Квадрирование квадрата

Придумайте расположение равных квадратов одной группы, которое позволяет аналогичным способом укладывать равные квадраты другой группы.

В основе решения лежит «уголковый» способ разбиения квадрата на меньшие квадраты (рис. 1): квадрат разбивается на уголки с таким расчетом, чтобы каждый уголок мог быть разбит на нечетное число квадратов.

Рис. 1.

Натуральные числа при делении на 4 могут давать остатки 1, 2, 3 и 0, то есть любое число можно записать одним из следующих видов: \(a=4n+1\), \(b=4n+2\), \(c=4n+3\), \(d=4n\). Ясно, что здесь числа вида \(a\) и \(c\) — нечетные. Каждое число вида \(b=4n+2=2(2n+1)\) равно сумме двух равных нечетных чисел (будем их называть «нечетно-четными»). Каждое число вида \(d=4n=2\cdot2n\) будем называть четно-четным. Заметим также, что каждое число вида \(d=4n=(2n-1)+(2n+1)\) равно сумме двух последовательных нечетных чисел.

Схема разбиения заключается в следующем. Квадрат со стороной 1 разобьем на четыре равных квадрата со стороной 1/2, и каждую из этих четвертей разобьем уголковым методом на квадраты. Левую верхнюю разобьем на группы, содержащие нечетное количество квадратов; правую нижнюю разобьем на группы, содержащие четно-четное количество квадратов; оставшиеся две четверти разобьем совершенно одинаково на группы, содержащие нечетное количество квадратов, — таким образом, они будут разбиты на группы, содержащие нечетно-четное количество равных квадратов (рис. 2).

Рис. 2.

Вариантов разбиения каждого из четырех квадратов со стороной 1/2 много, нужно только добиться, чтобы размеры квадратов из разных групп не повторялись, и задача будет решена.

Нужное разбиение приведено на рис. 3, числа показывают, сколько квадратов в соответствующей группе.

Рис. 3.

В этом разбиении 210 квадратов, их размеры и количество по группам указаны в таблице:

Квадрирование квадрата — это разбиение квадрата на меньшие квадраты. Наша задача — одна из многих задач этого класса. Самое простое и всем известное квадрирование — это разбиение квадрата на \(n^2\) равных квадратов. Примером может служить шахматная доска, разбитая на 64 клетки (рис. 4).

Рис. 4.

А можно ли разбить квадрат, например, на 2023 квадрата, среди которых не обязательно все равные? Или на любое другое число квадратов (не обязательно равных)? Оказывается, почти всегда можно. Идея в следующем.

Если в разбиении квадрата на \(n^2\) равных квадратов (рис. 5, а) объединить \((n-1)^2\) квадратов в один квадрат, то получим разбиение на \(n^2- (n-1)^2+1=2n\) квадратов (рис. 5, б). Это значит, что таким приемом можно выполнить квадрирование на любое четное (более 2) число квадратов. Если в таком разбиении один из квадратов разделить на 4 квадрата, то число квадратов разбиения увеличивается на 3 и станет нечетным (рис. 5, в). Можно доказать, что на 5 квадратов квадрат разбить нельзя. Таким образом, квадрирование можно выполнить на любое число квадратов большее 5, в том числе — и на 2023 квадрата.

Рис. 5.

Если при этом наложить еще одно условие: среди квадратов разбиения нет равных, то квадрирование становится чрезвычайно трудным. Пожалуй, это самая именитая задача на квадрирование квадрата. Поначалу некоторые видные математики начала ХХ века были склонны считать, что такое квадрирование вообще невозможно. Более 30 лет математики «сражались» с этой задачей в поиске нужного квадрирования. И только в 1978 году заключительный аккорд в этой задаче сделал голландский математик А. Дёйвестейн (A. Duijvestijn), который нашел разбиение квадрата на 21 попарно неравный квадрат. Применяя для перебора возможных вариантов компьютер, он доказал, что квадрат невозможно разбить менее чем на 21 квадрат, и что найденное им квадрирование квадрата — единственное (рис. 6).

