Маятник Капицы
Физическая система находится в равновесии, если в отсутствие внешних воздействий ее состояние не меняется. Равновесия бывают двух типов — устойчивые и неустойчивые.
Система, находящаяся в устойчивом равновесии, после небольшого воздействия возвращается в исходное состояние. Например, если слегка потрясти стакан с водой, то через некоторое время вода успокоится (волны и течение воды, возникшие из-за встряхивания, затихнут). Похожая с физической точки зрения ситуация наблюдается и в звездах. В них устойчивое равновесие между давлением газа и гравитацией обеспечивается отрицательной теплоемкостью (см. задачу Звездное равновесие): любые отклонения от равновесия быстро компенсируются, и звезда возвращается в свою исходную кондицию.
Неустойчивое равновесие, напротив, характеризуется тем, что сколь угодно маленькое воздействие на систему приводит к сильному изменению ее состояния. Например, если поставить ручку идеально вертикально (так, чтобы ее центр тяжести оказался в точности над точкой соприкосновения с поверхностью), то ручка будет в состоянии равновесия. Однако стоит слегка отклонить ручку, она сразу начнет падать. Так как реальные физические системы никогда не бывают абсолютно изолированными, то любая система за конечное время перейдет из неустойчивого равновесия в какое-то устойчивое (у сложных систем может быть несколько состояний равновесия).
Задача
В этой задаче предлагается рассмотреть одну из простейших механических систем — математический маятник длиной \(l\) с грузом массы \(m\) (рис. 1), закрепленный в точке \(O\). Можно легко проверить, что у такого маятника две точки равновесия: в точке \(A_1\) оно устойчивое (любые отклонения возвращают маятник обратно), а в точке \(A_2\) — неустойчивое (любые отклонения приводят к тому, что маятник падает вниз).
А можно ли превратить неустойчивое равновесие в точке \(A_2\) в устойчивое? Докажите, что если быстро периодически двигать точку подвеса \(O\) вверх и вниз, то точка \(A_2\) может стать точкой устойчивого равновесия (рис. 2). С какой минимальной частотой нужно двигать точку подвеса?
Рис. 2. Если с некоторой частотой двигать точку \(O\) вверх и вниз, то точка \(A_2\) станет точкой устойчивого равновесия
Подсказка 1
Рассмотрите сперва ту же задачу в невесомости. Какие в этом случае точки равновесия?
Подсказка 2
Задачу удобнее всего рассматривать в системе отсчета точки \(O\). Эта система неинерциальная, поэтому в ней на маятник действует (помимо гравитации) дополнительная сила инерции \(\mathbf{F}=-m\ddot{z}(t)=m\omega^2 z(t)\). Пользуйтесь тем, что если усреднить \(\sin{\omega t}\) за полный период синусоиды, то получится ноль. При этом среднее от \(\sin^2{\omega t}\) за тот же промежуток равно 1/2.
Решение
Давайте сперва упростим задачу: выключим гравитацию. Тогда, если точка \(O\) подвеса маятника никуда не двигается, то маятник будет находиться в покое в любом положении. Если же точка \(O\) начнет двигаться, то на маятник будет действовать инерциальная сила в системе отсчета, связанной с точкой \(O\). Как указывалось в подсказке, она равна \(F=-m\ddot{z}(t)=m\omega^2 z(t)\) (где \(z(t)=a\sin(\omega t)\) — вертикальное положение точки \(O\) в зависимости от времени). На самом деле, конечно, эта сила фиктивная, она существует только в неинерциальной системе отсчета, связанной с точкой \(O\).
Предположим, что изначально маятник находился перпендикулярно направлению движения точки \(O\). Тогда за период колебания в среднем на маятник будет действовать одна и та же инерциальная сила, направленная сперва вверх, а затем вниз (см. анимацию на рис. 3, на котором справа показана эта ситуация в системе отсчета, связанной с точкой \(O\)). Таким образом, маятник будет колебаться лишь горизонтально (перпендикулярно оси движения подвеса), никуда не сдвигаясь. Связано это с тем, что средний момент сил инерции, которые всегда направлены либо вертикально вниз, либо вверх, за время колебания подвеса равен нулю.
Рис. 3.
Теперь подумаем, что случится, если гравитация по-прежнему выключена, мы начнем двигать точку \(O\), но начальное положение маятника уже не горизонтально. Если взять достаточно короткий период времени (сравнимый с периодом колебаний точки \(O\), равным \(2\pi/\omega\)), маятник будет совершать движение, очень похожее на то, что мы видели раньше: он будет колебаться вокруг некоторого равновесия(показанного на рис. 4 красной линией) с частотой \(\omega\). Однако можно заметить, что в этом случае за время одного колебания средний момент сил, действующих вниз (вращающих маятник по часовой стрелке), слегка меньше, чем момент сил, действующих вверх. Из-за этого ось равновесия (показанная красным) будет медленно поворачиваться вверх — пока не станет вертикальной. Очевидно, что если бы начальный угол с вертикалью был бы тупой (то есть если бы маятник изначально слегка был наклонен вниз), то ось поворачивалась бы вниз.
