Римская арифметика

Точки и буквы в задаче совсем не похожи на хорошо известные нам римские числа. В условии несколько туманно сказано, что числа записывались так в некоторых случаях. Что это могут быть за случаи?

Одно число из данных в условии всё же записано привычным способом.

Обозначьте точку как x, запишите третий пример из условия в виде уравнения и решите его.

Предположим, что точка во всех примерах имеет одно и то же числовое значение, и обозначим его как x. Тогда третий пример можно записать как уравнение и решить:

3x × 4x = x

12x² = x

x = 1/12

Итак, перед нами не просто числа, а дроби (некоторые случаи, соответственно, — это те случаи, когда нужно записать нецелое число), причем точка обозначает одну двенадцатую. Осталось понять, что такое S. Посмотрим на второй пример:

3/12 + 5/12 = S + 2/12

S = 6/12 = 1/2

S — специальное обозначение для одной второй (от слова semis 'половина'). Очевидно, дроби вида n/12, где n > 6, записываются как S и (n−6) точек.

Задание 1.

•••• + ••••• = S••• (4/12 + 5/12 = 9/12 = 1/2 + 3/12)

S × •••• = •• (1/2 × 1/3 = 1/6 = 2/12

•• : •••  = S•• (2/12 : 3/12 = 2/3 = 1/2 + 2/12)

Задание 2. I — это, видимо, привычная римская единица, так что наше предположение про дроби подтверждается.

S + S = I

S : S = I

Итак, туманная (и чуть-чуть лукавая) формулировка из условия в некоторых случаях обозначает случаи, когда нужно записать нецелое число. Почему же римляне писали ••••• и S••, а не V/XII и II/III (или VIII/XII) соответственно?

Многие понятия и обозначения, которые сегодня кажутся нам элементарными и без которых мы себе математику не представляем, появились далеко не сразу. У римлян не было, например, позиционной системы счисления, обозначения для нуля и привычных нам обыкновенных дробей (а десятичных тем более).

Можно выделить как минимум три разных представления, три разных способа концептуализации обыкновенных дробей (Miller 1931:138). Один способ — это считать, что дробь — это упорядоченная пара чисел (числитель и знаменатель), над которыми можно совершать ряд заранее определенных операций. Такому представлению сейчас учат в школах.

Другой способ — это считать, что дроби — это такие особенные числа, на которые всегда можно разделить натуральные числа. Такое представление, по-видимому, существовало в Древнем Египте: часть математического папируса Ахмеса посвящена делению числа 2 на все нечетные от числа от 3 до 101.

Третий способ — это считать, что дроби — это части целых чисел, которые своими свойствами от целых чисел не отличаются. Единицы — это части десятков, трети и четверти — части единиц, минуты — части часа: всё это одно и то же отношение «часть (дробь) — целое». Этот способ лежит в основе представленной в задаче римской системы.

Римские дроби (минуции) обозначают двенадцатые части асса — денежной единицы, изначально имевшей вес один фунт. Названия дробей использовались также как названия монет и мер веса, см. таблицу.

Римские двенадцатеричные дроби (минуции)

Точки не обязательно располагались линейно: две точки могли располагаться одна над другой, четыре точки — в квадрат, пять точек — как на современном игральном кубике.

Существовали отдельные обозначения и названия для более мелких единиц (см. ниже фотографию абака). Так, даже 1/288 имела собственное название — scriptulum, или scripulum, или scrupulum, отсюда английское scruple ‘соображение совести’ (Smith 1925/1958:209) и русское скрупулезный. 1/8 (sescuncia ‘полторы унции’) обозначалась сочетанием символов для 1/24 и 1/12.