Рис. 6.

В теории точечных множеств известна фигура, которую сконструировал польский математик Вацлав Серпинский. Она представляет собой разбиение квадрата на бесконечное число квадратов, и по существу является фракталом. Строится следующим образом: квадрат разбивается отрезками, параллельными его сторонам на девять равных квадратов, и удаляются все внутренние точки центрального квадрата. С каждым из оставшихся восьми квадратов поступают так же — делят на девять равных квадратов, и удаляют все внутренние точки центрального квадрата. Если такой процесс продолжать бесконечно долго, то получится фигура, которую называют — ковром Серпинского. На рис. 7 приведено квадрирование Серпинского, которое получается после третьего шага (синим цветом показаны удаленные точки).

Рис. 7.

Если задаться целью, посчитать число белых \(b_n\) и число синих \(c_n\) квадратов в разбиении Серпинского на \(n\)-ом шаге, то можно получить интересные результаты. Оказывается, \(b_n=8^n\) и \(c_{n+1}=c_n+b_n\), причем \(b_1=8\), \(c_1=1\). Тогда суммарное число квадратов на \(n\)-ом шаге равно сумме числа белых и числа синих квадратов: \(b_n+c_n = 1+8+8^2+\ldots+8^n=\frac17(8^{n+1}-1).\)

Известный советский математик Андрей Николаевич Колмогоров, еще будучи студентом, придумал разбиение единичного квадрата, в котором каждый квадрат разбиения имеет с диагональю квадрата хотя бы одну общую точку. На первом шаге квадрат четвертуется, два квадрата закрашиваются. Два других на втором этапе вновь четвертуются, и в каждом из них два квадрата закрашиваются. И так далее процесс продолжается. На рис. 8 приведено квадрирование квадрата, в котором выполнено 4 шага.

Рис. 8.

Можно отметить, что в этом кадрировании суммы периметров квадратов, которые появляются на каждом шаге, равны одному и тому же числу 4. Действительно, периметр исходного квадрата равен 4, и на каждом шаге итерации периметр квадрата уменьшается вдвое, а число квадратов увеличивается вдвое, поэтому суммы периметров квадратов, которые появляются на каждом шаге, не изменяются.

Организаторы LVI Московской математической олимпиады, используя этот факт, сформулировали участникам олимпиады задачу:

Единичный квадрат разбит на конечное число квадратов (размеры которых могут отличаться). Может ли сумма периметров квадратиков, пересекающихся с главной диагональю, быть больше 1993?

В самом деле, используя квадрирование Колмагорова, можно утверждать, что если проделать 500 шагов его разбиения, то сумма периметров квадратиков, пересекающихся с главной диагональю, равна \(4\cdot500=2000\), что больше чем 1993.

Квадрирование квадрата действительно популярный тип задач на олимпиадах школьников. Вот, например, задача LXXI Московской математической олимпиады:

Можно ли разрезать квадрат на квадратики трех разных размеров так, чтобы маленьких, средних и больших было поровну?

Ответ

Да, существует разбиение квадрата на три типа равных квадратов, в котором по 14 квадратов каждого из трех размеров 1×1, 2×2 и 3×3 — всего 52 квадрата (см. рис.). Вообще, квадрат можно разрезать на любое число классов равных квадратов. Попробуйте это обосновать самостоятельно.

Оргкомитет международной математической олимпиады Турнир городов на осеннем туре 2009/10 года тоже предложил учащимся 8–9 классов квадрировать квадрат, причем задача совсем близка по содержанию к нашей:

Можно ли квадрат разрезать на 9 квадратов и раскрасить их так, чтобы получились 1 белый, 3 серых и 5 черных квадратов, причем одноцветные квадраты были бы равны, а разноцветные квадраты — не равны?

Ответ

Нужное квадрирование легко находится в квадрате 6×6, см. рис.

