Морозное дыхание

Можно воспользоваться следующей упрощенной картиной процесса: к данной порции воздуха непрерывно подмешивается окружающий воздух, причем состояние смеси все время однородно. Для записи математической формулировки следует принять, что при смешении происходит сложение внутренних энергий объединяющихся порций воздуха. Внутреннюю энергию можно считать пропорциональной температуре и массе сухого воздуха.

Если вы проводили рассуждения в аналитическом виде, воспользуйтесь графическим представлением полученных формулировок на диаграмме «абсолютная влажность — температура».

    1) Примем картину процесса такой, как указано в первой подсказке. Введем обозначения. Исходное состояние выдыхаемого воздуха представим точкой \(A\) на диаграмме «абсолютная влажность — температура», его температуру будет обозначать \(T_A\), а абсолютную влажность \(d_A\). Аналогично, имеем состояние окружающего воздуха, представленное точкой \(B\), и соответствующие температуру и влажность. Пусть к порции выдыхаемого воздуха, в которой масса сухого воздуха равна \(m_A\), добавился окружающий воздух в количестве, в котором масса сухого воздуха равна \(m_B\). В образовавшейся смеси масса сухого воздуха будет равна \(m_{\text с.в.}=m_A+m_B\), масса влаги, как это следует из определения абсолютной влажности, равна \(m_{\text вл.}=m_Ad_A+m_Bd_B\), а абсолютная влажность — \(d=\frac{m_Ad_A+m_Bd_B}{m_A+m_B}\).

Будет полезно ввести обозначение \(x=m_B/(m_A+m_B)\). В ходе взаимодействия порции воздуха с окружением масса примешанного к ней окружающего воздуха растет, поэтому \(x\) нарастает от начального значения \(x=0\) до значений, сколь угодно близких к 1. С использованием \(x\) выражение для абсолютной влажности перепишется так: \(d=(1-x)d_A+xd_B\).

Проделаем те же рассуждения для внутренней энергии. У смешиваемых порций она равна \(m_ACT_A\) и \(m_BCT_B\), где \(C\) — коэффициент пропорциональности, подразумеваемый в утверждении из подсказки «внутренняя энергия пропорциональна массе сухого воздуха и температуре». Сумма этих энергий — внутренняя энергия смеси — точно так же пропорциональна суммарной массе сухого воздуха и температуре смеси \(T\):

Отсюда выражаем температуру смеси и используем введенное выше обозначение \(x\):

Два полученных нами выражения, \(d=(1-x)d_A+xd_B\) и \(T=(1-x)T_A+xT_B\) описывают линейную связь между величинами \(d\) и \(T\), поскольку и та, и другая величина зависит от \(x\) линейным образом.

Переходим к графическому представлению. Линейная связь между величинами \(d\) и \(T\) означает, что множество состояний, соответствующих разным значениям \(x\), располагаются на какой-то прямой на диаграмме. Учтем, что \(x\) принимает значения от 0 до 1, причем крайним значениям \(x\) соответствуют состояния \(A\) и \(B\). Отсюда следует, что прямая, на которой лежат состояния, должна проходить через точки \(A\) и \(B\), и что все возможные состояния лежат между \(A\) и \(B\). Итак, на диаграмме «абсолютная влажность — температура» состояния порции теплого воздуха, смешанной с произвольным количеством окружающего, соответствуют точкам, лежащим на отрезке \(AB\) (рис. 2).

Рис. 2. Возникновение пересыщенных состояний воздуха при взаимодействии теплого влажного воздуха с холодным окружающим

При добавлении массы окружающего воздуха состояние движется от точки \(A\) к \(B\), проходя последовательно все точки отрезка \(AB\) (не достигая точки \(B\), но это для нас неважно). Если часть отрезка \(AB\) лежит в области пересыщенного воздуха, то по ходу процесса воздух пройдет через эти состояния и будет наблюдаться туман. Возможно ли это, учитывая, что оба конца отрезка находятся в ненасыщенной области? Здесь нужно обратить внимание на то, что кривая \(d_{\text нас}(T)\), разделяющая эти области, выпукла вниз. Поэтому отрезок \(AB\) может пересечь ее. Пример такой ситуации показан на рис. 2.

Итак, ответом на вопрос «Какие условия должны выполняться для того, чтобы наблюдалась конденсация пара» таков: отрезок на диаграмме «абсолютная влажность — температура», соединяющий точки состояний выдыхаемого воздуха и наружного, должен пересекать кривую \(d_{\text нас}(T)\). Такие ситуации принципиально возможны благодаря тому, что функция \(d_{\text нас}(T)\) выпукла вниз, то есть имеет положительную вторую производную (для порядка добавим — хотя бы на некоторых участках).

Интересно, что в отвергнутом нами варианте объяснения, не учитывавшем обмен влагой, сама возможность образования тумана связывалась с ростом функции \(d_{\text нас}(T)\), то есть с положительностью ее первой производной. Учет обмена влагой не уточняет это утверждение, а дает совершенно иное — ведь знаки первой и второй производной в общем случае никак не связаны. Будь зависимость \(d_{\text нас}(T)\) растущей, но с отрицательной второй производной (как, например, функция температуры \(\sqrt T\)), обсуждаемое явление было бы невозможным.

