Грибники и домоседы

В условии задачи задана вероятность того, что домосед заметит конкретного грибника. Попробуйте вычислить вероятность того, что домосед заметит хотя бы одного из всех имеющихся грибников. А также — вероятность того, что грибник заметит хотя бы одного из остальных грибников.

Формулировка задачи предполагает, что к концу лета численность грибников выйдет на некоторое стационарное значение. Попробуйте подумать, каковы условия стабилизации численности грибников.

Так как задача вероятностная, в ней возможны различные варианты развития событий. В том числе, например, такой, при котором оба грибника в первый же день заметят друг друга, после чего грибников не останется вообще. Строгое математическое решение задачи предполагает рассмотрение всех возможных вариантов и расчет их вероятностей. Мы же решим задачу физическими методами, то есть приближенно.

Обозначим полное число жителей деревни за N = 200, а текущее число грибников — за m. Также введем обозначения a = 0,001 для вероятности того, что домосед заметит грибника, и b = 0,009 для вероятности того, что грибник заметит другого грибника.

Посчитаем вероятность p₁ того, что домосед в течение дня заметит хотя бы одного грибника. Для этого сначала посчитаем вероятность того, что он не заметит ни одного. Вероятность не заметить одного конкретного грибника равна 1 − a, а вероятность не заметить за день m грибников по формуле для вероятности сложного события равна (1 − a)^m. Соответственно, p₁ = 1 − (1 − a)^m.

Аналогично вычисляется вероятность p₂ того, что грибник заметит хотя бы одного из (m − 1) остальных грибников в течение дня: p₂ = 1 − (1 − b)^m − 1.

Для оценки можно считать, что за один день число домоседов, заметивших хотя бы одного грибника, равно p₁·(N − m). А число грибников, заметивших хотя бы одного другого грибника, равно p₂·m. Соответственно, изменение числа грибников за день можно оценить как d = p₁·(N − m) − p₂·m. При условии a·m << 1 и b·m << 1 степенные функции можно приближенно заменить линейными, тогда получим:

Очевидно, стабилизация численности грибников произойдет при условии d = 0, откуда для стационарного значения m₀ получаем:

Итак, стационарная численность грибников примерно равна 21. Данное число удовлетворяет условиям a·m₀ << 1 и b·m₀ << 1, при которых был сделан вывод.

Может возникнуть вопрос: успеет ли численность грибников достигнуть стационарного значения в течение лета? Для этого оценим скорость роста числа грибников в начале лета. При малом m в формуле для d можно пренебречь вторым слагаемым, в результате чего получим d = (aN + b)·m. Эта формула дает экспоненциальный рост числа m с коэффициентом aN + b = 0,209 в показателе. Таким образом, число m вырастет от 2 до 21 приблизительно за 12 дней. В полной модели этот рост, конечно, замедлится и ограничится квадратичным членом в формуле для d. Однако для оценки можно принять число 12.

Таким образом, за лето число грибников заведомо достигнет стационарного значения m₀ = 21.

Предложенная задача представляет собой простой пример популяционной динамики (Population dynamics) — процесса, при котором численность одной или нескольких популяций некоторых объектов меняется во времени по некоторым законам. При этом взаимодействие популяций в целом осуществляется через единичные акты взаимодействия их отдельных членов. Чем больше численность некоторой популяции, чем чаще с ее представителями встречаются члены остальных популяций и тем, соответственно, сильнее ее влияние на коллективную динамику.

Пожалуй, впервые подобная модель была рассмотрена в конце XVIII века Томасом Мальтусом применительно к населению Земли. Суть модели очень проста: чем больше население, тем больше рождаемость, то есть прирост населения пропорционален его численности. Эта модель предсказывает рост населения в геометрической прогрессии.

Другим примером является знаменитая модель «хищник — жертва». В этой модели взаимодействуют две популяции: травоядных и хищников. Травоядные размножаются, потребляя ресурсы среды, и погибают в случае встречи с хищниками. Хищники могут выживать и размножаться, лишь периодически «встречая» и поедая травоядных. Интересно, что подобная модель может демонстрировать устойчивые колебания численности обеих популяций, и такие колебания действительно наблюдались в природе.

Похожие процессы происходят в химических растворах при протекании кинетических реакций. Чтобы произошла реакция между двумя молекулами некоторых веществ, эти молекулы должны встретиться друг с другом в растворе. Вероятность встречи будет пропорциональна концентрациям обоих веществ.

Наконец, интересный и неожиданный пример популяционной динамики — работа лазеров. В лазере наиболее важную роль играют две «популяции» — возбужденные электроны и фотоны. Фотоны распространяются в рабочей среде лазера. Встречая на пути возбужденный электрон, фотон может вызвать его переход на нижний энергетический уровень. В результате излучается новый фотон и происходит усиление лазерного излучения.