Арбелос Архимеда

Пусть a и b — радиусы полуокружностей s₁ и s₂ соответственно, r — радиус окружности α. Выразите r через a и b.

Пусть E, F и G — центры полуокружностей s₁, s₂ и s соответственно, а O — центр окружности α (рис. 2). Рассмотрим треугольник OEG; все его стороны выражаются через a, b и r.

Рис. 2

Рассмотрим конструкцию на рис. 3. Докажите, что она соответствует условиям задачи (для этого, в частности, необходимо доказать, что прямая MN проходит через точку B).

Рис. 3

Действительно, GA = GB = a + b, OE = a + r; OG = a + b – r; EG = GA – EA = a + b – a = b.

Опустим перпендикуляр OH на прямую EG (рис. 4):

Рис. 4

CH = r; EH = EC – CH = a – r; GH = |CG – CH| = |a – b – r|.

OH² = (a + r)² – (a – r)² = (a + b – r)² – (a – b – r)².

Разрешая полученное уравнение относительно r получаем:

          (1)

Для нахождения радиуса окружности β с центром Q, надо рассмотреть треугольник QFG и провести для него вычисления, аналогичные проведенным выше, поменяв a и b местами, поскольку окружность β касается полуокружности  s₂. Но так как r не меняется при замене в выражении (1) a на b, то и результат вычислений не изменится.

Есть и не вычислительные, но по-своему более изящные решения.

Приведем решение самого Архимеда, которое может показаться более сложным, но и более интересным. Для этого понадобится следующая лемма:

Лемма. Даны две касающиеся окружности ω и ω₁ и прямая CD, касающаяся одной из них и пересекающая другую (рис. 5). Пусть B — точка касания окружностей, A — точка касания прямой и окружности, E — вторая точка пересечения прямой AB и окружности ω. Докажите, что E — середина дуги CD.

Рис. 5

Доказательство. Пусть O и O₁ — центры окружностей ω и ω₁ соответственно; тогда треугольники OEB и O₁AB — равнобедренные и у них общий угол при основании O₁BA. Следовательно, OEB = O₁AB  OE || O₁A. O₁ACD  OECD  E — середина дуги CD. 

Заметим, что в случае внешнего касания окружностей лемма тоже верна, а доказательство аналогично.

Пусть M — точка касания α и s, N — точка касания α и CD, K — точка касания α и s₁ (рис. 3). Применим лемму к нашей конструкции; тогда прямая MN проходит через точку B и прямая NK проходит через точку A.

Рис. 3

Далее, P — вторая точка пересечения NK и s, R — точка пересечения CD и BP.

N — точка пересечения высот в треугольнике ARB, так как APB = RCB = 90°, следовательно прямая RA проходит через точку M.

Пусть L — вторая точка пересечения RA и α, тогда LKN = 90° (как угол, опирающийся на диаметр), но AKC = 90°  точки L, K и C лежат на одной прямой.

LN — диаметр окружности α, следовательно LN || AB, следовательно

Заметим, что LC || RB, так как они перпендикулярны AP, следовательно

В обозначениях из первого решения полученное выражение принимает вид

и после сокращения общих множителей совпадает с выражением (1).

Еще одно красивое решение — это решение с использованием инверсии.

Инверсия с центром в точке O и радиусом R — это преобразование плоскости (исключая точку O), при котором каждой точке M ставится в соответствие такая точка M' на луче OM, что OM·OM' = R².

Из определения сразу же следует, что если M' есть образ M, то и M (при данном преобразовании) есть образ M'. Такие преобразования называют инволюционными или просто инволюциями (от латинского involutio — «свертывание»), потому что после второго применения инверсии все точки возвращаются на свои места.

Подробнее про инверсию можно почитать, например, в статье В. М. Уроева «Инверсия» («Квант» №5, 1984).

Нам же понадобятся ее следующие свойства:

• прямая, проходящая через центр инверсии, переходит в саму себя;
• окружность, проходящая через центр инверсии, переходит в прямую, не проходящую через центр инверсии;
• окружность, не проходящая через центр инверсии, переходит в окружность, не проходящую через центр инверсии.

Сделаем инверсию с центром в точке B и радиусом BD (рис. 6).

Рис. 6

Заметим, что BD² = BA·BC; так как DC — высота в прямоугольном треугольнике ABD, следовательно при этой инверсии точки A и C меняются местами. Очевидно, что точка D переходит в себя, поэтому образом окружности s (чтобы не рассматривать образы полуокружностей, будем теми же буквами обозначать соответствующие окружности) является прямая CD (обозначим ее s'), и наоборот, прямая CD переходит в окружность s. Образом окружности s₂ является прямая (обозначим ее l), проходящая через точку A перпендикулярно AB.

При этом окружность β должна переходить в окружность, касающуюся образов CD, s₂ и s, то есть в окружность, касающуюся красных вертикальных прямых и полуокружности s. Это окружность β' с диаметром AC.

Далее, рассмотрим гомотетию с центром в точке B, при которой точка C переходит в точку A.