    2) Как можно заметить, в математических формулировках и их графическом представлении на рис. 2 состояния \(A\) и \(B\) равноправны. Так же, как мы говорим о взаимодействии порции теплого влажного воздуха с холодным окружением, мы можем говорить и о взаимодействии порции холодного воздуха с теплым влажным окружением, и, в более общей формулировке, — о смешении масс воздуха, имеющих различающиеся состояния. Такие явления очень распространены и часто сопровождаются образованием тумана. Не всегда можно уверенно отнести конкретное явление к тем, в которых конденсированная влага выделяется именно в результате смешения или к тем, в которых она выделяется из-за объемных потерь энергии воздуха, то есть по причине охлаждения, не сопровождаемого влагообменом. Примеры явлений второго типа — образование облаков в восходящих потоках воздуха, в которых внутренняя энергия убывает по причине снижения давления и расширения по мере увеличения высоты, или образование так называемого радиационного тумана, когда воздух теряет энергию за счет испускания теплового излучения в тихую ясную ночь. К явлениям первого типа относятся, например, струя «пара» из носика чайника (чистый пар — тоже частный случай влажного воздуха), туман, который мы видим зимой над полыньей или незамерзающим участком реки за плотиной ГЭС, туман, окружающий очень холодный предмет (скажем, извлеченный из жидкого азота — наверняка вам приходилось видеть подобное если не вживую, то на экране), туманные струи воздуха, которые возникают, если открыть настежь окно в мороз — одна устремлена из нижней половины окна в помещение, вторая — из верхней половины окна наружу. Во всех этих явлениях есть общее — то, что область, в которой наблюдается туман, ограничена окрестностями зоны первоначального контакта разнотемпературных масс. На некотором расстоянии от этой зоны туман не просто редеет — он исчезает полностью.

Обращаясь снова к математическим формулировкам и к диаграмме, можно понять причину этого. На достаточном удалении от зоны взаимодействия масс или потоков воздуха мы будем наблюдать состояния вещества, близкие к состоянию воздуха в одном или другом потоке, то есть к точкам \(A\) или \(B\). Поскольку эти состояния находятся в области ненасыщенных, тумана в них и не наблюдается.

Расчет смешения масс влажного воздуха с различающимися состояниями, сопровождаемого выделением конденсированной влаги, — традиционная задача курса технической термодинамики, который изучают, в частности, будущие теплотехники. В нашей задаче, по сути, применяется именно термодинамический подход: мы рассматриваем однородное, термодинамически равновесное состояние воздуха, устанавливающееся после объединения двух порций с различающимися состояниями. Осталось понять, насколько такой подход применим при рассмотрении тех процессов, которые мы обсуждали.

Рис. 3. Визуализация турбулентного течения: струя, содержащая флуоресцентную примесь, входит в неподвижную среду. Рисунок с сайта en.wikipedia.org

Вот неполный ответ: он применим, в частности, в случае, когда движение воздуха является турбулентным. Для различных аэродинамических явлений, наблюдаемых невооруженным глазом, турбулентное течение намного более типично, чем ламинарное. Турбулентное течение представляет собой множество вихрей, размеры которых варьируются в широких пределах, от крупных (при выдыхании воздуха — размером в несколько сантиметров), до намного более мелких (десятые доли миллиметра). Вихри «перетасовывают» друг с другом порции веществ из смешивающихся воздушных масс; это происходит гораздо быстрее, чем обмен теплом и влагой между перетасовываемыми порциями, протекающий посредством сравнительно медленных процессов диффузии и теплопроводности. Процессы, подобные обсуждаемому, можно наблюдать практически непосредственно. Например, на рис. 3 показан процесс распространения флуоресцентной примеси, вносимой в жидкую среду турбулентной струей. Обратите внимание на то, как по мере удаления от источника струи растягиваются и складываются, а перемежающиеся области с низким и высоким содержанием примеси истончаются.

Диффузия и теплопроводность выравнивают температуру и влагосодержание уже предварительно перетасованных масс, создавая однородную смесь, состав которой подчиняется выведенным нами соотношениям. В каких случаях процесс будет выглядеть иначе? Для этого необходимо, во-первых, чтобы отсутствовало турбулентное перемешивание, и, во-вторых, чтобы диффузия пара и теплопроводность протекали с существенно различными скоростями. В воздухе эти скорости как раз достаточно близки, но если мы рассмотрим, например, гелий с примесью водяного пара, то в нем теплопроводность — существенно более быстрый процесс, чем диффузия пара. Ламинарная струя теплого влажного гелия, втекающая в холодное окружение, будет охлаждаться быстрее, чем терять влагу, что делает конденсацию влаги более вероятной и более интенсивной, чем это предсказывает наша модель.

