Уровни Ландау

Напомним, что сила, действующая на электрон в магнитном поле, равна \(evB/c\) (в системе СГС) и перпендикулярна скорости электрона. Поэтому электрон будет двигаться по окружности с постоянной скоростью. Правило Бора — Зоммерфельда означает, что на этой окружности помещается целое число волн де Бройля: из этого следует, что не все скорости и радиусы допустимы.

Чтобы получить ответ на второй вопрос задачи, можно считать, что каждая орбита занимает определенную площадь, и орбиты разных электронов не перекрываются. Это — крайне упрощенная версия принципа запрета Паули.

Сначала разберемся, как устроена классическая траектория электрона. Пусть скорость электрона равна \(v\). Тогда из выражения для силы Лоренца следует, что его центростремительное ускорение равно \(|e|vB/mc\). Следовательно, радиус орбиты — \(R_{\text орб} = v^2/a = pc/|e|B\). (Заряд электрона отрицателен, поэтому мы пишем его модуль.)

Теперь применим правило квантования Бора — Зоммерфельда: на окружности, по которой движется электрон, должно помещаться целое число волн де Бройля. В результате получим \(n = p^2c/(|e|B\hbar)\), откуда находим дискретный набор уровней энергии \(E = (|e|B/mc)\cdot \hbar n/2 = \nu_L\cdot h\cdot n/2\), где \(\nu_L\) — циклическая частота движения электрона в магнитном поле (она называется циклотронной, или ларморовской, частотой: отсюда индекс L). Дискретные уровни энергии для заряженной частицы в магнитном поле называются уровнями Ландау.

Полученный ответ, однако, должен насторожить. Мы получили набор дискретных уровней энергии, равных \(E_n = h\cdot \nu_L\cdot n/2\) . Как известно, при переходе квантовой частицы между двумя уровнями энергии она может испустить фотон с частотой \(\Delta E/h\): это обсуждалось, например, в задаче Металлический блеск кремния. Значит, в нашей задаче для перехода между соседними уровнями частота фотона должна быть равна \(E_{n+1}- E_{n} = h\nu_L/2\). Но в то же время классическое движение электрона в магнитном поле имеет частоту \(\nu_L\). Естественно было бы ожидать, что излучаемые электромагнитные волны будут иметь ту же самую частоту. Значит, в наше «квазиклассическое» рассуждение закралась ошибка.

Мы правильно получили, что в магнитном поле есть дискретные уровни энергии, и ответ получился верным по порядку величины. Однако коэффициент оказался неправильным: точный квантовомеханический ответ, который получается из уравнения Шредингера, имеет вид \(E_n = h\nu_L\cdot(n + 1/2)\) и отличается от нашего на множитель 2. (Кроме того, он содержит дополнительное слагаемое \(h\nu/2\), но оно не очень существенно, так как основное значение имеют расстояния между уровнями). Расстояние между соседними уровнями энергии для этого набора уровней — уже \(h\nu_L\), поэтому частота перехода между ними — \(\nu_L\), классическая частота движения электрона.

Лишний множитель 1/2 появился в нашем решении из-за того, что не был учтен важный физический эффект. Оказывается, в квантовой механике магнитное поле не только действует на частицу посредством силы Лоренца, но и дает дополнительную добавку к фазе волны де Бройля. Из-за этого магнитное поле влияет на интерференцию волн де Бройля и, в частности, модифицирует правило квантования Бора — Зоммерфельда. Необходимая модификация правила квантования и исправленный вывод для уровней Ландау будут даны в послесловии. А пока что ответим на второй вопрос задачи: ведь, несмотря на обидный множитель 1/2, по порядку величины все наши оценки были правильные.

В нашем упрощенном рассмотрении нижний уровень Ландау соответствует \(n = 1\). В этом случае электрон движется по орбите с радиусом \(R = pc/|e|B\), где \(p^2 = |e|B \hbar/с\). Значит, площадь, занимаемая орбитой электрона, равна \(S_{\text орб} = \pi\hbar c/(e B)\). Из-за принципа Паули можно считать, что орбиты разных электронов не перекрываются. Значит, на плоскости помещается \(N = S/S_{\text орб} = eBS/(\pi\hbar c)\) электронов с \(n = 1\), а двумерная плотность электронов на нижнем уровне Ландау — просто \(\rho = eB/(\pi\hbar c)\).

Изменение фазы, вызванное магнитным полем, является причиной удивительного физического эффекта — эффекта Ааронова — Бома. Математически влияние магнитного поля на фазу можно сформулировать следующим образом: пусть есть две различные траектории, соединяющие точки 1 и 2. Тогда добавка к разности фаз при движении по этим траекториям равна \(\Delta \phi = e \Phi/(\hbar c)\), где \(\Phi\) — поток магнитного поля через контур, составленный из двух траекторий.

Из этого следует, что магнитное поле может влиять на движение частицы, даже если частица находится в области, где напряженность поля равна нулю. Например, магнитный поток меняет интерференционную картину в классическом эксперименте с двумя щелями, изображенном на рис. 3.

