Максимальная громкость и высота звука

Напомним, что громкость, измеряемая в децибелах, — это логарифмическая шкала, которая показывает, во сколько раз давление в звуковой волне (P) сильнее некоторого фиксированного порогового давления P₀. Формула пересчета давления в громкости такова: громкость в децибелах = 20 lg(P/P₀), где lg — это десятичный логарифм. В качестве порогового давления в акустике принято брать P₀ = 20 мкПа (в воде принято другое пороговое значение: P₀ = 1 мкПа). Например, звук с давлением P = 0,2 Па превышает P₀ в десять тысяч раз, что соответствует громкости 20·lg(10000) = 80 дБ. Таким образом, предел громкости возникает из максимально возможного давления, которое может создавать звуковая волна.

Для решения задачи надо попытаться представить себе звуковую волну с очень большим давлением или очень большой частотой и постараться понять, какие физические ограничения при этом возникают.

Найдем вначале предел громкости. В спокойном воздухе (без звука) молекулы летают хаотично, но в среднем плотность воздуха остается постоянной. При распространении звука молекулы кроме быстрого хаотического движения испытывают еще и плавное смещение вперед-назад с некоторым периодом. Из-за этого возникают чередующиеся области сгущения и разряжения воздуха, то есть области повышенного и пониженного давления. Именно это отклонение давления от нормы и есть акустическое давление (давление в звуковой волне).

В области разряжения давление опускается до P_атм – P. Ясно, что в газе оно должно оставаться положительным: нулевое давление означает, что в этой области в данный момент времени частиц нет совсем, и меньше этого быть уже не может. Поэтому максимальное акустическое давление P, которое звуковая волна может создавать, оставаясь при этом звуком, как раз равно атмосферному. P = P_атм = 100 кПа. Ему отвечает теоретический предел громкости равный 20·lg(5·10⁹), что дает примерно 195 дБ.

Ситуация слегка меняется, если речь идет про распространение звука не в газе, а в жидкости. Там давление может стать отрицательным — это просто означает, что сплошную среду пытаются растянуть, разорвать, но она за счет межмолекулярных сил выдерживает такое растяжение. Однако по порядку величины это отрицательное давление невелико, порядка одной атмосферы. С учетом другого значения для P₀ это дает теоретический предел громкости в воде около 225 дБ.

Получим теперь ограничение на частоту звука. (На самом деле, это лишь одно из возможных ограничений на частоту; о других мы упомянем в послесловии.)

Одно из ключевых свойств звука (в отличие от многих других, более сложных волн) состоит в том, что его скорость практически не зависит от частоты. Но скорость волны связывает частоту ν (то есть временную периодичность) с длиной волны λ (пространственной периодичностью): c = ν·λ. Поэтому чем выше частота, тем меньше длина звуковой волны.

Частоту волны ограничивает дискретность вещества. Длина звуковой волны не может быть меньше типичного расстояния между молекулами: ведь звуковая волна есть сгущение-разряжение частиц и не может существовать без них. Более того, длина волны должна составлять как минимум два-три таких расстояния: ведь она должна включать как области сгущения, так и область разряжения. Для воздуха в нормальных условиях среднее расстояние между молекулами составляет примерно 100 нм, скорость звука равна 300 м/с, поэтому максимальная частота составляет порядка 2 ГГц. В воде масштаб дискретности меньше, примерно 0,3 нм, а скорость звука составляет 1500 м/с. Это дает ограничение на частоту примерно в тысячу раз выше, порядка нескольких терагерц.

Рис. 2. Колеблющийся поршень как акустический излучатель. Рисунок с сайта www.eetimes.com

Обсудим теперь, что произойдет, если мы попытаемся излучить звук, превышающий найденные ограничения. В качестве излучателя звуковой волны подойдет погруженная в среду твердая пластина, которую мотор двигает взад-вперед. Технически осуществим излучатель с такой большой амплитудой, который в максимуме создает давление намного выше атмосферного — для этого достаточно двигать пластину быстро и с большой амплитудой. Однако тогда в фазе разряжения (когда пластина отходит назад) будет просто вакуум. Таким образом, вместо очень громкого звука такая пластина будет «нарезать воздух» на тонкие и плотные слои и выбрасывать их вперед. Распространяться сквозь среду они не смогут — столкнувшись с неподвижным воздухом, они резко его нагреют, породят ударные волны, а сами разрушатся.

Можно представить себе и другую ситуацию, когда акустический излучатель колеблется с частотой, превышающей найденный предел частоты звука. Такой излучатель будет толкать молекулы среды, но так часто, что не даст им шанса сложиться в синхронное колебание. В результате пластина будет просто хаотично передавать энергию подлетающим молекулам, то есть будет попросту нагревать среду.

Наше рассмотрение было, конечно, очень простым и не принимало во внимание множество процессов, происходящих в веществе и также ограничивающих распространение звука. Например, вязкость приводит к затуханию звуковой волны, причем скорость этого затухания быстро увеличивается с частотой. Чем больше частота, тем быстрее газ движется вперед-назад, а значит, тем быстрее энергия превращается в тепло за счет вязкости. Поэтому в слишком вязкой среде высокочастотный ультразвук просто не успеет пролететь какое-либо макроскопическое расстояние.

В затухании звука играет роль и другой эффект. Из термодинамики следует, что при быстром сжатии газ нагревается, а при быстром расширении — охлаждается. Это происходит в том числе и в звуковой волне. Но если у газа большая теплопроводность, то при каждом колебании тепло будет перетекать из горячей зоны в холодную, ослабляя таким образом тепловой контраст, а в конечном счете — и амплитуду звуковой волны.

Стоит еще подчеркнуть, что все найденные ограничения относятся к жидкостям и газам при нормальных условиях; они изменятся при существенном изменении условий. Например, максимальная теоретическая громкость, очевидно, зависит от давления. Поэтому в атмосфере планет-гигантов, где давление существенно выше атмосферного, возможен и еще более громкий звук; и наоборот, в очень разреженной атмосфере все звуки неизбежно тихие.

Наконец, упомянем еще одно интересное свойство ультразвука очень большой частоты при его распространении в воде. Оказывается, когда частота звука существенно превышает 10 ГГц, его скорость в воде возрастает примерно вдвое и примерно сравнивается со скоростью звука во льду. Это означает, что некие быстрые процессы взаимодействия молекул воды начинают играть существенную роль при колебании с периодом меньше 100 пикосекунд. Условно говоря, вода приобретает некую дополнительную упругость на таких временных интервалах, что и ускоряет распространение звуковых волн. Микроскопические причины этого так называемого «быстрого звука», впрочем, были поняты совсем недавно.