(Гомотетия (от греч. homos — равный, одинаковый, взаимный, общий и thetos — расположенный) — такое преобразование плоскости, при котором каждой точке М ставится в соответствие некоторая точка М', лежащая на ОМ, где О — фиксированная точка, причем отношение ОМ' : ОМ = k (коэффициент гомотетии) одинаково для всех точек М. При гомотетии каждая фигура переходит в подобную, а все расстояния между точками изменяются ровно в k раз.)

Тогда полуокружность s₂ перейдет в полуокружность s, прямая CD в прямую l. Следовательно окружность β перейдет в окружность, касающуюся полуокружности s и прямой l, центр которой лежит на луче BO — это окружность β'. В предыдущих обозначениях (AC = 2a, BC = 2b, r — радиус β) коэффициент гомотетии k равен

Но отношение радиусов окружностей β и β' также равно коэффициенту гомотетии:

Следовательно, мы получаем уже знакомую формулу для радиуса окружности, вписанной в арбелос:

Арбелос — так назвал Архимед криволинейный треугольник, ограниченный тремя полуокружностями, из-за его сходства с очертаниями сапожного ножа, использовавшегося для разделки кож (см. рис. 7). А мы называем его еще «арбелос Архимеда», поскольку в своих занятиях геометрией Архимед много времени уделил этой фигуре и в книге «Леммы» (см. также: Book of Lemmas), приписываемой Архимеду арабским ученым Сабитом ибн Куррой, арбелосу посвящены пять утверждений (с четвертого по восьмое).

Рис. 7

Разобранная нами задача — это пятое утверждение, а второе решение задачи и есть решение из «Лемм».

Круги α и β еще называют кругами-близнецами Архимеда (Archimedes’ twin circles), а любой круг, каким-то образом вписанный в арбелос, равный кругам α и β, называют кругом Архимеда.

У арбелоса есть много интересных свойств, изученных еще Архимедом и другим древнегреческим ученым второй половины III века н. э. — Паппом Александрийским (см. также: Pappus of Alexandri).

Так, в четвертом утверждении «Лемм», в котором вводится понятие арбелоса, утверждается, что его площадь равна площади круга с диаметром CD (см. рис. 8). Это нетрудно доказать самому или прочитать, например, здесь.

Рис. 8

В восьмом утверждении «Лемм» Архимед упоминает цепочку кругов, которые формально ввел Папп Александрийский. Он рассматривал цепочку кругов, вписанных в арбелос (см. рис. 9) и доказал, что расстояние от центра n-го круга до прямой AB равно произведению диаметра этого круга на n (O₂H = 2·d₂, где d₂ — диаметр круга с центром O₂).

Рис. 9

Проще всего это можно доказать с помощью инверсии (см., например, книгу И. Д. Жижилкина «Инверсия», стр. 26). Надо отметить, что доказательство без привлечения инверсии очень сложно и не стоит недооценивать труд Паппа. Инверсию же стали применять примерно через полторы тысячи лет после того, как Папп нашел свое решение.

Интересно, что центры кругов Паппа лежат на эллипсе с фокусами в серединах отрезков AB и AC. А точки их касания лежат на одной окружности.

После Архимеда и Паппа геометры вновь заинтересовались кругами Архимеда только в XX веке. В основном это исследования, посвященные нахождению новых кругов Архимеда (кругов, равных двум исходным вписанным кругам из условия нашей задачи).

В 1978 году Томас Шох (Thomas Schoch) нашел 12 кругов Архимеда (см. Schoch circles). На рис. 10 показан один из них — ω. Красные дуги — это дуги окружностей с центрами в точках A и B и радиусами AC и BC соответственно.

Рис. 10. Конструкция кругов Ву

Питер Ву (Peter Woo) в 1999 году обобщил конструкцию и построил бесконечную серию кругов Архимеда с центрами на прямой Шоха (оранжевая прямая Sch на рис. 10).

Построение серии кругов Ву: возьмем произвольное положительное число m и рассмотрим две окружности с радиусами ma и mb и центрами на прямой AB, касающиеся в точке C. На рис. 11 изображены две пары таких окружностей (синие и красные дуги) для двух различных значений m (у одной из пар m = 2 и, следовательно, центры находятся в точках A и B). Любая окружность с центром на прямой Шоха (голубая вертикальная прямая на рисунке), касающаяся этих окружностей, —архимедова (на рис. 11 изображены два из бесконечного количества архимедовых кругов Ву).

Рис. 11

Голландский геометр Флур ван Ламоен (Floor van Lamoen) опубликовал в 2006 году статью “Archimedean Adventures” (PDF, 170 Кб), в которой изучены новые круги Архимеда и построены несколько бесконечных семейств кругов с помощью салинона — еще одной фигуры, введенной Архимедом в «Леммах». Кроме того, он сделал огромный каталог кругов Архимеда.

Еще один круг Архимеда (см. Bankoff circle) был найден редактором журнала "Pi Mu Epsilon Journal" Леоном Банкофом (Leon Bankoff).

На сайте Томаса Шоха Arbelos. Amazing Properties можно посмотреть анимацию нескольких конструкций кругов Архимеда.