Вопрос «почему» можно — и даже нужно — продолжать задавать и дальше. Положительность второй производной \(d_{\text нас}(T)\) выглядит достаточно специфическим обстоятельством и стоит разобраться, чем она обусловлена. Кстати, физик предпочел бы охарактеризовать зависимость \(d_{\text нас}(T)\) не как «имеющую положительную вторую производную», а как «растущую по закону, более быстрому, чем линейный». Действительно, скорость ее роста хорошо заметна. Она близка к экспоненциальной: если проанализировать численные данные, то можно убедиться, что для любой пары значений температуры, различающихся на 40 градусов, насыщенная абсолютная влажность различается на порядок.

Обсуждаемое свойство является частным проявлением более общего — того, что плотность насыщенных паров самых разнообразных веществ быстро растет с ростом температуры. Насыщенный пар — это пар, находящийся в равновесии с жидкостью, состоящей из того же вещества, что и он сам; таков и пар во влагонасыщенном воздухе. Равновесие между жидкостью и паром — это равновесие динамическое: множество молекул ежесекундно падает на поверхность жидкости из пара, а навстречу им из жидкости вырывается то же число молекул. Если мы не рассматриваем случаи высоких давлений (десятки и сотни атмосфер), то плотность насыщенного пара на 2, 3 и более порядков ниже плотности жидкости. За счет чего же уравниваются частоты выхода молекул из жидкости в пар и падения молекул пара на жидкость?

Выходу молекул из жидкости препятствует энергетический барьер, создаваемый взаимным притяжением молекул. Жидкость может испаряться, но плотность пара над ней на много порядков меньше плотности жидкости; в полном соответствии с этим, энергетический барьер не является совершенно непреодолимым, но преодолевают его молекулы сравнительно редко. Высота барьера в один-два десятка раз превышает энергию, которой в среднем располагает молекула. Откуда же берутся молекулы, способные его преодолеть? Это — результат случайных процессов энергообмена в столкновениях между молекулами. Механика столкновений такова, что молекула, у которой энергии много, может получить прибавку от молекулы, у которой ее мало (рис. 4). Но получить она может только порцию порядка средней энергии, а потерять — существенную часть той, что имеет. Притом еще и вероятность благоприятного исхода столкновения с ростом энергии сильно снижается.

Рис. 4. Пример упругого столкновения молекул, в котором менее энергичная отдает часть своей энергии более энергичной. Показаны моменты до и после столкновения. Стрелки — вектора скорости. Начальные энергии молекул различаются в 10 раз, конечные — в 30 раз. Рассматривая начальные положения молекул как случайные, можно рассчитать вероятности различных исходов столкновения. При данных начальных векторах скорости вероятность того, что более энергичная молекула увеличит свою энергию, равна 16%. Вероятность того, что она потеряет более половины своей энергии, равна 46%

Чтобы добраться до «главного приза» — энергии, достаточной для преодоления барьера, нужно 10–20 раз подряд удачно столкнуться, потому и происходит это очень редко. Что же произойдет, если увеличить температуру, а с ней — среднюю энергию молекул, всего, скажем, на 10%? «Количество удачных столкновений подряд», требуемых для достижения высоты барьера, снизится на 10%, то есть на одно или два. Это означает исключение одного-двух этапов, вероятность прохождения которых мала, то есть многократное увеличение вероятности получения «главного приза» и, соответственно, частоты выходов молекул из жидкости. Для перехода же из пара в жидкость никакого барьера нет. Притяжение молекул жидкости действует только в непосредственной близости от ее поверхности и никак не влияет на количество частиц, падающих на нее из пара. Это количество пропорционально плотности пара и слабо зависит от температуры. И два отмеченных обстоятельства: (1) быстрый рост частоты выхода молекул из жидкости с ростом температуры и (2) равновесие между процессами перехода молекул из жидкости в пар и обратно, дают быстрый рост плотности насыщенного пара как функции температуры.

В заключение отметим, что «лотереи», наподобие описанной здесь, в микромире происходят постоянно. Иногда они приводят к наблюдаемым на макроуровне результатам даже более непосредственным образом, чем в рассмотренной задаче: воспламеняется горючая смесь, проскакивает искра между электродами, взрывается капля воды, оказавшаяся под слоем масла на разогревающейся сковороде. Общая особенность таких «лотерей» состоит в том, что «выигрыш» в них является, по меркам микромира, очень редким событием, частота которого очень быстро растет или падает с изменением параметров, влияющих на ход случайных процессов. Для физики процесса воспламенения крайне важно, что скорость химической реакции, нуждающейся в активации молекулы реагирующего вещества (в получении ей первичной порции энергии), ничтожно мала при комнатной температуре и быстро растет с увеличением температуры. Аналогично, скорость роста числа свободных электронов при электрическом пробое газа изменяется на много порядков, с ничтожно малой до существенной, при увеличении приложенного напряжения в полтора-два раза. То же самое происходит с частотой образования пузырьков пара в перегретой жидкости при увеличении перегрева на десяток градусов.