Антарктический ледниковый щит

Рис. 3. Линейный профиль температуры при теплопроводности через неподвижную пластинку

Вопрос может показаться неожиданным, поэтому стоит пояснить, на что надо опираться. Поскольку речь идет о распределении температуры, опираться надо на явление теплопередачи подземного тепла через антарктический лед. Вообще, теплопередача может идти за счет разных механизмов; два самых простых — это теплопроводность, то есть способность тепла просачиваться через неподвижный материал, и конвекция, перенос тепла вместе с самим веществом.

Законы теплопроводности по своей сути очень простые. Тепло стремится перетекать от более горячего тела к более холодному. Поэтому если две противоположных стороны какого-то куска материала имеют разную температуру, то внутри материала устанавливается распределение температуры, плавно меняющееся от одного края к другому. Перетекание тепла выражается простой формулой: поток тепла (измеряемый в ваттах) прямо пропорционален «резкости» перепада температур (на научном языке — градиенту температуры, измеряется в градусах/метр) и площади поверхности, через которую течет тепло. Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом теплопроводности; он измеряется в Вт/(м·К) и является характеристикой материала. В простейшем случае (для однородной неподвижной плоскопараллельной пластинки в стационарных условиях) температура зависит от расстояния линейно (см. рис. 3). Эта линейная зависимость выражает тот простой факт, что поток тепла проходит сквозь пластинку, нигде не накапливаясь и никуда не исчезая.

Однако если само вещество движется, то в теплопереносе, наряду с теплопроводностью, принимает участие и конвекция. В результате температурный профиль внутри вещества будет другим, и чем быстрее движение вещества, тем сильнее его отличие от линейного зависимости. График на рис. 1 заметно отличается от прямой линии, и оказывается, этого достаточно, чтобы примерно охарактеризовать, как темпы этих двух механизмов теплопередачи соотносятся друг с другом.

После этого остается понять, какие именно тепловые характеристики льда надо взять и что с ними надо сделать.

Рис. 4. Профиль температуры при теплопроводности через движущееся вещество, когда скорость движения мала (слева) или велика (справа)

Уравнение теплопроводности проходят во многих вузах, но основные закономерности тут можно вывести и самому, вспомнив лишь, как тепловая энергия связана с температурой.

Прежде всего, глядя на график температуры на рис. 1, можно сказать, что два механизма теплопередачи примерно одного порядка эффективности. Действительно, если бы эффект от конвекции был очень мал, отклонение от прямой линии было бы очень слабым (рис. 4, слева). И наоборот, если бы он был намного сильнее теплопроводности, то всё тепло осталось бы внизу, то есть график был бы очень резким (рис. 4, справа). А у нас в данных имеется как раз промежуточная ситуация.

Как сформулировать условие, что эти два механизма примерно одного порядка эффективности? Тепловой поток сквозь слой толщины H при перепаде температур ΔT на общей площади S составляет J₁ = kΔTS / H, где k — коэффициент теплопроводности. Встречный тепловой поток за счет движения всей массы ледника с вертикальной скоростью v составляет J₂ = CρvΔTS, где C и ρ — это теплоемкость и плотность льда. Получить эту формулу нетрудно. Возьмите небольшое время t, найдите, какой объем льда ушел из ледника (и такой же объем, только с более низкой температурой, «нарос» сверху), — получится Svt. Затем найдите, сколько тепла содержалось в этом объеме, и, как следствие, сколько тепла переместилось через ледник. Поделив это тепло на время t, получим J₂.

Теперь осталось сказать, что J₁ примерно равно J₂, сократить общие множители и найти скорость движения: v = α / H, где величина α = k / C ρ — это еще одна характеристика материала, коэффициент температуропроводности, который измеряется в м²/сек. Предполагая, что сползание ледника равномерное, получаем ответ:

    T ~ H / v = H² / α.

Для численной оценки нам нужны три тепловых характеристики льда: k, C и ρ. На этой страничке они приведены для самых разных температур. Подставив числа, получаем α чуть больше 10^–6 м²/сек. Для толщины ледника H = 4 км получаем время обновления порядка 500 тыс. лет.

Рис. 5. Разнообразные палеоклиматические данные, полученные из ледовых кернов на антарктической станции «Восток». Две горизонтальные шкалы показывают, как глубина (верхняя шкала) соотносится с временем образования льда (нижняя шкала). Изображение из статьи J. R. Petit et al., 1999. Climate and atmospheric history of the past 420,000 years from the Vostok ice core, Antarctica

В нашем простом вычислении мы не учитывали ни сложную геометрию и динамику движения ледника, ни подтаивание его внизу, ни зависимость всех коэффициентов от температуры. И тем не менее, несмотря на очень приближенные вычисления, мы получили на удивление точную оценку. На рис. 5 показана «хронология» антарктических льдов, взятых на станции «Восток». Видно, что она действительно простирается на несколько сот тысяч лет и захватывает несколько последних ледниковых периодов. (Подробнее про палеоклиматические исследования с помощью антарктического льда см., например, в новостях на «Элементах» Антарктический лед поведал о содержании метана и CO₂ в атмосфере Земли за последние 800 тысяч лет, 22.05.2008, и Оледенения сопровождались запылением на протяжении 800 тысяч лет, 14.04.2008.)

Можно, конечно, сделать и еще более простую оценку возраста антарктического ледника. Метеорологические измерения показывают, что характерная норма осадков на ледниковом щите составляет примерно 2,5 см льда в год. Если предположить, что ледник в среднем не растет и не утоньшается (а спутниковые наблюдения показывают, что так примерно и есть), то это и будет вертикальной скоростью движения льда. Правда, таким способом мы получим время обновления всего лишь 150 тыс. лет, что заметно меньше нашей прежней оценки и реальных данных.

Разгадка тут состоит в том, что 2,5 см в год — это норма осадков сейчас, в период межледниковья. Во время же оледенений, которые длились намного дольше, воздух был более сухой, и норма осадков в Антарктиде падала примерно вдвое. Поэтому оценку для возраста ледника надо удвоить, и это уже будет ближе к реальности.

Напоследок полезно заметить вот еще что. Из параметров нашей задачи (скорость, толщина, параметры вещества) можно составить особую безразмерную комбинацию, которая называется число Пекле этой задачи:

    Pe = H v / α.

Число Пекле как раз характеризует то, во сколько раз теплоперенос за счет конвекции эффективнее теплопроводности. По сути, при решении нашей задачи мы, глядя на график температур, постановили, что число Пекле примерно равно единице. Ценность таких безразмерных чисел (а они постоянно встречаются в гидродинамике) заключается в том, что именно эти числа, а не конкретные размеры или скорости сами по себе, определяют режим течения или теплопередачи. Иными словами, если мы захотим сделать настольную модель антарктического ледника с правильным температурным распределением по толщине, то нам надо позаботиться о том, чтобы число Пекле было тем же самым (то есть для H = 10 см скорость движения льда должна быть несколько сантиметров в час).