Рис. 4.
Движение маятника, таким образом, можно разделить на две компоненты: быструю и медленную (рис. 5): маятник будет быстро колебаться, меняя угол \(\xi(t)\) относительно некоторого временного равновесия, которое направлено под углом \(\theta(t)\) к вертикали, а оно, в свою очередь, будет из-за нескомпенсированного момента сил поворачиваться, чтобы стать вертикальным. Далее, «включив» гравитацию, мы убедимся, что именно этот небольшой дисбаланс между усредненными моментами сил, действующими вниз и вверх, и будет обеспечивать стабилизацию маятника. Но сперва давайте более формально покажем существование этого несбалансированного момента сил.
Рис. 5. Движение маятника с осциллирующим подвесом можно разделить на две компоненты: быструю (колебания угла \(\xi\)) и медленную (поворот угла \(\theta\))
С помощью теоремы синусов можно заметить, что если угол \(\xi\) достаточно мал (что соответствует малой амплитуде колебаний в сравнении с длиной маятника \(z \ll l\)), то
\[ \sin{\xi(t)} \approx \xi(t) \approx \frac{z(t)}{l}\sin\theta(t). \]Момент инерциальных сил, действующих на маятник (по сути, на красный шар), равен:
\[\begin{align} M(t) &= F(t) l \sin{\left(\theta(t)+\xi(t)\right)} =\\&= F(t)l \left(\cos{\theta}\sin{\xi}+\sin{\theta}\cos{\xi}\right) \approx F(t)l\xi\cos{\theta}+F(t)l\sin{\theta}, \end{align}\]где мы воспользовались тем, что \(\xi \ll 1\). Вспомним теперь, что \(F(t) =-m\omega^2 z(t)\) и \(\xi \approx (z(t) / l) \sin{\theta}\). Получим:
\[\begin{align} M(t) \approx-m\omega^2 z(t) l\cos{\theta} (z(t) / l) \sin{\theta}&-m\omega^2 z(t) l\sin{\theta} =\\=-m\omega^2 z^2(t)&\sin{\theta}\cos{\theta}-m\omega^2 z(t) l \sin{\theta}.\end{align}\]Усреднив это выражение за один период колебания \(2\pi/\omega\), и приняв, что угол \(\theta\) за это время практически не меняется, получим:
\[\langle M(t)\rangle = -\frac{1}{4} m a^2\omega^2\sin{2\theta},\]где мы воспользовались информацией из подсказки: \(\langle z(t)\rangle = 0\), и \(\langle z^2(t)\rangle = a^2/2\). Заметьте, что вторая компонента момента сил в среднем равна нулю, и дисбаланс возникает именно за счет того, что угол \(\xi\) хоть и мал, но не бесконечно малый (то есть, когда сила действует вниз, шарик находится в среднем ближе к оси колебания точки \(O\), чем когда сила действует вверх).
Получается, что при ненулевом угле \(\theta\) на наш маятник с колеблющимся основанием действует ненулевой момент сил, который в среднем стремится уменьшить угол \(\theta\) до нуля (или, если \(\theta\) тупой, то увеличить его до \(\pi\)).
Давайте теперь включим в эту картину гравитацию и посмотрим, что изменится. На самом деле, в системе отсчета точки \(O\) включение гравитации абсолютно идентично добавлению к силам инерции действующей вниз постоянной силы \(F_g = mg\). Давайте снова вернемся к уравнению для момента сил:
\[ M(t) = F(t) l \sin{\left(\theta(t)+\xi(t)\right)},\]где сила \(F(t) = -m\omega^2 z(t) + mg\) уже включает в себя гравитацию. С помощью тех же расчетов можно убедиться, что усредненный момент сил в таком случае будет равен
\[ \langle M(t)\rangle \approx -\frac{1}{4} m a^2\omega^2\sin{2\theta} + mgl\sin{\theta}.\]В случае острого угла \(\theta\) (как показано на рис. 4) средний момент инерциальных сил будет стремиться повернуть ось равновесия (красную линию) против часовой стрелки (до \(\theta=0\)), тогда как момент гравитационного притяжения будет стремиться повернуть ось по часовой стрелке. Поэтому, если «побеждают» силы инерции, то верхняя точка \(A_2\) с рис. 2 будет устойчивой точкой равновесия: любые отклонения будут возвращать маятник в исходное вертикальное положение из-за сил инерции.
Теперь можно задаться вопросом, при каких условиях это происходит. С помощью формулы, полученной выше, это легко увидеть, приняв, что движение происходят достаточно близко к точке равновесия — при \(\theta\ll 1\). Тогда средний момент сил будет равен:
\[ \langle M(t)\rangle \approx -\frac{1}{2} m a^2\omega^2\theta + mgl\theta.\]Тогда, если амплитуды и частота колебаний достаточно большие, \(a^2\omega^2 > 2gl\), то верхняя точка будет устойчивым равновесием.