Все эти дроби имеют один знаменатель и простую систему записи, очевидно, что их легко складывать и вычитать. Почему же знаменатель 12, а не 10, если обычная римская система счисления была десятичной? Для практической системы единый знаменатель 12 гораздо удобнее: как видно из таблицы, он позволяет легко выразить такие полезные дроби как 1/2, 1/3, 1/4 и 1/6 (Cajori 1930:40). Число 12 использовалось в этой роли и в других системах (Maher & Makowski 2011:378): в британском шиллинге было 12 пенсов, в футе — 12 дюймов.

В римских текстах изредка встречаются выражения вроде пять частей из семнадцати, однако ни специальных обозначений, ни хорошо разработанного аппарата для работы с дробями в общем виде у римлян не было (Maher & Makowski 2011:379). Для практических целей вполне хватало описанной выше простой системы. Если необходимые числа не могли быть точно выражены с помощью двенадцатых частей, римляне эффективно вычисляли приблизительные значения.

Вычислению дробей посвящалась значительная часть школьного образования, ср. строчки 326–330 из произведения Горация «О поэтическом искусстве» (перевод А. А. Фета, цит. по изданию «Вечерние огни», М.: Наука, 1971:169–170, с сохранением орфографии и пунктуации):

Римские мальчики учатся в длинных своих вычисленьях
Асс раскладывать на сто частей. Сынишка Альбина
Пусть сочтет: «Коль одну двенадцатую мы отымем
От пяти двенадцатых, много ль в остатке?» — «Треть». — «Славно!
Будешь богат». — «А прибавь одну двенадцатых, много-ль
Станет?» — «Поласса».

Римский абак позволял совершать операции с дробями, см. фотографию ниже.

Римский абак (вероятно, копия). Изображение с сайта guernseydonkey.com

В первых семи желобках нижние камешки обозначают каждый по единице соответствующего разряда (то есть в седьмом слева желобке — 1, в первом слева — миллион), верхний камешек — пять единиц. В восьмом желобке нижние камешки обозначают по 1/12 (унцию), верхний — 6/12 (семис). В трех маленьких желобках справа камешки обозначают (сверху вниз): 1/24, 1/48 и по 1/72 (Cajori 1930:38). Таким образом, сейчас на абаке изображено число 5555555,5.

Вероятнее всего, на фотографии изображен не оригинальный абак, а поздняя копия, на которой изменены некоторые символы. Так, вместо арабской 2 у правого нижнего желобка должен стоять похожий на нее римский символ для 1/72, а вместо S у правого верхнего — один из трех возможных символов для 1/24 (один похож на греческую лямбду, один — на сигму, один — на эпсилон). Над восьмым желобком должна, по-видимому, стоять точка (обозначение унции).

В заключение предложим читателям известную римскую юридическую задачку, связанную с дробями, в формулировке Б. А. Кордемского (1958:170–171), см. также Cajori 1930:41.

«Некто, умирая, оставил жену в ожидании ребенка и сделал такое завещание: в случае рождения сына отдать ему 2/3 оставленного имущества, а 1/3 матери. В случае же рождения дочери она должна получить 1/3, а мать 2/3 имущества.

Вдова завещателя родила близнецов — мальчика и девочку. Такого события завещатель не предвидел. Как разделить имущество между всеми тремя наследниками с наилучшим приближением к условиям завещания?»

За ответом отсылаем к книге Кордемского, где приводится решение римского юриста Сальвиана Юлиана, а также альтернативное решение. На сайте «Математическая смекалка» дается и третий вариант решения.

Задача использовалась на I туре XLVI Традиционной олимпиады по лингвистике.

Литература:
1) Борис Кордемский. Математическая смекалка. М., ГИФМЛ, 1958.
2) Florian Cajori. A history of elementary mathematics. London: Macmillan & Co. 1930.
3) David Maher, John Makowski. Literary Evidence for Roman Arithmetic with Fractions // Classical Philology. 2011. V. 96. P. 376–399.
4) Smith, David Eugene. History of mathematics. Vol. II. New York: Dover Publications. 1925/1958.
5) George Miller. On the history of common fractions // School science and mathematics. 1931. V. 31(2). P. 138–145.