Рассмотрим еще одно квадрирование. Единичный квадрат делится на 9 равных квадратов, из которых 5 квадратов со стороной 1/3 образуют «уголок» и эти квадраты фиксируются, а оставшиеся 4 квадрата объединяются в один квадрат. На следующем шаге этот объединенный квадрат опять делится на 9 равных квадратов, из которых 5 квадратов со стороной 2/9 образуют «уголок» и фиксируются, а оставшиеся 4 квадрата объединяются в один квадрат. Такое разбиение продолжается до бесконечности. На рис. 11 слева показан результат такого квадрирования. Площади квадратов, прилегающих к нижней стороне единичного квадрата, образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию \(b_1=\frac19\), \(q=\frac49\).

Если теперь в каждом «уголке» квадраты перекрасить в шахматном порядке, то квадраты окажутся разбитыми на пять групп одноцветных квадратов. Все пять групп состоят из соответственно равных квадратов, поэтому сумма площадей квадратов одной группы равна пятой части площади квадрата. Справа на рис. 11 показана геометрическая интерпретация вычисления суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии \(\frac19+\frac4{81}+\frac{16}{729}+\ldots=\frac15.\)

Рис. 9.

Рассмотренное квадрирование можно обобщить, разбивая квадраты на каждом шаге на \(n^2\) равных квадратов, и, таким образом, суммировать бесконечно убывающие геометрические прогрессии.

В «Послесловии» использованы материалы моей статьи «Квадрирование квадрата» («КВАНТ», №4 за 2010 год). В ней я предлагал читателям несколько задач для самостоятельного решения. Одна из них вызвала интерес у восьмиклассника Владимира Близнюка.

Квадрат с нечетной стороной \(2n-1\) можно представить в виде объединения вложенных квадратных рамок шириной 1. Рассмотрим его квадрирование следующим образом: квадраты первой внешней рамки оставим без изменения; каждый квадрат второй рамки разобьем на 4 квадрата, каждый квадрат третьей рамки разобьем на 9 квадратов и т. д., центральный квадрат разобьем на \(n^2\) квадратов (рис. 10). На сколько квадратов оказался разбит данный квадрат?

Рис. 10.

Владимир не только вывел конечную формулу, по которой можно было определить количество квадратов разбиения, но и провел интересное исследование задачи, и опубликовал свои результаты в международном научном журнале «Юный ученый» (в №3 за 2016 год).

Владимир показал, что при таком квадрировании квадрата с нечетной стороной \(2n-1\) получится \(\frac13n^2(2n^2+1)\) квадратов. Кроме того, он обратил внимание, что рамки, на которые разделен исходный квадрат, окрашены в два различных цвета, и решил подсчитать количество квадратов во всех синих рамках, и отдельно во всех желтых рамках, и затем нашел разницу между полученными результатами. Оказалось, что при четном \(n\) квадратов желтого цвета больше чем квадратов синего цвета на \(n^2\), а при нечетном \(n\) синих квадратов больше, чем желтых на \(n^2-2\).

Можно рассмотреть задачу-антипод этой задачи, в которой квадрат с нечетной стороной \(2n-1\) тоже представлен в виде объединения вложенных квадратных рамок шириной 1. А его квадрирование выполнено в обратном порядке: центральный квадрат оставим без изменения; каждый квадрат окружающей его второй рамки разобьем на 4 квадрата, каждый квадрат третьей рамки разобьем на 9 квадратов и т. д. Каждый квадрат внешней рамки разобьем на \(n^2\) квадратов (рис. 11). На сколько квадратов оказался разбит данный квадрат при таком квадрировании? Попробуйте ответить на этот вопрос самостоятельно.

Рис. 11.

Что касается квадрирования, которое мы рассмотрели в нашей исходной задаче, то надо отметить, что задача решена только в конкретном случая при \(k=20\). Есть ли решение задачи при других \(k\), мне неизвестно.