Послесловие
Равновесные состояния — это такие конфигурации системы, которые удовлетворяют уравнениям «движения» (эволюции) этой системы и не зависят от времени. Для неустойчивых равновесий малейшее отклонение от этого состояния приводит к возникновению нарастающей силы, стремящейся еще больше «увести» систему от этого состояния. Маятник Капицы, описанный выше — это простейший пример стабилизации такого неустойчивого состояния при помощи внешнего воздействия. Впервые математически эту систему описал Петр Леонидович Капица в 1951 году в статье Маятник с вибрирующим подвесом.
Капица даже сделал из швейной машинки ее работающую модель и любил удивлять своих гостей демонстрацией устойчивого перевернутого маятника. Обязательно послушайте замечательный рассказ Владимира Игоревича Арнольда о том, как он узнал об этом эффекте от Капицы (видео доступно на сайте «Математические этюды»). После этого Арнольд понял, что обоснование устойчивости перевернутого маятника с колеблющимся подвесом следует из теории Колмогорова — Арнольда — Мозера — сложного математического аппарата в теории динамических систем, служащего для описания небольших возмущений при почти периодическом движении. Арнольд, как следует из названия, был одним из соавторов этой теории. Он тоже сделал модель перевернутого маятника — из электробритвы.
Вообще, устойчивость положений равновесия в физике важна не только с инженерной точки зрения. Любая система — будь то удерживаемые собственной гравитацией звезды в шаровом скоплении, плазма в Токамаке или гипотетическое поле, вызывающее инфляцию в ранней Вселенной, — стремится к устойчивому равновесию. Неустойчивые равновесия не могут существовать долго, из-за наличия большого количества сторонних шумов и «неидеальностей».
К примеру, для производства энергии из плазмы в Токамаках необходимо удерживать плазму тороидальной конфигурации в равновесии достаточно долго. Еще в 50–60-х прошлого века были найдены равновесные конфигурации такой тороидальной плазмы, в которых для поддержания равновесия к плазме применялось внешнее магнитное поле. Однако, как оказалось позже, и с чем «сражаются» физики плазмы до сих пор — эти равновесные состояния неустойчивы, и за очень короткое время такая конфигурация разрушается.
Примером такого поведения плазмы является «кинковая» неустойчивость (рис. 6). Плазма поддерживается внешним магнитным полем, но если конфигурация немного отходит от абсолютного равновесия, то на одну из сторон начинает действовать большее магнитное «давление», чем на другую. Из-за этого даже малейшие отклонения очень быстро нарастают и выводят плазму в новое состояние.
Рис. 6. «Кинковая» неустойчивость в тороидальной плазме. Слева — первое фото такой неустойчивости, наблюдавшееся в трубке из пирекса (разновидность боросиликатного стекла) радиусом 25 см и толщиной 3 см. Фото начала 1950-х годов с сайта en.wikipedia.org
Перевернутый маятник в некотором смысле является простейшей демонстрацией такого устойчивого/неустойчивого равновесия. Уравнения колебания плазмы вокруг равновесия в Токамаках, уравнения пертурбаций моста от воздействия ветра и многие другие уравнения, возникающие при описании физических систем, в первом приближении математически идентичны колебаниям маятника. Поэтому рассуждение о стабилизации неустойчивого равновесия применимо и к этим системам тоже. Аналогичные идеи используются, скажем, для контроля колебаний небоскребов под влиянием сильных ветров.
Еще одним примером проявления эффектов, которые приводят к устойчивости перевернутого маятника, служат «пальцы», образующиеся на поверхности смеси крахмала и воды (являющей неньютоновской жидкостью), если ее двигать с достаточно большой частотой, чего можно добиться, поместив смесь на обычный динамик. При этом можно даже оценить максимальную высоту «пальцев». Если колебания происходят с амплитудой 2–3 мм с частотой 50–60 Гц, то из результата, полученного в задаче, следует, что максимальная длина «пальцев» будет 2–4 см, причем, чем больше частота колебаний, тем выше должны быть крахмальные «пальцы». Предлагаю экспериментально проверить, так ли это :)
Колебания крахмальной смеси на поверхности динамика
Удивительно, но схожие эффекты наблюдаются не только в физических системах. В экономике описывается ситуация, когда в условиях быстро меняющейся динамики спроса/предложения (к примеру, спрос может сильно зависеть от дня недели или времени) неустойчивые равновесия рынка (то есть конфигурация цен, в которой спрос и предложение равны) становятся устойчивыми (см. J. A. Hołyst, W. Wojciechowski, 2003. The effect of Kapitza pendulum and price equilibrium).
Рис. 1. Математический маятник, закрепленный в точке \(O\), имеет два положения равновесия: устойчивое в точке \(A_1\) и неустойчивое в точке \(A_2\)