером года? Нетрудно установить, что это произойдет ровно через тысячу лет — в 3025 году для таблицы \(10\times10\).

В рассмотренном решении задачи числа таблицы Пифагора суммировались построчно. Но суммировать можно иначе. Например, по выделенным на рис. 2 белым и розовым уголкам. Что удивительно, суммы по уголкам образуют последовательность кубов. А значит, сумма всех чисел таблицы равна \(1^3 + 2^3 +\ldots+9^3\), то есть \((1+2+\ldots+9)^2 = 1^3 + 2^3 +\ldots+9^3\).

Рис. 2.

Почему сумма чисел уголка равна кубу номера этого уголка? Дело в том, что в каждом уголке расположены числа, кратные номеру этого уголка, и при суммировании можно вынести номер уголка за скобки. В скобках же останется сумма, равная квадрату номера уголка. Покажем это на примере седьмого уголка:

Рис. 3.

То, что сумма чисел в скобках равна квадрату номера уголка, можно показать, суммируя две арифметические прогрессии, а можно доказать геометрически — с помощью точечного квадрата 7×7 (рис. 3), в котором, разумеется, 49 точек. Если посчитать точки этого квадрата по диагональным рядам, то получим ту самую сумму 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1.

Равенство \((1+2+\ldots+9)^2 = 1^3 + 2^3 +\ldots+9^3\) можно доказать и по-другому, с помощью кубиков. На рис. 4 из единичных кубиков сложены девять кубов с ребрами от 1 до 9.

Рис. 4.

Каждый из них можно разрезать на горизонтальные слои и из полученных квадратных плиток сложить квадрат со стороной 45. При этом верхнюю плитку каждого четного куба нужно разделить на две равных. Укладывая плитки одного размера «уголками», получим квадрат со стороной 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45 (рис. 5), и этим доказывается равенство.

Рис. 5.

В равенстве \(1^3 + 2^3 +\ldots+9^3 = 45^2\) каждый куб можно представить в виде произведения числового множителя и его квадрата: \(1\cdot1^2 + 2\cdot2^2 +\ldots+9\cdot9^2 = 45^2\). Это подсказывает, что можно попробовать решить задачу квадрирования квадрата со стороной 45 на такую систему квадратов:
1 квадрат со стороной 1,
2 квадрата со стороной 2,
3 квадрата со стороной 3,
. . . . . .
9 квадратов со стороной 9.

И это можно сделать — на рис. 6 представлено такое квадрирование.

Рис. 6.

А что, если клетки таблицы Пифагора раскрасить в шахматном порядке (рис. 7) и найти сумму чисел в клетках одного цвета, например — в синих? Попробуем.

Рис. 7.

Для этого все синие клетки разобьем на две части так, как показано рис. 8. Числа в первой части (слева) будем суммировать построчно с последующим вынесением общих множителей. Получим:

Числа во второй части (справа) будем суммировать также построчно с последующим вынесением общих множителей, получим:

Получается, что сумма чисел в синих клетках равна сумме квадрата суммы четных чисел и квадрата суммы нечетных чисел, не превосходящих 9, то есть \((2+4+6+8)^2 + (1+3+5+7+9)^2\) (кстати, это равно \(20^2 + 25^2\)).

Рис. 8.

Следующий естественный шаг — найти сумму чисел в белых клетках шахматной доски.

Рис. 9.

Среди белых клеток выделим еще желтые клетки так, как показано на рис. 9. При таком выделении каждой белой клетке соответствует желтая клетка с тем же числом, то есть сумма чисел в белых клетках равна сумме чисел в желтых клетках. Найдем сумму чисел в желтых клетках. Будем суммировать числа все также построчно с последующим вынесением общих множителей:

Получилось, что сумма чисел в желтых клетках равна произведению суммы нечетных чисел и суммы четных чисел, не превосходящих 9. А сумма S_бел чисел во всех белых клетках (желтые клетки — это временно покрашенные белые) — вдвое больше и равна \((2+4+6+8)\cdot(1+3+5+7+9)\).

Если мы вернемся к основной задаче, то сумма всех чисел таблицы Пифагора \(S\) равна сумме чисел в синих клетках и сумме чисел в белых клетках, то есть

Если переставить слагаемые, нетрудно заметить, что справа в этом равенстве записана формула квадрата суммы:

Сворачивая ее, получим \(S = (1+2+\ldots+9)^2\), то есть найдено еще одно решение нашей задачи.