Рис. 3. Интерференционный эксперимент с двумя щелями в присутствии магнитного потока. Источник частиц испускает электроны, которые могут пройти через одну из двух щелей в первом экране (возможные пути электронов схематично показаны ломаными, каждая из которых состоит из двух отрезков, и образуют ромб). Из-за интерференции волн де Бройля на правом экране, где находятся детекторы электронов, возникают интерференционные полосы: в некоторых точках экрана вероятность обнаружить электрон равна нулю (схематично это изображено пунктирной волнистой линией). Магнитный поток через соленоид меняет фазу относительного движения по двум траекториям и «сдвигает» интерференционные полосы. Рисунок из статьи E. Shech, 2017. Idealizations, essential self-adjointness, and minimal model explanation in the Aharonov–Bohm effect

В эксперименте с двумя щелями на экране, где детектируются электроны, возникают полосы от интерференции двух волн де Бройля электрона, проходящих через разные отверстия. Если волны приходят в точку экрана с одинаковыми фазами, то вероятность обнаружить электрон в этой точке увеличивается. Если же фазы различны, вероятность падает почти до нуля. В частности, очевидно, что в центре экрана, в точке, расположенной симметрично относительно двух отверстий, обязательно должен быть интерференционный пик, потому что фазы на двух симметричных траекториях одинаковы.

Теперь представим, что через соленоид (см. рис. 3) течет ток, и в нем есть магнитное поле. Тогда симметрия между траекториями, проходящими через отверстия, нарушается, и дополнительная разность фаз, вызванная магнитным потоком через соленоид, сдвигает интерференционные полосы. В частности, если \(\Delta \phi = eB/\hbar c = \pi\), то в центре экрана будет интерференционный минимум. Удивительно, что эффект присутствует, даже если все магнитное поле сосредоточено внутри соленоида, а электроны внутрь него проникать не могут.

Теперь вернемся к обсуждению исходной задачи об электроне в магнитном поле. Чтобы получить правильный ответ, необходимо учесть добавку к изменению фазы, обусловленную магнитным полем. Теперь изменение фазы состоит из двух слагаемых: первое — это фаза волны де Бройля, а второе определяется магнитным потоком через траекторию, который равен \(B\pi R_{\text орб}^2\). То есть в сумме получается:

Используя формулу для \(R_{\text орб}\) и помня, что заряд электрона отрицателен, получим

откуда \(p_n^2 = 2 |e|B/(m^2c) \hbar n\), и

Учтя изменение фазы, вызываемое магнитным потоком, мы получили уже почти правильный ответ. Уровни энергии все равно отличаются от точных, но только на слагаемое \(\hbar\nu_L/2\). Его получить элементарными методами уже не удается. Но главное, что расстояние между уровнями получилось правильным: \(\hbar\nu_L\).

Квантование Ландау является причиной разнообразных физических эффектов. Один из них — эффект Шубникова — де Гааза, который заключается в периодической и осциллирующей зависимости проводимости металлов от обратного магнитного поля \(1/B\). Дело в том, что в магнитном поле проводимость металла зависит от заполнения уровней Ландау электронами, по аналогии с тем, что в отсутствие магнитного поля проводимость вещества зависит от заполнения электронами энергетических зон (это обсуждалось в задаче Металлический блеск кремния). Опишем, как устроено заполнение уровней Ландау в двумерном электронном газе, помещенном в магнитное поле. Как раз для этого был нужен второй вопрос задачи. Заметим, что в задаче спрашивалось, сколько электронов поместится на самом нижнем уровне Ландау. Оказывается, что оценка из решения справедлива не только для нижнего уровня: на всех уровнях Ландау максимально допустимая плотность электронов равна \(eB/(2\pi \hbar c)\).

Минимизируя свою энергию, каждый электрон будет стремиться занять состояние на уровне Ландау с минимальным номером. Однако все электроны на нижнем уровне Ландау могут не поместиться, ведь из-за принципа Паули на каждом уровне Ландау концентрация электронов не может быть больше \(eB/(2\pi \hbar c)\). Значит, лишь часть электронов обоснуется на первом уровне Ландау: оставшиеся будут стремиться занять второй уровень, и так далее, пока каждому электрону не найдется свое место. Пример заполнения электронами уровней Ландау приведен на рис. 4: видно, что последний уровень Ландау может быть заполнен лишь частично. Несложно понять, что на нем концентрация электронов равна \(\{2\pi\hbar c n/eB\}\), где фигурными скобками обозначена дробная часть числа.

Рис. 4. Заполнение уровней Ландау электронами. На всех уровнях кроме последнего Ландау концентрация электронов определяется формулой \(n = eB/(2\pi\hbar c)\)

Именно последний заполненный уровень Ландау отвечает за проводимость: он, в некотором смысле, соответствует зоне проводимости в полупроводнике или металле, а все остальные уровни Ландау — валентной зоне. Поэтому проводимость, в первую очередь, зависит от концентрации электронов на последнем заполненном уровне. Последняя равна \(\{2\pi\hbar c n/eB\}\), и именно из этой формулы следует периодическая зависимость от \(1/B\).