Площади в параллелограмме

В этой задаче удобно перейти от параллелограмма к прямоугольнику. Подумайте, почему это возможно, и как это сделать, чтобы условия задачи не нарушились.

Как связаны площади треугольников с тем, в каком отношении их вершины делят стороны прямоугольника (и параллелограмма)?

Заметим, что площади всех четырех треугольников не изменятся, если мы «выпрямим» параллелограмм — то есть перейдем к рассмотрению прямоугольника, сохранив при этом основание, высоту и пропорции, в которых вершины треугольников делят стороны (рис. 2). Это так, потому что, как мы помним из школы, площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту (ни то, ни другое здесь не меняется, как видно из рисунка), а площадь параллелограмма равна просто произведению основания на высоту (и при переходе к прямоугольнику не меняется). Итак, вместо параллелограмма можно рассматривать прямоугольник.

Рис. 2.

Прежде чем решать задачу с большими числами и в общем случае, давайте проведем небольшое исследование для маленьких площадей. На рис. 3 показан прямоугольник 5×4, разбитый на четыре треугольника. Нетрудно увидеть, что площадь красного треугольника равна 3, площадь желтого равна 4, а площадь зеленого равна 5. Как и в условии задачи, площади трех треугольников являются последовательными натуральными числами (причем в том же порядке). Площадь оранжевого треугольника при этом равна 5×4 – (3+4+5) = 8.

Рис. 3.

На рис. 4 показан прямоугольник 13×10 с аналогичным разбиением на треугольники. Их площади (в том же порядке) равны 24, 25 и 26. Площадь внутреннего треугольника равна 55. Как связаны между собой числа в этих четверках?

Рис. 4.

Введем обозначения как показано на рис. 5 и пусть 2S — площадь всего прямоугольника. Обратите внимание, что \(a\) и \(b\) — это не длины, а дробные доли от сторон прямоугольника.

Рис. 5.

Тогда \(S_1/S=ab\), \(S_2/S=1-a\), \(S_3/S=1-b\). Из второго и третьего равенств следует: \(S\cdot a=S-S_2\) и \(S\cdot b=S-S_3\). Значит, \(Sa\cdot Sb=(S-S_2)(S-S_3)=S^2-(S_2+S_3)S+S_2S_3\). Учитывая, что \(ab=S_1/S\), получим равенство \(S_1\cdot S=S^2-(S_2+S_3)S+S_2S_3\), которое можно переписать в виде квадратного уравнения:

Воспользуемся тем, что числа \(S_1\), \(S_2\) и \(S_3\) в таком порядке являются последовательными натуральными числами: \(S_3=S_2+1\) и \(S_1+S_2+S_3=3S_2\). Получим:

Решим это уравнение относительно \(S\):

Отсюда \(X=2S-3S_2=\pm\sqrt{5S_2^2-4S_2}\), и, поскольку площадь положительна, окончательно получаем

Итак, \(\sqrt{5S_2^2-4S_2}=2584\). Положительный корень этого уравнения \(S_2=1156\). Вычитая единицу, находим \(S_1=1155\). Соответствующий прямоугольник имеет размеры 89×68.

Обсудим еще несколько любопытных вопросов, связанных с обсуждаемой в нашей задаче конфигурацией.

В решении мы получили, что площадь прямоугольника равна 2584 + 1155 + 1156 + 1157 = 6052. Также там приводились примеры двух меньших прямоугольников, допускающих аналогичное разбиение на треугольники, у трех из которых площади являются последовательными натуральными числами: их площади 20 и 130. Есть «промежуточные» по площади прямоугольники? И какие вообще могут быть у них площади?

Воспользуемся обозначениями и промежуточными результатами из решения. Для \(X\) (площади внутреннего треугольника) у нас была такая формула: \(X=\sqrt{5S_2^2-4S_2}\). Ее можно переписать следующим образом: \(5X^2=5\cdot(5S_2^2-4S_2)=(5S_2-2)^2-4\). Если обозначить \(U=5S_2-2\), то получим \(5X^2=U^2-4\). Это — так называемое обобщенное уравнение Пелля (см. Generalized Pell's equation). Его решения (соответствующие \(X\)) составляют последовательность 1, 8, 55, 377, 2584, 17711, 121393... (A033890 из OEIS). Три числа из этой последовательности уже фигурировали выше. Если площадь внутреннего треугольника равна 377, площади остальных треугольников получатся 168, 169 и 170, а весь прямоугольник будет иметь площадь 884.

Отметим еще одно свойство последовательности A033890. Внимательный читатель уже мог заметить, что ее члены \(a_n\) являются числами Фибоначчи, а именно: \(a_n = F_{4n + 2}\). Легко показать, что справедлива рекуррентная формула для последовательности площадей внутреннего треугольника: \(a_{n +2} = 7a_{n+1}-a_{n}\). Это вытекает из определения последовательности Фибоначчи и несложных преобразований.

Интересна последовательность площадей второго по величине треугольника (\(S_2\) в обозначениях из решения). В приведенных примерах это \(4=2^2\), \(25=5^2\), \(169=13^2\), \(1156=34^2\). Видно, что это квадраты, причем — квадраты чисел Фибоначчи. Всегда ли это верно?

Оказывается, что да. Докажем, что положительным корнем квадратного уравнения \(5t^2-4t-F_{4n+2}^2=0\) является \(F_{2n+1}^2\) (второй корень отрицательный — это следует из теоремы Виета). По сути, нам надо проверить, что при любом \(n\) выполняется тождество

Воспользуемся известным соотношением, позволяющим «делить» номер числа Фибоначчи на 2: \(F_{2k}=F_{k+1}^2-F_{k-1}^2\) (красивое геометрическое доказательство можно посмотреть, например, здесь). Получим:

Подставим:

Остается доказать, что

Проделаем несколько тождественных преобразований:

Последнее равенство — тождество Кассини для четного индекса. Значит, и исходное равенство является верным тождеством.