Числа таблицы Пифагора, находящиеся внутри нее (не в крайних клетках), обладают удивительным свойством: каждое такое число равно среднему арифметическому четырех чисел, расположенных в клетках-вершинах квадрата, для которого это число является центральным. Например, на рис. 10 слева: \(20 = \frac{1}{4}(4+10+42+24).\) Докажем это свойство в общем виде для числа \(nm\). Понятно, что оно находится на пересечении столбца \(n\) и строки \(m\), тогда числа \(a\), \(b\), \(c\) и \(d\), находящиеся в вершинах квадрата, можно выразить так: \(a = (n-y)(m-x)\), \(b=(n+x)(m-y)\), \(c=(n+y)(m+x)\), \(d=(n-x)(m+y)\) (рис. 10, справа). Простые преобразования показывают, что \(a+b+c+d=4nm\), значит, что \(nm = \frac{1}{4}(a+b+c+d)\).

Рис. 10.

На рис. 11 в таблице Пифагора 9×9 выделены четыре клетки, расположенные в вершинах квадрата, в центре которого стоит число 25. По «свойству средних» сумма чисел в выделенных синих клетках в 4 раза больше центрального числа, то есть равна 100. Сколько таких четверок чисел можно выделить, чтобы были выделены все числа таблицы? Кроме центрального числа 25 в таблице Пифагора еще 80 чисел, значит, существует не более 20 четверок чисел.

Рис. 11.

На рисунке желтым и зеленым цветом выделены четыре прямоугольника 5×4, симметрично расположенные относительно центра таблицы. В каждом прямоугольнике можно выбрать по одной клетке, получающиеся одна из другой поворотом на 90° вокруг центра таблицы. И таким образом можно выбрать ровно 20 центральных квадратов, в вершинных клетках которых сумма четырех чисел равна 100. Поэтому сумму всех чисел таблицы можно найти как \(S=20\cdot100+25=2025\). Это еще одно решение нашей задачи.

Закрасим центральную часть таблицы Пифагора от 1×1 до 9×9 так, как показано на рис. 12. Если перемножить все числа в закрашенных клетках, то получится красивая формула \((1^1\cdot2^3\cdot3^5\cdot4^7\cdot5^9\cdot6^7\cdot7^5\cdot8^3\cdot9^1)^2\). Покажем ее справедливость.

Рис. 12.

Вспомним, что каждое число таблицы Пифагора равно произведению номера строки и номера столбца. Записав каждое число в виде такого произведения, можно в каждой строке вынести общий множитель, равный номеру соответствующей строки (рис. 13).

Рис. 13.

Поскольку ищем произведение чисел, то можно сгруппировать множители, являющиеся степенями, в одну строку (рис. 14).

Рис. 14.

Числа, записанные в форме ромба, можно перемножить, группируя их по вертикальным столбикам. Удивительно, но при этом получится произведение, совпадающее с выражением в скобках (рис. 15).

Рис. 15.

То есть искомое произведение в выделенном фрагменте таблицы Пифагора равно \((1^1\cdot2^3\cdot3^5\cdot4^7\cdot5^9\cdot6^7\cdot7^5\cdot8^3\cdot9^1)^2\). Симпатичная формула появилась, не правда ли?

Рис. 16.

Выделим в таблице Пифагора прямоугольную рамку толщиной в одну клетку, каждая сторона которой состоит из нечетного числа клеток. Раскрасим клетки этой рамки в два цвета — зеленый и желтый — так, чтобы цвета чередовались (рис. 16). Тогда окажется, что сумма чисел в зеленых клетках равна сумме чисел в желтых клетках. Например, убедитесь, что

Именно это свойство таблицы умножения предлагалось доказать участникам XXXII Турнира городов, проходившего в 2010–2011 годах. Увидел и обосновал это свойство мой ученик Сергей Прика, учившийся тогда в 8 классе.

Напоследок — по-моему, очень красивое исследование таблицы Пифагора. На рис. 17 слева синим цветом закрашены числа 1-го, 3-го, ..., 9-го десятков, зеленым цветом закрашены числа 2-го, 4-го, ..., 8-го десятков. Получаются чередующиеся области разных цветов — своего рода волны. Вторая слева на рис. 16 — таблица 32×32, в которой клетки покрашены в соответствии с четностью числа сотен. Правее — то же самое для таблиц 128×128 и 480×480. Хорошо видны проступающие муаровые узоры.

Рис. 17.

Цветные полосы не случайно напоминают гиперболы. В самом деле, если произведение n×m постоянно, то числа n и m связаны обратной пропорциональностью. Когда мы смотрим на десятки или на сотни, то n×m, конечно, не постоянно, но оно примерно постоянно, что и объясняет форму полос.

С увеличением произведения n×m ширина полос уменьшается, а затем полосы вовсе разрываются и распадаются на одноцветные островки, которые группируются с островками такого же цвета, но из другой сотни, образуя симметричные формы (рис. 17, справа). Загадочным образом таблица Пифагора неожиданно превращается в периодическую структуру. Интересно, чем это объяснить?

Рисунки таблиц Пифагора размером 32×32, 128×128 и 480×480 подготовил Сергей Прика.